تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: استخدام التعويض التركيبي لإيجاد أصفار الدالة

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية إيجاد أصفار دالة كثيرة الحدود باستخدام التعويض التركيبي، مع أمثلة توضيحية.

٠٨:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن استخدام التعويض التركيبي لإيجاد أصفار الدالة. هدفنا من الفيديو إن إحنا لمّا يبقى عندنا دالة نقدر نجيب الأصفار بتاعتها من خلال استخدام التعويض التركيبي.

هنشوف ده من خلال مثال. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا عايزين نجيب جميع أصفار الدالة د س، اللي بتساوي س أُس أربعة ناقص تمنتاشر س تربيع زائد اتناشر س زائد تمانين.

أول حاجة هنحدّد العدد الكلي للأصفار بتاع الدالة د س. فإحنا عندنا الدالة د س من الدرجة الرابعة. وبالتالي هيكون ليها أربع أصفار. بعد كده هنحدّد أنواع الأصفار. وبالتالي هنستخدم قانون ديكارت للإشارات. وهنبدأ نبحث تغير الإشارة للمعاملات بتاعة حدود الدالة د س وَ د سالب س.

بالنسبة للدالة د س، فهي بتساوي س أُس أربعة ناقص تمنتاشر س تربيع زائد اتناشر س زائد تمانين. أما الدالة د سالب س فهي بتساوي س أُس أربعة ناقص تمنتاشر س تربيع ناقص اتناشر س زائد تمانين.

هنبدأ نبحث تغير إشارة معاملات حدود الدالة د س. بالنسبة لمعامل س أُس أربعة فإشارته موجبة. أما معامل س تربيع فإشارته سالبة. ده معناه إن حصل تغيُّر في الإشارة.

كمان بالنسبة لمعامل س تربيع فإشارته سالبة. أما معامل س فإشارته موجبة. ده معناه إن حصل تغير في الإشارة.

بعد كده هنلاقي معامل الـ س إشارته موجبة. أما الحدّ الثابت فإشارته برضو موجبة. ده معناه إن ما حصلش تغير في الإشارة.

بنفس الطريقة هنبحث تغير إشارة معاملات حدود الدالة د سالب س. فبالنسبة لمعامل س أُس أربعة فإشارته موجبة. أما معامل س تربيع فإشارته سالبة. ده معناه إن حصل تغير في الإشارة.

بعد كده معامل س تربيع إشارته سالبة. أما معامل س فإشارته برضو سالبة. ده معناه إن ما فيش تغير في الإشارة.

بعد كده هنلاقي إن معامل س إشارته سالبة. أما الحدّ الثابت فإشارته موجبة. ده معناه إن حصل تغير في الإشارة.

معنى كده إن إحنا عندنا تغييرين في إشارة معاملات حدود الدالة د س. وكمان تغييرين في إشارة معاملات حدود الدالة د سالب س. ومعنى إن إحنا عندنا تغييرين في إشارة معاملات حدود الدالة د س، إن الدالة دي هيكون عدد الأصفار الحقيقية الموجبة الممكنة ليها اتنين أو صفر. ومعنى إن يكون عندنا تغييرين في الإشارة لمعاملات حدود الدالة د سالب س، إن الدالة هيكون عدد الأصفار الحقيقية السالبة الممكنة ليها اتنين أو صفر. وبالتالي الدالة د س يا إمّا هيكون ليها أربع أصفار حقيقية. أو هيكون ليها صفرين حقيقيين وصفريين تخيليين. أو هيكون ليها أربع أصفار تخيلية.

كده يبقى إحنا قدرنا نحدّد الأصفار بتاعة الدالة، وكمان نحدد أنواعها.

هنكمّل بقية المثال في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة.

الخطوة اللي بعد كده إن إحنا هنحدد الأصفار الحقيقية. وده هيكون من خلال إن إحنا هنعمل جدول، ونكتب فيه القيم الحقيقية الممكنة لِـ س. وهنستخدم التعويض التركيبي؛ علشان نحدد قيمة د س لمّا س تساوي القيم الحقيقية اللي إحنا فرضناها. فهيظهر لنا الجدول. في الجدول ده العمود الأول في الصف الأول هنكتب فيه المتغيّر اللي موجود في الدالة، واللي هو س. وبعد كده في العمود التاني هنكتب معاملات الحدود بتاعة الدالة. أما في الخانة الأخيرة فهنكتب الحدّ الثابت. تحت س هنكتب القيم الحقيقية اللي إحنا هنفرضها؛ زي مثلًا سالب تلاتة، وسالب اتنين، وسالب واحد، وصفر، وواحد، واتنين.

وفي الخانة اللي بعد كده هنكتب معاملات حدود كثيرات الحدود اللي هتنتج من القسمة التركيبية. فمثلًا لمّا س تساوي سالب تلاتة، فإحنا هنقسم الدالة الأصلية على س زائد تلاتة. وهينتج عندنا كثيرة حدود جديدة. هنكتب معاملات حدودها هنا. أما الباقي هنكتبه هنا. فهنكمّل الجدول. بعد ما كملنا الجدول هنلاحظ إن الدالة د س هتساوي صفر لمّا س تساوي سالب اتنين. معنى كده إن فيه عندنا صفر للدالة د س لمّا س تساوي سالب اتنين. وبالتالي هيبقى عندنا صفرين حقيقيين سالبين.

بعد كده علشان نجيب الصفر الحقيقي السالب التاني. فإحنا هنستخدم التعويض التركيبي، بس بالنسبة للدالة كثيرة الحدود اللي نتجت من قسمة الدالة الأصلية علي س زائد اتنين، واللي معاملات حدودها هي دي. وبالتالي هنستخدم التعويض التركيبي للدالة د س، اللي بتساوي س تكعيب ناقص اتنين س تربيع ناقص أربعتاشر س زائد أربعين. وده علشان نجيب الصفر الحقيقي السالب التاني.

هنكمّل المثال، بس في الصفحة اللي جاية؛ فهنقلب الصفحة.

بعد كده علشان نستخدم التعويض التركيبي للدالة د س، اللي بتساوي س تكعيب ناقص اتنين س تربيع ناقص أربعتاشر س زائد أربعين. فإحنا هنعمل جدول جديد زي اللي عملناه قبل كده، بس للدالة الجديدة. وهنفرض قيم حقيقية سالبة جديدة لِـ س. وده لأن لو الدالة كثيرة الحدود مش بتساوي صفر عند قيمة معينة. ده معناه إن الدالة اللي هتنتج من القسمة التركيبية برضو مش هتساوي صفر عند نفس القيمة. وبالتالي مش محتاجين نتأكد. فهيظهر لنا الجدول. بعد ما عملنا الجدول هنبدأ نفرض قيم حقيقية سالبة لِـ س؛ زي سالب أربعة، وسالب خمسة، وسالب ستة. بعد كده هنكمّل الجدول بنفس الطريقة اللي كمّلنا بيها الجدول اللي فات. فهيظهر لنا الجدول بعد ما هنكمله.

بعد ما كملنا الجدول هنلاقي إن الصفر الحقيقى السالب التاني هيكون لمّا س بتساوي سالب أربعة. معنى كده إن الصفرين الحقيقيين السالبين للدالة همّ سالب اتنين وسالب أربعة. وبالنسبة لكثيرة الحدود اللي هتنتج من قسمة كثيرة الحدود س تكعيب ناقص اتنين س تربيع ناقص أربعتاشر س زائد أربعين، على س زائد أربعة. هتبقى معاملات حدودها هي دي. وده معناه إن دالة س الجديدة اللي هتنتج، هتساوي س تربيع ناقص ستة س زائد عشرة.

بالنسبة للدرجة بتاعة الدالة دي، فهنلاقيها من الدرجة التانية؛ يعني دالة تربيعية. وعلشان نجيب بقية الأصفار بتاعة الدالة، فإحنا هنجيب قيمة س لمّا نساوي الدالة د س اللي بتساوي س تربيع ناقص ستة س زائد عشرة بصفر. فهنستخدم صيغة حل المعادلة التربيعية. واللي هي س تساوي سالب ب زائد أو ناقص الجذر التربيعي لِـ ب تربيع ناقص أربعة أ ج على اتنين أ.

هنكمّل بقية المثال في الصفحة اللي جاية. هنقلب الصفحة.

وعلشان نجيب قيمة س فإحنا محتاجين نعوّض في صيغة حل المعادلة التربيعية بالقيم بتاعة أ وَ ب وَ ج. فمن الدالة اللي عندنا، هنلاقي إن أ بتساوي واحد. وَ ب بتساوي سالب ستة. وَ ج بتساوي عشرة.

فلمّا هنعوّض س تساوي سالب سالب ستة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ستة تربيع ناقص أربعة في واحد في عشرة، على اتنين في واحد. ولمّا هنبسط المقدار ده هنلاقي س تساوي تلاتة زائد أو ناقص ت. بكده يبقى الصفرين الباقيين للدالة همّ صفرين تخيليين، وهمّ تلاتة زائد ت، وتلاتة ناقص ت.

وبالتالي هتبقى الأصفار بتاعة الدالة هي: سالب أربعة، وسالب اتنين، وتلاتة زائد ت، وتلاتة ناقص ت. وبكده يبقى إحنا جبنا الأربعة أصفار بتوع الدالة.

يبقى كده في الفيديو ده عرفنا إزّاي نجيب كل الأصفار بتاع الدالة باستخدام التعويض التركيبي. وده كان من خلال تلات خطوات. الخطوة الأولى كنا بنحدد العدد الكلي للأصفار بتاعة الدالة. الخطوة التانية كنا بنحدد نوع الأصفار. أما في الخطوة التالتة فإحنا كنا بنجيب الأصفار الحقيقية للدالة، وكنا بنستخدم جداول علشان نحددها.