نسخة الفيديو النصية
يسارع معجل جسيمات الإلكترونات خلال فرق جهد Δ𝑉 يساوي 550 فولت، كما هو موضح في الشكل. أوجد الطول الموجي للإلكترونات عندما تخرج من المعجل. اعتبر 1.60 في 10 أس سالب 19 كولوم قيمة شحنة الإلكترون، و9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام قيمة كتلة الإلكترون، و6.63 في 10 أس سالب 34 جول ثانية قيمة ثابت بلانك.
في هذا الشكل، نتخيل أن هذا هو معجل الجسيمات. يبدأ الإلكترون في التحرك في المعجل عند هذا الطرف ثم يتسارع خلال فرق الجهد Δ𝑉 بحيث يخرج من المعجل هنا. الإلكترون الذي يخرج من المعجل يكون له سرعة تناظر الطول الموجي لهذا الإلكترون. ونريد هنا إيجاد هذا الطول الموجي باستخدام المعطيات لدينا.
أول شيء يمكننا التفكير فيه هو فرق الجهد Δ𝑉. بصفة عامة، فرق الجهد، الذي سنشير إليه بـ Δ𝑉، يساوي طاقة الوضع الكهربية، التي يمثلها الاختصار EPE هنا، لكل وحدة شحنة؛ حيث 𝑞 هي الشحنة. عندما يكون الإلكترون في أقصى الطرف الأيمن للمعجل، تكون له أقصى طاقة وضع كهربية. يمكننا تخيل أن هذا الإلكترون يبدأ من السكون ثم يتسارع عبر فرق الجهد Δ𝑉 وتتحول كل طاقة الوضع الكهربية للإلكترون هنا إلى طاقة حركة للإلكترون هنا. بعبارة أخرى، يحدث انتقال للطاقة عبر هذا المعجل. وتتحول طاقة الوضع الكهربية الأصلية للإلكترون إلى طاقة حركة.
نبدأ بمعادلة Δ𝑉 الموجودة لدينا، ونضرب كلا الطرفين في الشحنة 𝑞، ما يؤدي إلى حذف هذا المعامل من الطرف الأيمن، وهذا يعني أن شحنة الجسيم 𝑞 في Δ𝑉 تساوي طاقة الوضع الكهربية لهذه الشحنة. عرفنا للتو كيف تتحول طاقة الوضع الكهربية للإلكترونات إلى طاقة حركة. وبتذكر أن طاقة الحركة بصفة عامة تساوي نصف كتلة الجسم في مربع سرعته، يمكننا إضافة ذلك إلى المعادلة بحيث يكون لدينا 𝑞 في Δ𝑉 يساوي طاقة الوضع الكهربية، والتي تساوي نصف 𝑚 في 𝑣 تربيع؛ حيث تشير 𝑚 و𝑣 إلى الإلكترونات الخارجة.
يمكننا الآن كتابة ذلك بطريقة أبسط قليلًا عن طريق حذف طاقة الوضع الكهربية من هذه المعادلة. وبذلك نجد أن شحنة الإلكترون 𝑞 في فرق الجهد Δ𝑉 الذي تتسارع عبره هذه الشحنة تساوي نصف كتلة الإلكترون 𝑚 في مربع سرعة الخروج 𝑣 لهذا الإلكترون. يطلب منا السؤال إيجاد الطول الموجي للإلكترونات الخارجة.
دعونا نتذكر أنه وفقًا لمعادلة دي برولي، الطول الموجي لأي جسيم يساوي ثابت بلانك مقسومًا على كتلة هذا الجسيم 𝑚 في سرعته. لاحظ أنه إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في 𝑣 مقسومًا على 𝜆، فسيحذف الطول الموجي 𝜆 من الطرف الأيسر. وتحذف السرعة 𝑣 من الطرف الأيمن. وبذلك نجد أن السرعة 𝑣 تساوي ثابت بلانك مقسومًا على 𝑚 في 𝜆. هذه المعادلة مفيدة؛ لأنه يمكننا استخدامها للتعويض عن 𝑣 في هذه المعادلة التي توصلنا إليها سابقًا.
بإجراء هذا التعويض، نعرف أن ثابت بلانك مقسومًا على 𝑚 في 𝜆 الكل تربيع يساوي ثابت بلانك تربيع مقسومًا على 𝑚 تربيع في 𝜆 تربيع. لاحظ أن كتلة الإلكترون 𝑚 في البسط تحذف مع أحد معاملي 𝑚 في المقام. وهذا يعطينا هذه المعادلة. تذكر أننا نريد إيجاد الطول الموجي 𝜆. وللبدء في ذلك، دعونا نضرب طرفي المعادلة في 𝜆 تربيع، ما يؤدي إلى حذف 𝜆 تربيع من الطرف الأيمن، ثم نضرب كلا الطرفين في واحد مقسومًا على 𝑞 في Δ𝑉. عندما نفعل ذلك، ففي الطرف الأيسر، تحذف 𝑞 من البسط والمقام كما يحذف Δ𝑉 من البسط والمقام.
نجد أن 𝜆 تربيع يساوي نصفًا في ثابت بلانك تربيع مقسومًا على 𝑚 في 𝑞 في Δ𝑉. وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ففي الطرف الأيسر، يلغي الجذر التربيعي و𝜆 تربيع كل منهما الآخر، وفي الطرف الأيمن، تبسط المعادلة إلى ثابت بلانك مقسومًا على الجذر التربيعي لاثنين في 𝑚 في 𝑞 في Δ𝑉.
لدينا في معطيات السؤال 𝑞 تساوي 1.60 في 10 أس سالب 19 كولوم، وهي شحنة الإلكترون. و𝑚 تساوي 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام، وهي كتلة الإلكترون. ولدينا Δ𝑉 يساوي 550 فولت. بمعلومية كل هذا، بالإضافة إلى قيمة ثابت بلانك التي سنستخدمها، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونمض قدمًا في التعويض عن القيم الموجودة في الطرف الأيمن من هذه المعادلة.
لدينا ثابت بلانك في البسط، وكتلة الإلكترون، وشحنة الإلكترون، وفرق الجهد في الجذر التربيعي للمقام. وعندما نحسب الناتج، نجد أنه يساوي 5.2359 وهكذا مع توالي الأرقام في 10 أس سالب 11 متر. يمكننا أن نختار كتابة الإجابة لأقرب منزلة عشرية. بتقريب الناتج إلى ذلك، نحصل على 5.2 في 10 أس سالب 11 متر. وهذا هو الطول الموجي للإلكترونات عندما تخرج من المعجل.