فيديو: تحليل الكسور الجزئية

عبّر عن: (٣ﺱ + ١)/((ﺱ^٢ + ٤)(ﺱ − ٣)^٢) بالكسور الجزئية.

٠٥:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

عبّر عن تلاتة س زائد واحد، الكل مقسوم على س تربيع زائد أربعة، الكل مضروب في س ناقص تلاتة الكل تربيع، بالكسور الجزئية.

علشان نعبّر عن المقدار ده بالكسور الجزئية، هنبدأ أولًا بإننا نشوف الشكل المتوقّع للمقدار ده بعد ما نفكّه بالكسور الجزئية. طيب المقام فيه قوسين؛ القوس الأول س تربيع زائد أربعة، وده قوس من الدرجة التانية. فإحنا متوقّعين إن البسط بتاعه هيبقى قوس من الدرجة الأولى. ونقدر نعبّر عنه في صورة أ س زائد ب.

أمّا القوس التاني س ناقص تلاتة الكل تربيع، وده قوس مرفوع للأُس اتنين. فإحنا متوقّعين إن القوس ده يظهر مرتين؛ مرة بأُس واحد، ومرة بأُس اتنين. وكل قوس من دول هو قوس من الدرجة الأولى؛ لأنه جوّه القوس س مرفوعة للأُس واحد. فيبقى إذن إحنا متوقّعين إن البسط بتاع القوسين دول هيبقى عدد ثابت. ونقدر نعبّر عنهم بالثابتين ج وَ د.

دلوقتي هنضرب طرفين المعادلة في المقام بتاع الطرف الأيمن. فالمعادلة هتبقى: تلاتة س زائد واحد تساوي أ س زائد ب، الكل مضروب في س ناقص تلاتة الكل تربيع، زائد ج مضروبة في س ناقص تلاتة، الكل مضروب في س تربيع زائد أربعة، زائد د مضروبة في، س تربيع زائد أربعة.

دلوقتي هنعوّض في المعادلة دي ببعض قيم س، اللي هتسهّل لنا إننا نجيب المجاهيل أ وَ ب وَ ج وَ د. هنبدأ أولًا بالقيمة س تساوي تلاتة؛ لأن عندها القوس س ناقص تلاتة هيبقى بيساوي صفر. فالمعادلة هتبقى عشرة بتساوي صفر زائد صفر زائد، د مضروبة في تلتاشر. يبقى إذن قدرنا نحسب قيمة د مباشرةً، اللي هي هتبقى بتساوي عشرة على تلتاشر.

دلوقتي ممكن نشيل د من المعادلة، ونكتب مكانها عشرة على تلتاشر. ويبقى المعادلة دي فيها تلات مجاهيل بس. اللي هم أ وَ ب وَ ج. طيب دلوقتي ممكن نمسح الخطوة الأخيرة اللي كتبناها عشان نوسّع المكان بس. القيمة التانية اللي هناخدها هي س تساوي صفر. طبعًا ما فيش أيّ قيود على قيم س اللي بنختارها. ولكن إحنا بنحاول نختار بعض القيم لـ س اللي بتخلّي الحسابات سهلة.

طيب عند س تساوي صفر المعادلة هتبقى: واحد تساوي ب مضروبة في تسعة، زائد ج مضروبة في سالب اتناشر، زائد أربعين على تلتاشر. فلو بسّطنا المعادلة دي هتبقى: تلاتة ب ناقص أربعة ج تساوي سالب تسعة على تلتاشر. كده دلوقتي معانا معادلة من التلات معادلات اللي إحنا محتاجينها عشان نجيب التلات مجاهيل أ وَ ب وَ ج. طيب ممكن نكتب المعادلة اللي استنتجناها على جنب ونوسّع المكان؛ علشان نجيب بقية المعادلات.

القيمة الجديدة اللي هنختارها لـ س هتبقى س تساوي اتنين. فلو عوّضنا عن س تساوي اتنين في المعادلة، هتبقى سبعة يساوي اتنين أ زائد ب، زائد ج مضروبة في سالب تمنية، زائد تمانين على تلتاشر. لو بسّطنا المعادلة دي لأبسط صورة، هتبقى اتنين أ، زائد ب، ناقص تمنية ج، يساوي حداشر على تلتاشر. يبقى إذن دي المعادلة التانية اللي جِبناها. وهنكتبها تحت المعادلة اللي استنتجناها في الأول.

آخر قيمة هنختارها لـ س هتبقى س تساوي واحد. ولو عوّضنا عن س تساوي واحد في المعادلة هتبقى: أربعة تساوي أ زائد ب الكل مضروب في أربعة، زائد ج مضروبة في سالب عشرة، زائد خمسين على تلتاشر. فلو أعدنا ترتيب المعادلة دي هتبقى أربعة أ زائد أربعة ب ناقص عشرة ج يساوي اتنين على تلتاشر. دلوقتي ممكن نقسم الطرفين على اتنين. فالمعادلة هتبقى اتنين أ زائد اتنين ب ناقص خمسة ج يساوي واحد على تلتاشر. ودي هتبقى المعادلة التالتة.

دلوقتي إحنا معانا تلات معادلات، فيهم تلات مجاهيل؛ اللي هم أ وَ ب وَ ج وَ د. فالتلات معادلات دول نقدر نكتبهم باستخدام المصفوفات.

فيبقى عندنا المصفوفة: صفر، تلاتة، سالب أربعة. اتنين، واحد، سالب تمنية. اتنين، اتنين، سالب خمسة. مضروبة في المتجه أ ب ج. تساوي المتجه سالب تسعة على تلتاشر، حداشر على تلتاشر، وواحد على تلتاشر.

لو استخدمنا الآلة الحاسبة علشان نجيب معكوس المصفوفة اللي في الطرف الأيمن ونضربها في الطرف الأيسر، هنقدر نجيب قيم أ وَ ب وَ ج. اللي هيطلعوا بيساووا … أ هتساوي واحد وعشرين على مية تسعة وستين. وَ ب هتساوي سالب سبعة وستين على مية تسعة وستين. وَ ج هتساوي واحد وعشرين على مية تسعة وستين.

يبقى إحنا كده جِبنا أ وَ ب وَ ج وَ د، اللي من خلالهم نقدر نعبّر عن المقدار المُعطى في السؤال، باستخدام الكسور الجزئية. دلوقتي إحنا هنرجع نعوّض بالمجاهيل اللي جِبناها أ وَ ب وَ ج وَ د في المعادلة اللي كتبناها في الأول خالص، بتاعة الكسور الجزئية.

وبكده يبقى إحنا قدرنا نعبّر عن المقدار المُعطى في السؤال باستخدام الكسور الجزئية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.