فيديو الدرس: حجوم المجسمات المتشابهة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول المجسمات المتشابهة وبالتحديد العلاقة بين حجومها. لنوضح في البداية معنى مصطلح المجسمات المتشابهة. يكون المجسمان متشابهين أولًا إذا كانا بالصورة نفسها، ثانيًا عندما تكون أطوال الأضلاع المتناظرة بالنسبة نفسها. في حالة متوازي المستطيلات مثلًا، إذا ضاعفت عرضه، فيجب مضاعفة طوله وارتفاعه لتكوين مجسمين متشابهين. فلا يمكن ضرب بعد واحد في اثنين وضرب بعد آخر في ثلاثة على سبيل المثال. إليك مثال لمتوازيي مستطيلات متشابهين. إذا نظرت إلى أطوال أضلاع متوازيي المستطيلات، فستجد أن أطوال أضلاع متوازي المستطيلات ﺏ ضعف أطوال أضلاع متوازي المستطيلات ﺃ. إذ يصبح السنتيمتران أربعة سنتيمترات، وتصبح الثلاثة سنتيمترات ستة سنتيمترات، وتصبح الخمسة سنتيمترات ١٠ سنتيمترات.

نشير إلى ذلك بالنسبة بين أطوال الأضلاع أو النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة بين المجسمين. وإذا اخترنا أي زوج من الأضلاع المتناظرة، كالثلاثة إلى ستة مثلًا، فستكون النسبة بين طولي الضلعين هي ثلاثة إلى ستة، ولكن بالطبع يمكن تبسيط هذه النسبة بحيث تصبح واحدًا إلى اثنين. هذه النسبة هي نفسها نسبة أي زوج من الأضلاع المتناظرة. نريد الآن النظر إلى حجمي هذين المجسمين المتشابهين. لنلق نظرة على حجم كل متوازي مستطيلات. تذكر أنه لإيجاد حجم متوازي المستطيلات، يجب ضرب أبعاده الثلاثة معًا. إذن في حالة متوازي المستطيلات ﺃ، الحجم يساوي اثنين في ثلاثة في خمسة، ما يعطينا ٣٠ سنتيمترًا مكعبًا، وفي حالة متوازي المستطيلات ﺏ، لدينا أربعة في ستة في ١٠ يساوي ٢٤٠ سنتيمترًا مكعبًا. وكما فعلنا مع أطوال الأضلاع، نكتب نسبة هذين الحجمين. النسبة هي ٣٠ إلى ٢٤٠، ولكن يبسط ذلك لأنه يمكن قسمة طرفي النسبة على ٣٠. إذن، نحصل على النسبة بين الحجوم وهي واحد إلى ثمانية.

النقطة المهمة هنا هي أن هناك علاقة بين النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة والنسبة بين الحجوم. قد لا يتضح ذلك في حالة العدد واحد. ولكن في حالة العددين اثنين وثمانية، فالعلاقة هي اثنان تكعيب يساوي ثمانية. وبالطبع يمكنك الآن التفكير في العدد واحد، فواحد تكعيب يساوي واحد أيضًا. هذه ليست مصادفة. أيًّا كانت النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة، فدائمًا ما يمكن إيجاد النسبة بين الحجوم بتكعيب الطرفين. يوضح ذلك القاعدة العامة التي سنستخدمها في هذا الفيديو، والتي تنص على أنه إذا كانت نسبة أطوال الأضلاع المتناظرة بين مجسمين متشابهين هي ﺃ إلى ﺏ، فإن نسبة الحجم بينهما هي ﺃ تكعيب إلى ﺏ تكعيب. لننظر إلى مسألتين مرتبطتين بذلك.

تقول المسألة الأولى إن المجسمين ﻝ وﺭ متشابهان. والنسبة بين أطوال أضلاعهما هي اثنان إلى سبعة. مطلوب منا إيجاد النسبة بين حجميهما.

المسألة الأولى هذه مجرد تطبيق للقاعدة العامة التي رأيناها في الشاشة السابقة. دعوني أذكركم بهذه القاعدة، وهي تنص على أنه إذا كانت نسبة الطول بين مجسمين متشابهين هي ﺃ إلى ﺏ. فإن نسبة الحجم هي ﺃ تكعيب إلى ﺏ تكعيب. إذن يمكننا إيجاد نسبة حجم كل من المجسمين ﻝ وﺭ بتكعيب جزأي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. بذلك، تصبح النسبة بين الحجوم اثنين تكعيب إلى سبعة تكعيب. وإيجاد قيمة الطرفين يعطينا النسبة بين الحجوم وهي ثمانية إلى ٣٤٣. هذه مسألة بسيطة، ولكنها مهمة لأننا في معظم الأحيان ننسى هذه العلاقة. ونفترض أنه إذا كان بين أطوال الأضلاع نسبة محددة، فيجب أن يكون بين الحجوم النسبة نفسها أيضًا. لكن كما رأينا في متوازيي المستطيلات، الأمر ليس كذلك.

حسنًا، لدينا المسألة التالية.

المخروطان ﺃ وﺏ متشابهان. أوجد حجم المخروط ﺏ.

إذا نظرت إلى معطيات المسألة، فستجد أن لدينا طولا المخروطين ﺃ وﺏ. يمثل الطولان نصف قطر الدائرة في القاعدة. كما تخبرنا المسألة بحجم المخروط ﺃ. علينا استخدام جميع هذه المعطيات معًا لإيجاد حجم المخروط ﺏ. إذن للبدء في حل هذه المسألة، لدينا أطوال الأضلاع المتناظرة في المخروطين، ما يعني أنه يمكننا كتابة النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة بين المخروطين هي ثلاثة إلى ستة، ولكن يمكن تبسيط ذلك إلى واحد إلى اثنين بقسمة الطرفين على ثلاثة. يمكننا من ذلك إيجاد النسبة بين الحجوم، فكما عرفنا أنه لإيجاد النسبة بين الحجوم من النسبة بين أطوال الأضلاع، علينا تكعيب الطرفين. إذن، النسبة بين الحجوم هي واحد تكعيب إلى اثنين تكعيب، وهو ما يساوي بالتأكيد واحدًا إلى ثمانية.

هذا معناه أن حجم المخروط ﺏ أكبر من حجم المخروط ﺃ بثماني مرات. إذن يمكن إيجاد ذلك من خلال ضرب حجم المخروط ﺃ، وهو ٧٠ سنتيمترًا، في ثمانية. بذلك نحصل على حجم المخروط ﺏ، وهو ٥٦٠ سنتيمترًا مكعبًا. الأمر المهم ملاحظته في هذه المسألة هو أننا لم نضطر إلى استخدام صيغة معينة لحساب قيمة حجم المخروط حتى إذا كانت هناك صيغة لذلك بالفعل. إذ استخدمنا ببساطة العلاقة بين حجمي المخروطين بسبب التشابه بينهما.

تقول المسألة الأخيرة التي سنتناولها إن الهرمين بالأسفل متشابهان. أوجد ارتفاع الهرم الصغير. بالنظر إلى معطيات المسألة، نجد أن لدينا حجمي الهرمين وارتفاع الهرم الكبير. ولكن ارتفاع الهرم الصغير غير معلوم. وهذا ما نحاول إيجاده. لنفكر إذن فيما يمكن كتابته لبدء الحل. نعرف الحجمين. وبالتالي يمكننا كتابة النسبة بين الحجوم لكلا الهرمين. النسبة بين الحجوم هي ١٦ إلى ٥٤. ويمكننا تبسيط ذلك بقسمة جزأي النسبة على اثنين. إذن، النسبة المبسطة هي ثمانية إلى ٢٧.

نريد الآن إيجاد ارتفاع الهرم الصغير، وهو طول ضلع، لذا نريد معرفة النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. يمكننا إيجادها من النسبة بين الحجوم. هل تتذكر القاعدة العامة التي تنص على أنه أيًّا كانت النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة فإن النسبة بين الحجوم تساوي مكعبها؟ هذا يعني أنه يمكننا العمل بطريقة عكسية من معرفة النسبة بين الحجوم إلى إيجاد النسبة بين أطوال الأضلاع. ولكن بدلًا من التكعيب، سنوجد الجذر التكعيبي كما لو كنا نحل بطريقة عكسية. إذن، النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة تساوي الجذر التكعيبي لثمانية إلى الجذر التكعيبي لـ ٢٧. إيجاد قيمة ذلك يخبرنا بأن النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة تساوي اثنين إلى ثلاثة. أخيرًا، علينا استخدام هذه النسبة لإيجاد الارتفاع المجهول.

سأسمي الارتفاع بحرف ما، وليكن ﻉ. يخبرنا هذا أنه في حالة قسمة ﻉ، أي ارتفاع الهرم الصغير، على ستة وهو ارتفاع الهرم الكبير، نحصل على اثنين مقسومة على ثلاثة باستخدام النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. وبالتالي يصبح لدينا معادلة بسيطة لقيمة ﻉ المجهولة. ما علينا فعله الآن هو حل هذه المعادلة. إذا ضربنا طرفي المعادلة في ستة. فهذا يعطينا ﻉ يساوي ستة في ثلثين، وهو ما يساوي أربعة. إذن، ارتفاع الهرم الصغير يجب أن يساوي أربعة أمتار.

هذه المسألة أكثر صعوبة نوعًا ما من المسائل السابقة لأنها تضمنت الحل بطريقة عكسية وإيجاد الجذر التكعيبي للنسبة بين الحجوم لإيجاد النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

خلاصة القول، لقد رأينا العلاقة الأساسية القائمة بين حجوم المجسمات المتشابهة. وعرفنا كيفية استخدامها لحل المسائل المتعلقة بإيجاد حجم مجسم صغير أو كبير، وأيضًا إيجاد طول ضلع مجهول في أحد المجسمين.