فيديو: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس

اختصر ‪(1 − tan 𝜃)² + (1 + tan 𝜃)²‬‏.

٠٤:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

اختصر واحد ناقص tan 𝜃 الكل تربيع، زائد واحد زائد tan 𝜃 الكل تربيع.

أول شيء نقوم به هو فك الأقواس؛ فنجد أن واحد ناقص tan 𝜃 الكل تربيع يصبح واحد ناقص اثنين tan 𝜃 زائد tan تربيع 𝜃، وأن واحد زائد tan 𝜃 الكل تربيع يصبح واحد زائد اثنين tan 𝜃 زائد tan تربيع 𝜃.

والآن يمكننا جمع الحدود المتماثلة معًا. لدينا حدان قيمة كل منهما واحد، لذا، حين نجمعهما نحصل على اثنين. ولدينا سالب اثنين tan 𝜃 وموجب اثنين tan 𝜃، وهذان الحدان يمكن حذفهما معًا، إذ تصبح النتيجة صفرًا. وأخيرًا لدينا حدان قيمة كل منهما tan تربيع 𝜃.

أصبح لدينا اثنان زائد اثنين tan تربيع 𝜃، وهذا بالتأكيد أبسط من المقدار الرياضي الذي بدأنا به. لكني أعتقد أن بإمكاننا تبسيطه أكثر من هذا. ربما تلاحظون أن هذا يساوي اثنين في واحد زائد tan تربيع 𝜃. ويمكننا كتابة هذا على هذا النحو لأن واحد زائد tan تربيع 𝜃، كما قد تتذكرون، يساوي sec تربيع 𝜃.

وهكذا يمكننا كتابة هذا في صيغة اثنين sec تربيع 𝜃. لكن ماذا لو لم تفكروا في كتابة اثنين زائد اثنين tan تربيع 𝜃 بهذه الصيغة؟ حسنًا، ثمة طريقة أخرى موثوق بها أكثر، وتتمثل في كتابة كل شيء في صورة sin 𝜃 وcos 𝜃. وباستخدام حقيقة أن tan 𝜃 يساوي sin 𝜃 على cos 𝜃، يمكننا إعادة كتابة tan تربيع 𝜃 في صورة sin 𝜃 على cos 𝜃 الكل تربيع.

وهكذا يصبح المقدار الرياضي كله اثنين زائد اثنين في sin تربيع 𝜃 على cos تربيع 𝜃، ويمكن الآن قسمة كل هذا على مقام مشترك. وعليه، استخدمنا المقام المشترك cos تربيع 𝜃، وكتبنا التعبير في صورة كسر واحد.

والآن ربما يكون من الأسهل نسبيًا معرفة أي متطابقة سنستخدمها. فلدينا هنا اثنان cos تربيع 𝜃 زائد اثنين sin تربيع 𝜃، ونحن نعلم أن cos تربيع 𝜃 زائد sin تربيع 𝜃 يساوي واحد، وهذا يعني أن البسط المتمثل في اثنين cos تربيع 𝜃 زائد اثنين sin تربيع 𝜃 يساوي اثنين فقط.

وإن لم تلاحظوا هذا مباشرة، فربما لاحظتم أن sin تربيع 𝜃 يمكن كتابتها في صورة cos تربيع 𝜃 باستخدام هذه المتطابقة المعاد ترتيبها قليلًا. وهكذا يمكننا طرح cos تربيع 𝜃 من كلا الطرفين ونحصل بذلك على sin تربيع 𝜃 يساوي واحد ناقص cos تربيع 𝜃. ثم مع التعويض بهذا داخل المعادلة، نحصل على البسط نفسه، الذي يساوي اثنين.

وآخر شيء علينا فعله هو كتابة اثنين على cos تربيع 𝜃 في صورة اثنين في sec تربيع 𝜃، بناء على الحقيقة التي تقول بأن sec 𝜃 تساوي فقط واحد على cos 𝜃. وهذه هي إجابتنا الأخيرة.

بالطبع يمكننا تخطي بضع خطوات من الحل باستخدام المتطابقة التي تقول: واحد زائد tan تربيع 𝜃 يساوي sec تربيع 𝜃.

وميزة كتابة كل شيء في صورة cos 𝜃 وsin 𝜃 أنه في حين قد يتطلب هذا مزيدًا من الخطوات من أجل الوصول إلى الإجابة النهائية، فإنه لا يتطلب منا إلا تذكر متطابقة واحدة فقط من أجل التبسيط، وهي cos تربيع 𝜃 زائد sin تربيع 𝜃 يساوي واحد، بدلًا من تذكر نحو ست متطابقات، من بينها واحد زائد tan تربيع 𝜃 يساوي sec تربيع 𝜃.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.