نسخة الفيديو النصية
أوجد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجهين ﺱ سبعة، اثنين، سالب ١٠، وﺹ اثنين، ستة، أربعة. قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين متجهين هما: المتجه ﺱ سبعة، اثنين، سالب ١٠، والمتجه ﺹ اثنين، ستة، أربعة. علينا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين. نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين متجهين، هما المتجه ﻉ والمتجه ﻕ، فإن جتا 𝜃 سيساوي حاصل الضرب القياسي للمتجه ﻉ في المتجه ﻕ مقسومًا على معيار المتجه ﻉ مضروبًا في معيار المتجه ﻕ. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن الأمر نفسه ينطبق بطريقة عكسية. فإذا كان قياس 𝜃 يحقق هذه المعادلة، فنقول إذن إن 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻉ وﻕ.
بصفة عامة، حينما نذكر الزاوية المحصورة بين متجهين، فإننا عادة نقصد أصغر قيمة غير سالبة لقياس 𝜃. يمكننا إيجاد هذا القياس بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. ومن ثم، لإيجاد قياس الزاوية 𝜃 المعطاة في السؤال، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ، وعلينا إيجاد معياري المتجه ﺱ والمتجه ﺹ. هيا نبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي. علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ. هذا هو حاصل الضرب القياسي للمتجه سبعة، اثنين، سالب ١٠، في المتجه اثنين، ستة، أربعة.
تذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين، علينا إيجاد حاصل ضرب المركبات المتناظرة، ثم جمع النواتج معًا. في هذه الحالة، نجد أن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺱ في المتجه ﺹ يساوي سبعة في اثنين زائد اثنين في ستة زائد سالب ١٠ مضروبًا في أربعة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنجد أنها تساوي سالب ١٤.
بعد ذلك، علينا حساب معيار المتجه ﺱ ومعيار المتجه ﺹ. لفعل ذلك، نتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي الموجب لمجموع مربعات مركباته. بعبارة أخرى، معيار المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ سيساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد معيار كل من المتجهين ﺱ وﺹ. لنبدأ بمعيار المتجه ﺱ. الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركبات المتجه ﺱ يساوي الجذر التربيعي لسبعة تربيع زائد اثنين تربيع زائد سالب ١٠ الكل تربيع. وإذا حسبنا ذلك، فسنجد أن معيار المتجه ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٥٣.
يمكننا فعل الأمر نفسه مع المتجه ﺹ. معيار المتجه ﺹ هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. هذا يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ستة تربيع زائد أربعة تربيع. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنجد أن معيار المتجه ﺹ هو جذر ٥٦. نحن الآن جاهزون للتعويض بهذه القيم في الصيغة التي تتضمن 𝜃، وهي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺱ وﺹ. نعلم أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺱ وﺹ، فإن جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ مقسومًا على معيار المتجه ﺱ مضروبًا في معيار المتجه ﺹ.
لقد حسبنا بالفعل حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺱ في المتجه ﺹ. لقد وجدنا أن هذا يساوي سالب ١٤. وبالمثل، وجدنا أيضًا أن معيار المتجه ﺱ هو جذر ١٥٣، ومعيار المتجه ﺹ هو جذر ٥٦. وعليه، فإن جتا 𝜃 يساوي سالب ١٤ على جذر ١٥٣ مضروبًا في جذر ٥٦. يمكننا تبسيط هذا التعبير. ولكن هذا ليس ضروريًّا. فما علينا سوى إيجاد قيمة 𝜃. ولإجراء ذلك، علينا حساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا سالب ١٤ مقسومًا على جذر ١٥٣ في جذر ٥٦.
يمكننا بعد ذلك استخدام الآلة الحاسبة لحساب قيمة هذا التعبير. لم يخبرنا السؤال باستخدام الدرجات أو الراديان؛ لذا سنستخدم الدرجات. نحصل على ٩٨٫٦٩٩ درجة مع توالي أرقام هذا العدد العشري. يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. لفعل ذلك، نلاحظ أن الخانة العشرية الثانية بها الرقم تسعة. وهذا يعني أن علينا التقريب لأعلى. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وعليه، فإن قياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجه ﺱ سبعة، اثنين، سالب ١٠، والمتجه ﺹ اثنين، ستة، أربعة لأقرب منزلة عشرية يساوي ٩٨٫٧ درجة.