فيديو: خواص العمليات

سنستعرض هنا ملخصًا لخواص التجميع والإبدال والتوزيع في عمليتي الجمع والضرب، ثم نتعلم كيفية تبسيط المقادير عن طريق تجميع الحدود المتشابهة، أو التحليل، وفك الأقواس عن طريق ضرب الحدود.

١٠:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنلقي نظرة على خواص العمليات وكيفية استخدامها في عمليتي الجمع والضرب، ثم سنستخدم هذه الخواص لتحليل المقادير الخطية وفكها، وأخيرًا لتجميع حدود معادلة مرتبطة بتحليل وفك المقادير الخطية كذلك.

هيا نلق نظرة على بعض خواص عمليتي الجمع والضرب. لدينا خاصية التجميع، ولدينا هنا ثلاثة زائد خمسة داخل قوسين زائد سبعة يساوي ثلاثة زائد خمسة زائد سبعة.

يعني ذلك أنه لا يهم أي عددين يقعان داخل القوسين. وينطبق الأمر نفسه على الضرب، لدينا اثنان في أربعة داخل قوسين في ستة يساوي اثنين في أربعة في ستة.

مرة أخرى لا يهم أي عددين يقعان داخل القوسين. تذكر أن ذلك في حالة الجمع والضرب فقط. فلا ينطبق هذا على عمليتي الطرح والقسمة. الخاصية التالية هي خاصية الإبدال، وهي خاصية متعلقة بالترتيب فقط.

ثلاثة زائد خمسة زائد سبعة يساوي سبعة زائد خمسة زائد ثلاثة، وذلك سيساوي أيضًا خمسة زائد سبعة زائد ثلاثة. وفي حالة الضرب، اثنان في أربعة في ستة يساوي ستة في أربعة في اثنين، ومن ثم لا يهم الترتيب المكتوب به الأعداد. فالحلول ستكون واحدة دائمًا.

ثم نأتي إلى خاصية التوزيع التي تستخدم عندما يكون لدينا مزيج من عمليتي الجمع والضرب. لدينا هنا اثنان في أربعة زائد ستة. وما نفعله هو أننا نوزع الاثنين على الأربعة، والاثنين على الستة. إذن لدينا اثنان في أربعة زائد اثنين في ستة، فهذا مزيج من الجمع والضرب.

الآن سوف نستخدم هذه الخواص لمساعدتنا في تحليل، وفك، وتجميع بعض الحدود. سنلقي نظرة هنا على جمع وطرح المقادير الخطية. لدينا هذا المقدار هنا: أربعة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين زائد ستة ‪𝑥‬‏ يساوي.

عند الجمع والطرح، علينا تجميع الحدود المتشابهة، والحدود المتشابهة يمكن أن تكون أعدادًا فقط، أو في هذا المقدار هنا هذا الحد يحتوي على ‪𝑥‬‏، وهذا الحد يحتوي على ‪𝑥‬‏، ومن ثم فهما حدان متشابهان. إذن يمكننا جمع أربعة ‪𝑥‬‏ وستة ‪𝑥‬‏ للحصول على ‪10𝑥‬‏.

وهذا يساوي ‪10𝑥‬‏ ناقص اثنين؛ لأنه يوجد حد ثابت واحد فقط؛ نفعل ذلك فحسب. وتوجد إشارة سالب هنا، إذن نضعها هنا.

في هذا المقدار، لدينا سبعة زائد ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية يساوي. ولاحظ هنا أن لدينا حدًا به ‪𝑥𝑦‬‏، ولكنه حد واحد فقط، وحدًا به ‪𝑥‬‏؛ ومع أن كليهما فيه ‪𝑥‬‏، فإن ‪𝑥𝑦‬‏ مختلف عن ‪𝑥‬‏، ومن ثم فهما ليسا حدين متشابهين.

الحدود المتشابهة هنا هي الثوابت، وهي سبعة وثمانية، وبتجميعهما معًا يصبح المقدار الخطي ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ‪15‬‏.

المقدار الأخير الذي سنتناوله هو ‪10𝑦‬‏ تربيع زائد ستة ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑦‬‏ تربيع زائد خمسة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. مرة أخرى لدينا ‪𝑥𝑦‬‏ و‪𝑥‬‏؛ هذان حدان مختلفان. أما الحدود المتشابهة هنا، فهي ‪𝑦‬‏ تربيع هنا و‪𝑦‬‏ تربيع هنا. ‏‏‪10𝑦‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑦‬‏ تربيع، يساوي ثمانية ‪𝑦‬‏ تربيع.

وبذلك، يصبح المقدار: ثمانية ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ستة ‪𝑥𝑦‬‏ زائد خمسة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. إذن، لدينا هنا المقدار ثلاثة ‪𝑥‬‏ في سبعة زائد ‪𝑦‬‏. وتذكر أنه، باستخدام خاصية التوزيع، نضع هذا الجزء خارج القوسين ونوزعه على كلا الجزأين في الداخل.

وبذلك، يصبح لدينا الآن ثلاثة ‪𝑥‬‏ في سبعة زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏، وهذا يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ في سبعة يساوي ‪21𝑥‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏، أي ثلاثة ‪𝑥𝑦‬‏.

ثم لدينا أربعة في ‪𝑢‬‏ ناقص واحد. هنا سنوزع الحد الذي يقع خارج القوسين على الحدين داخل القوسين، وهو ما يعطينا أربعة في ‪𝑢‬‏ زائد أربعة في سالب واحد. وبما أن أربعة في سالب واحد يساوي سالب أربعة، فهذا يساوي أربعة في ‪𝑢‬‏، أي أربعة ‪𝑢‬‏ ناقص أربعة.

والمقدار الأخير الذي سنتناوله هو: سالب خمسة في ستة ناقص اثنين ‪𝑚‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑛‬‏. في أول مقدارين، كان لدينا حدان داخل القوسين.

أما هنا، فقد وضعت ثلاثة حدود لكي تعرف فقط أنه أيًا كان عدد الحدود داخل القوسين، فالأمر لا يهم. نضع هذا الحد خارج القوسين ونوزعه على جميع الحدود داخل القوسين.

وعندما نوزع سالب خمسة، يكون لدينا سالب خمسة في ستة زائد سالب خمسة في سالب اثنين ‪𝑚‬‏ زائد سالب خمسة في ثلاثة ‪𝑛‬‏. ونظرًا لوجود هذا الحد السالب، سالب خمسة، علينا الانتباه جيدًا إلى الإشارات هنا.

إذن هذا يساوي سالب خمسة في ستة يساوي سالب ‪30‬‏. لدينا زائد هنا؛ سالب خمسة في سالب اثنين ‪𝑚‬‏ يساوي موجب ‪10𝑚‬‏، إذن زائد ‪10𝑚‬‏، ثم زائد سالب خمسة في ثلاثة ‪𝑛‬‏ يساوي سالب ‪15𝑛‬‏، إذن ناقص ‪15𝑛‬‏.

لقد تناولنا بعض الأمثلة حول كيفية استخدام خاصية التوزيع لفك المقادير. في هذا الجزء، سنتناول تحليل المقادير. في الجزء السابق، تناولنا فك المقادير، فهذا هو عكس فك المقادير. ولتحليل المقادير علينا النظر إلى جميع الحدود.

لدينا حدان هنا، أربعة ‪𝑥‬‏ وستة، ولأن الحد الأول فقط هو الذي به ‪𝑥‬‏، فسوف نتجاهل المتغير ‪𝑥‬‏، وننظر إلى العددين أربعة وستة. وعلينا إيجاد العامل المشترك الأكبر، إذن نرى هنا أن كلًا من الأربعة والستة يقبل القسمة على اثنين.

إذن، العامل المشترك الأكبر يساوي اثنين. والآن، نأخذ العدد اثنين ونقسم كلًا منهما عليه. عندما يكون لدينا أربعة ‪𝑥‬‏ مقسومًا على اثنين، فإننا نحصل على اثنين ‪𝑥‬‏، وستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة.

عند التحليل، نضع العامل المشترك الأكبر خارج القوسين؛ فيصبح لدينا اثنان في اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة. ويمكنك أن تستخدم ما تعلمناه في توزيع الحد الذي يقع خارج القوسين في الجزء السابق وتتأكد من أنه يساوي أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ستة.

لننتقل إلى مقدار آخر. لدينا ستة ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص ‪27𝑥‬‏ تربيع. أولًا نلاحظ الحد الثابت هنا أو المعامل. لدينا ستة و‪27‬‏؛ سنتجاهل هذه الإشارة السالبة الآن. والعامل المشترك الأكبر لستة و‪27‬‏ هو ثلاثة. العدد ثلاثة يتكرر في ستة وفي ‪27‬‏ أيضًا.

الآن لننظر إلى الحدود التي بها ‪𝑥‬‏؛ لدينا ‪𝑥‬‏ هنا و‪𝑥‬‏ تربيع هنا. تذكر أنه عند وجود متغير بمفرده، فهذا يعني أن الأس يساوي واحدًا.

وعند إيجاد العامل المشترك الأكبر، نأخذ الأس الأقل ونخرجه كعامل مشترك. إذن لدينا واحد هنا؛ ولدينا اثنان هنا. نضع ‪𝑥‬‏ بجانب العامل المشترك الأكبر. وهنا لدينا حد به ‪𝑦‬‏، لكن لا يوجد ‪𝑦‬‏ في الحد الثاني هنا، وبالتالي سيكون العامل المشترك الأكبر هنا ثلاثة ‪𝑥‬‏، ومن ثم نقسم ستة ‪𝑥𝑦‬‏ على ثلاثة ‪𝑥‬‏ ،‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ يحذف أحدهما الآخر في البسط والمقام؛ يتكرر الثلاثة في الستة مرتين، إذن هذا يساوي اثنين ‪𝑦‬‏، ثم نأخذ ‪27𝑥‬‏ تربيع ونقسمها على ثلاثة ‪𝑥‬‏، يتكرر العدد ثلاثة في ‪27‬‏ تسع مرات؛ إذن هذا سيساوي واحدًا.

وهنا يحذف ‪𝑥‬‏ وهذه الاثنان كذلك. إذن هذا يساوي تسعة ‪𝑥‬‏. الآن عندما نكتب ذلك، سيكون لدينا العامل ثلاثة ‪𝑥‬‏ في اثنين ‪𝑦‬‏، ولدينا إشارة ناقص هنا، إذن سوف نكتب ناقص هنا ثم تسعة ‪𝑥‬‏.

ومرة أخرى مثلما فعلنا مع المقدار الأول، يمكننا استخدام خاصية التوزيع لنتأكد عند توزيع ثلاثة ‪𝑥‬‏ على اثنين ‪𝑦‬‏ ناقص تسعة ‪𝑥‬‏، أننا سوف نحصل على ستة ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص ‪27𝑥‬‏.

وأخيرًا، مراجعة لما تناولناه هنا، فقد تعلمنا كيفية إجراء عمليتي الجمع والطرح في المقادير الخطية عن طريق تجميع الحدود المتشابهة، كما تعلمنا كيفية التوزيع لفك المقدار، وتعلمنا كيفية التحليل بأخذ العوامل المشتركة بين حدود المقدار كذلك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.