نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏﺟﺩ مربع طول ضلعه ١٠ سنتيمترات. ما قيمة حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃﺏ والمتجه ﺏﺟ؟
في هذا السؤال، لدينا بعض المعطيات عن المربع ﺃﺏﺟﺩ. علمنا أن طول كل ضلع في هذا المربع يساوي ١٠ سنتيمترات. علينا استخدام ذلك لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين اللذين يمثلان اثنين من أضلاعه؛ وهما المتجه ﺃﺏ والمتجه ﺏﺟ.
دعونا نبدأ برسم صورة توضيحية للمربع ﺃﺏﺟﺩ الذي طول ضلعه ١٠ سنتيمترات. في الواقع، هناك عدة طرق لإيجاد حاصل الضرب القياسي هذا. إحداها هي أن نكتب المتجهين ﺃﺏ وﺏﺟ في صورة مركبات من الشكل الموضح. على سبيل المثال، يمكننا ملاحظة أن المتجه الممتد من ﺃ إلى ﺏ ليست له مركبة أفقية، ومركبته الرأسية تساوي ١٠ سنتيمترات. إذن، يمكن تمثيل المتجه الممتد من ﺃ إلى ﺏ بالمركبة الأفقية صفر والمركبة الرأسية ١٠ ؛ وذلك لأنه للانتقال من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، نزيد قيمة المركبة الرأسية بمقدار ١٠ سنتيمترات.
يمكننا فعل الأمر نفسه مع المتجه ﺏﺟ. للانتقال من النقطة ﺏ إلى النقطة ﺟ، ستكون المركبة الرأسية صفرًا. ولكننا نزيد المركبة الأفقية بمقدار ١٠. إذن، يمكن تمثيل المتجه الممتد من ﺏ إلى ﺟ بالمتجه ١٠، صفر.
يمكننا الآن إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين مباشرة. وللقيام بذلك، علينا استرجاع كيفية حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين. تذكر أنه للقيام بذلك، فإننا نضرب كل مركبتين متناظرتين معًا ثم نجمع حاصلي الضرب. ومن ثم، سنبدأ بضرب أول مركبتين بالمتجهين لدينا معًا. هذا يساوي صفرًا مضروبًا في ١٠. ونضيف إلى ذلك حاصل ضرب ثاني مركبتين بالمتجهين لدينا. وهذا يساوي ١٠ مضروبًا في صفر. وبالطبع، يمكننا حساب ذلك. إنه يساوي صفرًا.
لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها إيجاد قيمة هذا التعبير. نحن نعلم صيغة تتضمن حاصل الضرب القياسي لمتجهين والزاوية المحصورة بينهما. إننا نعلم أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ﻉ وﻕ، فإن جتا 𝜃 يجب أن يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ مقسومًا على معيار ﻉ في معيار ﻕ. إذن الطريقة الأخرى لإيجاد حاصل الضرب القياسي المطلوب في هذا السؤال هي إيجاد معياري المتجهين لدينا وقياس الزاوية المحصورة بينهما. وبعد ذلك، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة وإيجاد حاصل الضرب القياسي.
دعونا نبدأ بإيجاد معياري المتجهين. وهما المتجه ﺃﺏ والمتجه ﺏﺟ. يوضح لنا هذا الترميز أن المتجه ﺃﺏ هو المتجه الممتد من ﺃ إلى ﺏ، والمتجه ﺏﺟ هو المتجه الممتد من ﺏ إلى ﺟ. ويمكننا أن نلاحظ من الشكل الموضح أن هذين المتجهين سيكونان طولي ضلعين في المربع. وعلمنا من معطيات السؤال أن طول ضلع المربع يساوي ١٠ سنتيمترات. لذا يمكننا البدء بقول إن معيار كل من ﺃﺏ وﺏﺟ سيكون ١٠ سنتيمترات.
علينا الآن إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين لدينا. دعونا نبدأ برسم هذين المتجهين على الشكل الموضح. سنبدأ برسم المتجه ﺃﺏ. وهو المتجه الممتد من ﺃ إلى ﺏ. ثم نرسم المتجه الممتد من ﺏ إلى ﺟ.
علينا الانتباه هنا. من السهل أن ننخدع ونقول إن الزاوية ﺃﺏﺟ هي الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين. لكن هذا غير صحيح. لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين، يجب أن يبدأ المتجهان عند النقطة نفسها. ويمكننا ملاحظة أن هذا غير صحيح في الشكل الموضح. المتجه ﺃﺏ يبدأ عند ﺃ وينتهي عند ﺏ، في حين أن المتجه ﺏﺟ يبدأ عند ﺏ وينتهي عند ﺟ. لذلك سيكون علينا تحريك أحد المتجهين. دعونا نحرك المتجه ﺏﺟ.
تذكر أن المتجه هو عنصر له معيار واتجاه. إذن، إذا كان معيارا المتجهين متساويين ولهما نفس الاتجاه، فإن المتجهين يكونان متساويين. ولأن ﺃﺏﺟﺩ مربع، فإننا نعلم أن طول ﺃﺩ يساوي ١٠، ونعلم أيضًا أن المتجهين ﺃﺩ وﺏﺟ متوازيان. إذن ما أثبتناه للتو هو أن المتجه الممتد من ﺃ إلى ﺩ، والمتجه الممتد من ﺏ إلى ﺟ لهما نفس المعيار والاتجاه. إنهما يمثلان المتجه نفسه. إذن تمثل الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺃﺏ وﺏﺟ بالزاوية ﺩﺃﺏ. وهي بالطبع زاوية قائمة. ومن ثم، فإننا نعرف أن قياسها يساوي ٩٠ درجة.
والآن بعد أن أوجدنا معياري المتجهين لدينا وقياس الزاوية المحصورة بينهما، يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة لدينا. وبذلك يصبح لدينا جتا ٩٠ درجة يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃﺏ وﺏﺟ مقسومًا على ١٠ في ١٠. وإذا بدأنا إيجاد قيمة هذا التعبير، فسنجد أمرًا مثيرًا للاهتمام. جتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا. إذن، الطرف الأيسر من هذه المعادلة لا بد أن يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن البسط يساوي صفرًا.
وهذا يثبت أيضًا أن حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي صفرًا. وهذا يوضح الاستخدام الجيد لإحدى الخواص التي نعرفها. نحن نعلم أنه إذا كان ﻉ وﻕ متجهين متعامدين، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ سيساوي صفرًا. وذلك لأن كون ﻉ وﻕ متعامدين يعني أن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٩٠ درجة. وإذا كان قياس 𝜃 يساوي ٩٠ درجة، فإن جتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا. إذن، الطرف الأيسر من هذه المعادلة لا بد أن يساوي صفرًا. ولا يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ يساوي صفرًا.
وبذلك، نكون قد استطعنا توضيح طريقتين مختلفتين لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃﺏ وﺏﺟ، وهما طولا ضلعين من أضلاع المربع ﺃﺏﺟﺩ الذي يبلغ طول ضلعه ١٠ سنتيمترات. وفي كلتا الحالتين، تمكنا من إثبات أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃﺏ وﺏﺟ يساوي صفرًا.
