فيديو: الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول كيفية حساب قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم.

لنوضح أولًا معنى كلمة منتظم. لدينا شكلان على الشاشة، أحدهما سداسي أضلاع منتظم والآخر سداسي أضلاع غير منتظم. الشكلان سداسيا الأضلاع، أي إن لكل منهما ستة أضلاع، ولكن صورة كل من الشكلين تختلف تمامًا عن صورة الشكل الآخر. إذا نظرت إلى الشكلين جيدًا، فستجد أن الاختلاف يكمن فيما يلي. في الشكل سداسي الأضلاع المنتظم، جميع الأضلاع متساوية في الطول وجميع الزوايا الداخلية متساوية في القياس أيضًا. ذلك في حين أن هذا لا ينطبق على سداسي الأضلاع غير المنتظم.

لذا في هذا الفيديو، سنركز تحديدًا على المضلعات المنتظمة. مجرد تذكير بالزوايا الداخلية، نقول إن الزوايا الداخلية للمضلع هي الزوايا التي تقع داخل الشكل نفسه، أي الزوايا المحددة باللون الأحمر في الشكل سداسي الأضلاع لدينا. كما رأينا بالفعل في المضلع المنتظم، يجب أن تكون جميع الزوايا الداخلية متماثلة. ما نريد معرفته هو كيفية حساب قياس كل زاوية من الزوايا الداخلية في مضلع منتظم بعدد محدد من الأضلاع.

رأينا سابقًا أن هناك صيغة لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مضلع. وهذه هي الصيغة الموضحة هنا. إذن، مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مضلع بعدد ‪𝑛‬‏ من الأضلاع يساوي 180 في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين، حيث يمثل ‪𝑛‬‏ عدد الأضلاع. لاحظ أنه لم يرد ذكر كلمة منتظم هنا. إذن هذه الصيغة صحيحة بصرف النظر عما إذا كان المضلع المعني منتظمًا أو غير منتظم.

مجرد تذكير سريع بأصل هذه الصيغة، إذا نظرت إلى مضلع واخترت زاوية كهذه الزاوية هنا. وتمكنت من توصيلها بجميع زوايا المضلع الأخرى، كما فعلت هنا، فستجد أنك قسمت المضلع إلى مثلثات. ولدينا في هذه الحالة أربعة مثلثات. ما ستلاحظه إذا فعلت ذلك في عدد من المضلعات المختلفة أن عدد المثلثات التي كونتها أقل من عدد الأضلاع دائمًا بمقدار اثنين.

لدينا هنا ستة أضلاع وبالتالي أربعة مثلثات. مجموع قياسات زوايا كل مثلث من هذه المثلثات يساوي 180 درجة. ومن ثم فإن إجمالي مجموع قياسات الزوايا الداخلية هو عدد المثلثات مضروبًا في 180. وبما أن عدد المثلثات أقل من عدد الأضلاع دائمًا بمقدار اثنين، فمن هنا يأتي العامل ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين. وبهذا تنطبق هذه الصيغة على مجموع قياسات الزوايا الداخلية بصرف النظر عما إذا كان المضلع المعني منتظمًا أو غير منتظم.

يتناول هذا الفيديو المضلعات المنتظمة تحديدًا وحساب قياس كل زاوية داخلية على حدة بدلًا من حساب المجموع الكلي لها. لنفكر إذن كيف يمكننا استخدام هذه الصيغة في حساب قياس كل زاوية داخلية على حدة في مضلع منتظم. إذا كان للمضلع عدد ‪𝑛‬‏ من الأضلاع، فله أيضًا عدد ‪𝑛‬‏ من الزوايا الداخلية. وتكون جميع الزوايا متماثلة لأن المضلع منتظم. لذا، إذا عرفنا المجموع، أي مجموع قياسات هذه الزوايا الداخلية. وأردنا حساب قياس كل زاوية على حدة؛ فعلينا القسمة على عدد الزوايا.

وهذا يعني القسمة على ‪𝑛‬‏. ويمكننا اختصار هذه الصيغة فيما يلي. قياس الزاوية الداخلية في مضلع منتظم بعدد ‪𝑛‬‏ من الأضلاع يساوي 180 في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين مقسومًا على ‪𝑛‬‏، أي المجموع الكلي مقسومًا على عدد الزوايا الداخلية للمضلع. من المهم أن نتذكر أن هذا لا ينطبق إلا إذا كان المضلع الذي لديك منتظمًا. وإذا كان المضلع غير منتظم، فستكون قياسات جميع الزوايا الداخلية مختلفة، ومن ثم لن يكون لدينا صيغة عامة لحساب هذه القياسات.

لنطبق الآن هذه الصيغة في المسألة لدينا، والتي تطلب منا حساب قياس زاوية داخلية في شكل سداسي أضلاع منتظم.

تتعلق المسألة باستخدام الصيغة لدينا، ولكن عن طريق التعويض عن قيمة ‪𝑛‬‏. تذكر أن ‪𝑛‬‏ يمثل عدد الأضلاع. في الشكل السداسي لدينا ستة أضلاع، ومن ثم سنعوض عن ‪𝑛‬‏ بستة في صيغة الزاوية الداخلية. نستنتج من هذا أن كل زاوية داخلية تساوي 180 في ستة ناقص اثنين أو أربعة، ثم نقسم ذلك على ستة. بإيجاد قيمة ذلك، نعلم أن كل زاوية داخلية تساوي 120 درجة.

يمكنك حل هذه المسألة لأي مضلع منتظم أيًّا كان ما دمت تعرف عدد الأضلاع. فهي مجرد مسألة تعويض بقيمة ‪𝑛‬‏ الصحيحة في الصيغة التي توصلنا إليها بالفعل. لننظر إلى نوع آخر من المسائل.

تخبرنا هذه المسألة أن كل زاوية داخلية في مضلع منتظم تساوي 160 درجة. والمطلوب منا هو إيجاد عدد أضلاع هذا المضلع.

إذن، هذه المسألة مثال على الحل بطريقة عكسية. لدينا قياس كل زاوية داخلية، ونريد الحل بطريقة عكسية لإيجاد عدد الأضلاع. لنفكر إذن في كيفية التعامل مع هذه المسألة. نعرف قيمة كل زاوية داخلية، كما نعلم أيضًا صيغة حساب قياس الزاوية الداخلية. أود أن أذكركم بهذه الصيغة، حيث الزاوية الداخلية تساوي 180 في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين الكل على ‪𝑛‬‏، حيث يمثل ‪𝑛‬‏ عدد الأضلاع.

يمكننا استخدام هاتين المعلومتين لصياغة معادلة. بمساواة كل منهما بالأخرى، يصبح لدينا ما يلي. ‏180 في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين على ‪𝑛‬‏ يساوي 160. هذه هي صيغة قياس الزاوية الداخلية وقيمة الزاوية الداخلية التي نعلمها. أصبحت هذه المسألة الآن مسألة جبرية بالكامل. إذ لدينا معادلة، وعلينا حلها لإيجاد قيمة ‪𝑛‬‏.

حسنًا، نشرع في الخطوة الأولى. لدينا ‪𝑛‬‏ في مقام الطرف الأيسر من المعادلة. ولحذف ذلك من المقام، نضرب طرفي المعادلة في ‪𝑛‬‏. عند القيام بذلك، يصبح لدينا 180 في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين يساوي 160‪𝑛‬‏. تتمثل الخطوة التالية في وجود طرق مختلفة يمكنك استخدامها لحل هذه المعادلة. سأختار فك القوسين في الطرف الأيسر.

وبذلك يصبح لدينا 180‪𝑛‬‏ ناقص 360 يساوي 160‪𝑛‬‏. سنجمع بعد ذلك حدي ‪𝑛‬‏ معًا في الطرف الأيسر. إذن نطرح 160‪𝑛‬‏ من طرفي المعادلة لنحصل على 20‪𝑛‬‏ ناقص 360 يساوي صفرًا. نضيف 360 إلى الطرفين، ما يعطينا 20‪𝑛‬‏ يساوي 360. الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي المعادلة على 20. يعطينا هذا ‪𝑛‬‏ يساوي 18، وهو الحل المطلوب بالنسبة إلى عدد أضلاع هذا المضلع.

تذكر أن هذه المسألة تضمنت العمل بطريقة عكسية. عرفنا قياس الزاوية الداخلية وتوصلنا إلى الحل بطريقة عكسية لإيجاد عدد الأضلاع. في أغلب الأحيان، عندما تتضمن المسألة الحل بطريقة عكسية، من الجيد أن تصوغ معادلة ثم تحلها جبريًّا لمساعدتك في الإجابة عن السؤال. من المنطقي الآن أن نتحقق من الحل. يمكننا التعويض بالقيمة 18 في صيغة حساب قياس الزاوية الداخلية والتأكد من الحصول على الناتج 160 درجة. يمكنك القيام بذلك بنفسك للتأكد من أن هذه هي الإجابة الصحيحة.

لننتقل إلى المسألة الأخيرة، حيث لدينا شكل. وتقول المسألة إنه من الممكن تكوين نمط الفسيفساء هذا من ثماني أضلاع منتظم وسداسي أضلاع منتظم ومربع.

إذن، السؤال هو إذا أردت تكوين هذا النمط، فهل ستكون الأشكال منتظمة؟ لنفكر الآن في علاقة هذا بالزوايا الداخلية. ما تلاحظه أنه في جزء من هذا التصميم، توجد نقطة محددة تلتقي فيها هذه الأشكال الثلاثة معًا. وترتكز الزوايا الداخلية للأشكال الثلاثة معًا حول نقطة. هذا معناه أن المسألة تقول في الأساس إن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لهذه الأشكال الثلاثة يساوي 360 درجة. والسبب في ذلك أنه إذا لم يكن الأمر كذلك، فسيكون هناك فراغ بين هذه الأشكال أو تداخل بينها.

ما يجب علينا فعله هو التفكير في الزوايا الداخلية لكل شكل من هذه الأشكال الثلاثة. مجرد تذكير بالصيغة التي نحتاجها، في المضلع المنتظم بعدد ‪𝑛‬‏ من الأضلاع، نوجد قياس الزاوية الداخلية باستخدام هذه الصيغة. ‏180 في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين على ‪𝑛‬‏. لنوجد قيمة ذلك. لدينا أولًا شكل ثماني أضلاع منتظم، إذن لدينا ثمانية أضلاع. ومن ثم نعوض عن ‪𝑛‬‏ بثمانية في هذه الصيغة. ‏180 في ثمانية ناقص اثنين على ثمانية. يعطينا هذا قياس الزاوية الداخلية لشكل ثماني الأضلاع، وهو 135 درجة.

لدينا شكل سداسي الأضلاع بالفعل في هذا الفيديو، ولكن يمكننا كتابة ذلك مرة أخرى. لدينا 180 في ستة ناقص اثنين على ستة. وكما رأينا من قبل، يعطينا هذا قياس الزاوية الخارجية للشكل سداسي الأضلاع، وهو 120 درجة. بالانتقال للمربع، الأرجح أنك تعلم أن قياس كل زاوية من زواياه الداخلية يساوي 90 درجة. يمكنك التحقق من ذلك باستخدام الصيغة من خلال التعويض عن ‪𝑛‬‏ بأربعة، ولكننا سنكتفي بمعلومة أن القياس 90 درجة. بذلك نكون قد حصلنا على قياسات الزوايا الثلاث.

وقد حددت كل زاوية منها على الشكل. والسؤال إذن هو هل مجموع قياسات هذه الزوايا الثلاث يساوي 360 درجة؟ بالطبع لا، فمجموع قياسات الزوايا الثلاث يساوي 345 درجة، ما يعني أنك إذا كنت تحاول جعل نمط الفسيفساء هذا غير منتظم، فسيكون لديك فراغ. إذن، الإجابة عن السؤال: هل هذا ممكن؟ هي لا، هذا غير ممكن.

خلاصة القول، تناولنا في هذا الفيديو مفهوم المضلع المنتظم. وتناولنا صيغة حساب قياس الزاوية الداخلية في مضلع منتظم إذا كنت تعلم عدد أضلاعه. كما تناولنا الحل بطريقة عكسية من معرفة قياس كل زاوية داخلية إلى حساب عدد الأضلاع. وأخيرًا تناولنا بعض مهارات حل المسائل التي يمكن استخدام هذه الطريقة فيها.