فيديو الدرس: تقسيم القطعة المستقيمة في المستوى الإحداثي الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد إحداثيات نقطة تقسم القطعة المستقيمة في المستوى الإحداثي بنسبة معينة، باستخدام صيغة التقسيم. دعونا نبدأ بمراجعة بعض المصطلحات المهمة: أولًا: القطعة المستقيمة.

القطعة المستقيمة هي جزء من مستقيم محدد بطرفين مختلفين. على سبيل المثال، لدينا هنا القطعة المستقيمة ﺃﺏ. يمكننا النظر إلى قطعة مستقيمة على المستوى الإحداثي. إذا علمنا إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ، فسنتمكن من إيجاد نقطة منتصف هذه القطعة المستقيمة باستخدام صيغة نقطة المنتصف. لكننا في هذا الفيديو، لا نريد تقسيم قطعة مستقيمة إلى جزأين متساويين فحسب. بل سنرى أيضًا كيف يمكننا إيجاد النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة بنسبة معينة.

دعونا نر كيف سيبدو ذلك. لدينا هنا القطعة المستقيمة ﺃﺏ، ونحن نعرف إحداثيات هاتين النقطتين. لنقل إن علينا إيجاد إحداثيي النقطة ﻥ التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بالنسبة ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين. هل توجد طريقة يمكننا بها إيجاد إحداثيي النقطة ﻥ؟ حسنًا، لنفعل ذلك علينا أن نبدأ بتكوين مثلثين قائمي الزاوية. وسيكون وتر أحد هذين المثلثين قائمي الزاوية هو ﻝ واحد ووتر الآخر هو ﻝ اثنين. لاحظ أن هذين المثلثين سيكونان متشابهين؛ لأن الزوايا المتناظرة في المثلثات تكون متطابقة. وفي المثلثات المتشابهة، تكون النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية.

المسافة من ﻥ إلى ﺃ تساوي ﻝ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين مضروبًا في طول ﺃﺏ. ويمكننا استخدام هذا أيضًا لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ للنقطة ﻥ. لنبدأ إذن بإيجاد قيمة ﺱ. ‏‏ﺱ يساوي ﺱ واحد، أي قيمة ﺱ للنقطة ﺃ، زائد ﻝ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين مضروبًا في ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. يمثل الجزء الثاني من هذه المعادلة المسافة من ﻥ إلى ﺃ بدلالة قيمتي ﺱ. ولتبسيط ذلك، علينا التأكد من كتابة قيمة ﺱ واحد في صورة كسر مقامه ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين. إذا ضربنا بسط ﺱ واحد ومقامه في ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين، فسنحصل على ﺱ يساوي ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين في ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين زائد ﻝ واحد مضروبًا في ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين.

يمكننا بعد ذلك فك القوسين، وسنلاحظ أن لدينا ﻝ واحد ﺱ واحد ناقص ﻝ واحد ﺱ واحد. وعليه، يصبح لدينا ﺱ يساوي ﻝ واحد ﺱ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين. بعد ذلك يمكننا تكرار العملية نفسها لإيجاد قيمة ﺹ. ولكن هذه المرة، سنستخدم القيمتين ﺹ واحد وﺹ اثنين بدلًا من القيمتين ﺱ واحد وﺱ اثنين، على الترتيب. لنجد أن ﺹ يساوي ﻝ واحد ﺹ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺹ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ وقيمة ﺹ للنقطة ﻥ التي تقسم القطعة المستقيمة. هيا نكتب ذلك بطريقة أسهل لنتمكن من تذكره.

إذا كان إحداثيا النقطة ﺃ هما ﺱ واحد، ﺹ واحد، وإحداثيا النقطة ﺏ هما ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، وكانت النقطة ﻥ تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بحيث تكون نسبة ﺃﻥ إلى ﻥﺏ هي ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين، فإن النقطة ﻥ سيكون لها إحداثيان. ‏‏ﻥ تساوي ﻝ واحد ﺱ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين، ﻝ واحد ﺹ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺹ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين. عرفنا الآن كيف أن باستخدام قيمتي ﺱ وﺹ معًا حصلنا على إحداثيي النقطة ﻥ. قد تبدو هذه الصيغة صعبة إلى حد ما، لكن مع التدريب عليها سنجد أنها ليست بهذه الصعوبة. كما أنها ليست سهلة الحفظ، لكننا سنكتبها في كل سؤال على مدار هذا الفيديو. ونأمل أن نكون قد عرفنا عنها المزيد بنهايته. لنلق نظرة على السؤال الأول.

إذا كانت إحداثيات ﺃ وﺏ هي خمسة، خمسة؛ وسالب واحد، سالب أربعة على الترتيب، فأوجد إحداثيي النقطة ﺟ التي تقسم المتجه ﺃﺏ داخليًا بنسبة اثنين إلى واحد.

قد يكون من المنطقي أن نبدأ سؤالًا كهذا بتحديد كل زوج من الإحداثيات. يمكننا إما تمثيل هذا بيانيًا أو استخدام ورقة شبكة بيانية. لدينا هنا شبكة مرسومة. إحداثيا النقطة ﺃ هما خمسة، خمسة؛ وإحداثيا النقطة ﺏ هما سالب واحد، سالب أربعة. وبما أننا نعلم أن لدينا المتجه ﺃﺏ، يمكننا إذن أن نصل بين النقطتين. ومطلوب منا هنا إيجاد إحداثيي النقطة ﺟ التي تقسم المتجه ﺃﺏ داخليًا بنسبة اثنين إلى واحد. وهذا يعني أن علينا استخدام صيغة التقسيم. النقطة ﺃ لها الإحداثيان ﺱ واحد، ﺹ واحد والنقطة ﺏ لها الإحداثيان ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، وسيكون إحداثيا النقطة ﻥ التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بنسبة ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين هو ﻥ تساوي ﻝ واحد في ﺱ اثنين زائد ﻝ اثنين في ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين، ﻝ واحد في ﺹ اثنين زائد ﻝ اثنين في ﺹ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين.

المعلومات الأساسية التي نحتاجها في صيغة التقسيم هي إحداثيا النقطة ﺃ وإحداثيا النقطة ﺏ والنسبة. وبما أن الاتجاه مهم، لأننا نتحرك من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، فسيكون الإحداثيان ﺱ واحد، ﺹ واحد للنقطة ﺃ. كما أن ترتيب قيمتي النسبة، وهما ﻝ واحد وﻝ اثنين، مهم أيضًا؛ إذن ﻝ واحد سيساوي اثنين وﻝ اثنين سيساوي واحدًا. يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في الصيغة ثم نقوم بالتبسيط. بالنسبة إلى قيمة ﺱ للنقطة ﻥ، لدينا اثنان مضروبًا في سالب واحد؛ ما يساوي سالب اثنين، زائد خمسة وهو ما يعطينا ثلاثة، ولدينا في المقام اثنان زائد واحد وهو ما يساوي ثلاثة بالطبع. وبالنسبة إلى قيمة ﺹ، لدينا اثنان مضروبًا في سالب أربعة، أي سالب ثمانية، زائد واحد في خمسة، أي خمسة، وهو ما يعطينا القيمة سالب ثلاثة في البسط. ولدينا ثلاثة في المقام أيضًا. سنبسط هذين الكسرين؛ ثلاثة على ثلاثة يساوي واحدًا، وسالب ثلاثة على ثلاثة يساوي سالب واحد.

وبذلك، نجد أن إحداثيي النقطة ﺟ التي تقسم المتجه ﺃﺏ بنسبة اثنين إلى واحد هما واحد، سالب واحد. ومن الطرق الجيدة للتأكد من صحة إجابتنا عند تمثيل ذلك بيانيًا على ورقة شبكة بيانية هي التحقق من وقوع النقطة لدينا على الخط، وهي تقع عليه بالفعل. يمكننا أن نرى هنا النقطة ﺟ بإحداثييها واحد، سالب واحد. كما نلاحظ أيضًا أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ مقسمة بنسبة اثنين إلى واحد. وبذلك نكون قد تأكدنا من أن الإحداثيين واحد، سالب واحد هما الإجابة.

لنتناول سؤالًا آخر.

إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ هي واحد، تسعة؛ وتسعة، تسعة، على الترتيب. أوجد إحداثيات النقاط التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ إلى أربعة أجزاء متساوية.

لنبدأ هذا السؤال بتخيل هذه القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين ﺃ وﺏ. ولنتخيل أيضًا أن هذه القطعة المستقيمة مقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا أردنا إيجاد النقطة الأولى، فعلينا التفكير في كيفية تقسيم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بنسبة واحد إلى ثلاثة. أما النقطة الثانية، فيمكننا تحديدها بتقسيم القطعة المستقيمة بنسبة اثنين إلى اثنين أو بإيجاد نقطة المنتصف. كما يمكننا إيجاد إحداثيي النقطة الثالثة بتقسيم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بنسبة ثلاثة إلى واحد. يمكننا إجراء هذه الخطوات الثلاثة باستخدام صيغة التقسيم. وتخبرنا هذه الصيغة أنه لأي نقطتين ﺃ وﺏ بالإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ على الترتيب، يكون إحداثيا النقطة ﻥ، التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بنسبة ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين، هما ﻥ تساوي ﻝ واحد ﺱ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين، ﻝ واحد ﺹ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺹ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين.

في هذا السؤال، علينا تطبيق صيغة التقسيم ثلاث مرات لإيجاد الأزواج الإحداثية الثلاثة بنسبها المختلفة. لكن ثمة طريقة أخرى سهلة للقيام بذلك إذا فكرنا في النقطتين واحد، تسعة؛ وتسعة، تسعة. حيث يمكننا تحديد موضعيهما بهذا الشكل، بل ويمكننا أيضًا رسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ. وبما أن هذا الخط أفقي، فسيكون من السهل قياس طول ﺃﺏ. وهو ثماني وحدات. ثم يمكننا بعد ذلك تقسيم هذا الطول إلى أربعة أجزاء متساوية، لنحصل بذلك على النقاط ثلاثة، تسعة وخمسة، تسعة وسبعة، تسعة. هذه هي إجابتنا عن الإحداثيات التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ إلى أربعة أجزاء متساوية. كان بإمكاننا التوصل إلى هذه الإجابة نفسها باستخدام صيغة التقسيم، ولكن كان ذلك سيستغرق وقتًا أطول.

لنتناول سؤالًا آخر.

إذا كانت ﺟ عنصرًا ينتمي إلى القطعة المستقيمة ﺃﺏ، والمتجه ﺃﺏ يساوي ثلاثة أمثال المتجه ﺟﺏ، فإن ﺟ تقسم المتجه ﺏﺃ بالنسبة كم؟ الخيار (أ) اثنان إلى واحد، الخيار (ب) واحد إلى اثنين، الخيار (ج) واحد إلى ثلاثة، الخيار (د) ثلاثة إلى واحد.

لدينا الكثير من المعطيات في هذا السؤال. لكن دعونا نبدأ بأن لدينا القطعة المستقيمة ﺃﺏ، والتي يمكننا تمثيلها بهذا الشكل. نحن نعلم أن النقطة ﺟ هي عنصر ينتمي إلى القطعة المستقيمة ﺃﺏ، وهذا يعني أن النقطة ﺟ تقع في مكان ما على هذا الخط. إذا كان المتجه ﺃﺏ يساوي ثلاثة أمثال المتجه ﺟﺏ، فهذا يعني أن ثلاثة أمثال طول ﺟﺏ يساوي طول ﺃﺏ. يمكننا تقسيم الطول ﺃﺏ إلى ثلاثة أجزاء، لكن السؤال هنا هو: هل ستقع ﺟ هنا أم هنا؟ إذا افترضنا أن النقطة ﺟ تقع عند هذه النقطة السفلى، فسيبدو طول ﺟﺏ هكذا. ولكن إذا ضربنا ﺟﺏ في ثلاثة، فلن نحصل على طول ﺃﺏ. يمكننا إذن القول إن النقطة ﺟ لا بد أن تقع هنا، أي أقرب إلى النقطة ﺏ، حيث سيكون طول ﺟﺏ مناسبًا. ثلاثة أمثال ﺟﺏ يساوي ﺃﺏ.

علينا الآن حل السؤال الخاص بإيجاد النسبة التي تقسم بها النقطة ﺟ المتجه ﺏﺃ. يمكننا القول إنه إذا كان طول ﺏﺟ هو وحدة طول واحدة، فإن طول ﺃﺟ سيكافئ ضعف هذا الطول. إذن، هل نكتب هذه النسبة على الصورة اثنين إلى واحد أم واحد إلى اثنين؟ حسنًا، الاتجاه هنا مهم جدًا. لدينا المتجه ﺏﺃ، وهو ما يعني أننا ننتقل من النقطة ﺏ إلى النقطة ﺃ. وبالتالي، يمكننا القول إن إجابتنا هي النسبة واحد إلى اثنين، المعطاة في الخيار (ب). لاحظ أنه إذا كان لدينا المتجه ﺃﺏ بدلًا من المتجه ﺏﺃ، فستكون الإجابة هي النسبة اثنين إلى واحد. لكن هنا، بما أن النقطة ﺟ تقسم المتجه ﺏﺃ، فستكون الإجابة هي النسبة واحد إلى اثنين.

سنتناول الآن السؤال الأخير.

تقطع حافلة مسافة من المدينة ﺃ التي إحداثياها ١٠، سالب ١٠ إلى المدينة ﺏ التي إحداثياها سالب ثمانية، ثمانية. توقفت الحافلة عند ﺟ وهي في منتصف الطريق بين المدينتين. ثم توقفت عند ﺩ وهي في ثلثي المسافة من ﺃ إلى ﺏ. ما إحداثيات ﺟ وﺩ ؟

في هذه المسألة، لدينا حافلة تقطع مسافة من ﺃ إلى ﺏ. وتتوقف في منتصف الطريق، أي عند النقطة ﺟ، ثم تتوقف مجددًا عند النقطة ﺩ التي تقع على بعد ثلثي المسافة من ﺃ إلى ﺏ. ربما علينا أن نبدأ بتحديد مواضع النقاط الموجودة لدينا على تمثيل بياني. لدينا هنا النقطة ﺃ عند ١٠، سالب ١٠ والنقطة ﺏ عند سالب ثمانية، ثمانية. ويمكننا أيضًا توصيل هاتين النقطتين بخط. تقع نقطة منتصف الطريق في رحلة الحافلة عند النقطة ﺟ. إذا استخدمنا ورقة تمثيل بياني وكانت النتيجة عددًا صحيحًا، فربما نتمكن من قراءة إحداثيي النقطة ﺟ مباشرة من التمثيل البياني. لكن دعونا نر ما إذا كان بإمكاننا حل هذا باستخدام الصيغة الخاصة بإيجاد نقطة منتصف القطعة المستقيمة. تخبرنا هذه الصيغة أنه بالنسبة للنقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، تقع نقطة منتصف الخط الواصل بين هاتين النقطتين عند الإحداثيين ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين.

يمكننا أن نجعل إحداثيي النقطة ﺃ هما ﺱ واحد، ﺹ واحد، وإحداثيي النقطة ﺏ هما ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ثم نعوض بهذه القيم في الصيغة. سنجد من هذا أن قيمة ﺱ لنقطة المنتصف ستكون ١٠ زائد سالب ثمانية على اثنين، وقيمة ﺹ ستكون سالب ١٠ زائد ثمانية على اثنين. إذن يمكننا كتابة نقطة المنتصف على الصورة اثنين على اثنين، سالب اثنين على اثنين؛ وهو ما يساوي بالطبع واحدًا، سالب واحد. وبذلك نكون قد توصلنا إلى الإجابة الأولى. وهي أن إحداثيي النقطة ﺟ، أي نقطة المنتصف، هما واحد، سالب واحد.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونر ما إذا كان بإمكاننا إيجاد إحداثيي النقطة ﺩ . نحن نعلم أن النقطة ﺩ تقع عند ثلثي المسافة من ﺃ إلى ﺏ. إذن، يمكننا تقسيم الخط إلى ثلاثة أجزاء متساوية، ونحن نعلم أن النقطة ﺩ تقع في نهاية جزأين من هذه الأجزاء الثلاثة. بالرغم من أننا نعرف صيغة نقطة المنتصف التي نوجد من خلالها إحداثيي النقطة التي تقع في منتصف خط ما، لكننا لا نعرف صيغة لإيجاد إحداثيي نقطة تقع في ثلثي الخط. لكن لعلنا نتذكر صيغة التقسيم التي تمكننا من تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معينة. وتخبرنا هذه الصيغة أنه بالنسبة للنقطة ﺃ التي إحداثياها ﺱ واحد، ﺹ واحد والنقطة ﺏ التي إحداثياها ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، يكون إحداثيا النقطة ﻥ، التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بالنسبة ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين، هو ﻥ تساوي ﻝ واحد ﺱ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين، ﻝ واحد ﺹ اثنين زائد ﻝ اثنين ﺹ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين.

إذن، لإيجاد إحداثيي النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ، علينا معرفة النسبة. وبما أننا نعلم أن النقطة ﺩ تقع في ثلثي المسافة من ﺃ إلى ﺏ، إذن سنقسم ﺃﺏ إلى ثلاثة أجزاء. المسافة من ﺃ إلى ﺩ هي جزآن من هذه الأجزاء الثلاثة، بينما المسافة من ﺩ إلى ﺏ هي الجزء المتبقي. وعليه، فإن النقطة ﺩ تقسم القطعة المستقيمة التي تصل بين ﺃ وﺏ بنسبة اثنين إلى واحد. لاستخدام صيغة التقسيم، علينا استخدام الحرفين ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين اللذين يمثلان النسبة اثنين إلى واحد، وعلينا أيضًا استخدام إحداثيات النقطتين ﺃ وﺏ.

يمكننا إذن التعويض بهذه القيم في الصيغة لنجد أن قيمة ﺱ للنقطة ﺩ تساوي اثنين في سالب ثمانية زائد واحد في ١٠ على اثنين زائد واحد. وقيمة ﺹ للنقطة نفسها هي اثنان في ثمانية زائد واحد في سالب ١٠ على اثنين زائد واحد. وبتبسيط هذه القيم، نحصل على إحداثيي النقطة ﺩ ، وهما سالب ستة على ثلاثة، ستة على ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب اثنين، اثنين. وبالتالي، ستكون الإجابة هي أن إحداثيي النقطة ﺟ هما واحد، سالب واحد وإحداثيي النقطة ﺩ هما سالب اثنين، اثنين.

يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. أولًا، عرفنا صيغة التقسيم التي تخبرنا أنه بالنسبة للنقطة ﺃ التي إحداثياها ﺱ واحد، ﺹ واحد والنقطة ﺏ التي إحداثياها ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، يكون إحداثيا النقطة ﻥ، التي تقسم القطعة المستقيمة ﺃﺏ بالنسبة ﻝ واحد إلى ﻝ اثنين، كما يلي. قيمة ﺱ تساوي ﻝ واحد في ﺱ اثنين زائد ﻝ اثنين في ﺱ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين، وقيمة ﺹ تساوي ﻝ واحد في ﺹ اثنين زائد ﻝ اثنين في ﺹ واحد على ﻝ واحد زائد ﻝ اثنين.

كما عرفنا أيضًا أنه عند تقسيم خط ما إلى جزأين متساويين، يمكننا استخدام الصيغة الخاصة بإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة. وتخبرنا هذه الصيغة أن نقطة منتصف الخط الواصل بين الزوجين الإحداثيين ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين يكون إحداثياها هما ﺱ واحد زائد ﺱ اثنين على اثنين، ﺹ واحد زائد ﺹ اثنين على اثنين. وأخيرًا، إليك نصيحة جيدة وهي أنه من المفيد جدًا أن نرسم التمثيلات البيانية وأن نحدد عليها مواضع أي نقاط معطاة. سيساعدنا هذا في التفكير بشكل منطقي عند حل المسائل، وسيفيدنا عند إيجاد نسب تقسيم قطعة مستقيمة.