فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن أ

امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن أ

٠٥:٣٠

‏نسخة الفيديو النصية

لدينا النقاط؛ أ: واحد واتنين وسالب تلاتة، وَ ب: تلاتة وخمسة وسالب اتنين، وَ ج: م وواحد وسالب عشرة م. أوجد قيمة م التي تجعل؛ أ: أ وَ ب وَ ج على استقامة واحدة. ب: المتجه أ ب والمتجه أ ج متعامدين.

عندنا في السؤال مُعطى إحداثيات تلات نقط: أ وَ ب وَ ج. وإحداثيات النقطة التالتة، اللي هي ج، معطاة بدلالة متغيِّر اسمه م. مطلوب منّنا بقى في السؤال نوجد قيمة م اللي تخلِّي؛ أ: التلات نقط اللي عندنا دول يبقوا على استقامة واحدة. والمطلوب رقم ب: مطلوب فيه إن إحنا نوجد قيمة م اللي تخلّي المتجهين أ ب وَ أ ج متعامدين.

هنبدأ دلوقتي بالمطلوب الأول. النقط التلاتة اللي عندنا أ وَ ب وَ ج المفروض إنهم على استقامة واحدة. فده معناه إن المتجه أ ب بيوازي المتجه أ ج. لأن زيّ ما إحنا شايفين لو المتجهين متوازيين وليهم نفس نقطة البداية، فده معناه إن النقط التلاتة هيبقوا على استقامة واحدة. فهنكتب: بما أن أ وَ ب وَ ج على استقامة واحدة؛ إذن المتجه أ ج يوازي المتجه أ ب. ومن التوازي نقدر نقول: إن المتجه أ ج هيساوي ك في المتجه أ ب. حيث ك هو ثابت، وقيمته لا تساوي الصفر.

هنبدأ الأول نوجد المتجه أ ج. المتجه أ ج هيبقى بيساوي المتجه ج ناقص المتجه أ. والمتجه ج هنعوَّض عنه بإحداثيات النقطة ج. وهنعوَّض عن المتجه أ بإحداثيات النقطة أ. بعد كده هنُجري عملية الطرح. فهنلاقي إن المتجه أ ج يساوي م ناقص واحد وسالب واحد وتلاتة ناقص عشرة م.

دلوقتي بقى عايزين نوجد المتجه أ ب. المتجه أ ب عبارة عن المتجه ب ناقص المتجه أ. وهنعوَّض عن المتجه ب بإحداثيات النقطة ب. وعن المتجه أ بإحداثيات النقطة أ. وبإجراء عملية الطرح، هنلاقي إن المتجه أ ب يساوي اتنين وتلاتة وواحد.

دلوقتي هنعوَّض عن المتجه أ ج والمتجه أ ب في العلاقة اللي عندنا دي. فهتصبح العلاقة بالشكل ده: م ناقص واحد، وسالب واحد، وتلاتة ناقص عشرة م يساوي ك في اتنين وتلاتة وواحد. في الطرف الأيسر عندنا ثابت مضروب في متجه. ولمَّا بنيجي نضرب ثابت في متجه بنضرب الثابت ده في كلّ مركِّبة من مركِّبات المتجه. وبالتالي هنحصل على المتجه ده: اتنين ك وتلاتة ك وَ ك.

من المعادلة اللي عندنا، نقدر نستنتج إن م ناقص واحد تساوي اتنين ك. وسالب واحد يساوي تلاتة ك. وتلاتة ناقص عشرة م تساوي ك. أسهل علاقة في التلاتة اللي عندنا دول نوجد منها قيمة ك هي العلاقة رقم اتنين. لو قسمنا طرفَي العلاقة اللي عندنا دي على تلاتة، فهنلاقي إن ك قيمتها سالب واحد على تلاتة. إحنا مطلوب منّنا في السؤال نوجد قيمة م. فنقدر نوجدها يا إمَّا من العلاقة رقم واحد أو من العلاقة رقم تلاتة.

خلِّينا دلوقتي نوجدها من العلاقة رقم واحد. هنعوَّض عن ك بسالب واحد على تلاتة في العلاقة رقم واحد. فهتبقى م ناقص واحد يساوي اتنين في، سالب واحد على تلاتة. في الطرف الأيسر اتنين في، سالب واحد على تلاتة بسالب اتنين على تلاتة.

بعد كده عشان نوجد قيمة م، هنجمع واحد على الطرفين. فهيبقى عندنا م يساوي واحد ناقص اتنين على تلاتة، اللي هي هتبقى بتساوي واحد على تلاتة. ويبقى كده قدرنا نوجد قيمة م اللي تخلِّي النقط التلاتة أ وَ ب وَ ج على استقامة واحدة. وده كان أول مطلوب في السؤال، اللي هو المطلوب رقم أ.

دلوقتي هنشوف المطلوب رقم ب. في المطلوب رقم ب: مطلوب منّنا نوجد قيمة م التي تجعل المتجهين أ ب وَ أ ج متعامدين. معنى إن متجهين متعامدين، فده معناه إن حاصل الضرب القياسي للمتجهين دول بيساوي صفر. فنقدر نقول: إن حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ ب وَ أ ج هيساوي صفر. هنعوَّض عن المتجه أ ب بقيمته اتنين وتلاتة وواحد. وعن المتجه أ ج بقيمته، اللي هي م ناقص واحد وسالب واحد وتلاتة ناقص عشرة م. وبعدين حاصل الضرب القياسي للمتجهين هيبقى بيساوي صفر.

نبدأ نعمل عملية الضرب القياسي للمتجهين. فهيبقى عندنا اتنين في، م ناقص واحد زائد تلاتة في سالب واحد زائد واحد في، تلاتة ناقص عشرة م يساوي صفر. فهيبقى عندنا اتنين م ناقص اتنين ناقص تلاتة زائد تلاتة ناقص عشرة م يساوي صفر. وبجمع الحدود المتشابهة، هنلاقي إن سالب اتنين ناقص تمنية م يساوي صفر. ومنها نقدر نستنتج إن م تساوي سالب اتنين على تمنية. وبعد التبسيط هنلاقي إنها بتساوي سالب ربع.

وبكده يبقى قدرنا نستنتج قيمة م اللي تخلِّي المتجهين أ ب وَ أ ج متعامدين. وهي لمَّا م تساوي سالب واحد على أربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.