فيديو السؤال: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات فيثاغورس الرياضيات

اختصر (١ − ظا 𝜃)^٢ + (١ + ظا 𝜃)^٢.

٠٤:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

اختصر واحد ناقص ظا 𝜃 الكل تربيع، زائد واحد زائد ظا 𝜃 الكل تربيع.

أول شيء نقوم به هو فك الأقواس؛ فنجد أن واحد ناقص ظا 𝜃 الكل تربيع يصبح واحد ناقص اثنين ظا 𝜃 زائد ظا تربيع 𝜃، وأن واحد زائد ظا 𝜃 الكل تربيع يصبح واحد زائد اثنين ظا 𝜃 زائد ظا تربيع 𝜃.

والآن يمكننا جمع الحدود المتماثلة معًا. لدينا حدان قيمة كل منهما واحد، لذا، حين نجمعهما نحصل على اثنين. ولدينا سالب اثنين ظا 𝜃 وموجب اثنين ظا 𝜃، وهذان الحدان يمكن حذفهما معًا، إذ تصبح النتيجة صفرًا. وأخيرًا لدينا حدان قيمة كل منهما ظا تربيع 𝜃.

أصبح لدينا اثنان زائد اثنين ظا تربيع 𝜃، وهذا بالتأكيد أبسط من المقدار الرياضي الذي بدأنا به. لكني أعتقد أن بإمكاننا تبسيطه أكثر من هذا. ربما تلاحظون أن هذا يساوي اثنين في واحد زائد ظا تربيع 𝜃. ويمكننا كتابة هذا على هذا النحو لأن واحد زائد ظا تربيع 𝜃، كما قد تتذكرون، يساوي قا تربيع 𝜃.

وهكذا يمكننا كتابة هذا في صيغة اثنين قا تربيع 𝜃. لكن ماذا لو لم تفكروا في كتابة اثنين زائد اثنين ظا تربيع 𝜃 بهذه الصيغة؟ حسنًا، ثمة طريقة أخرى موثوق بها أكثر، وتتمثل في كتابة كل شيء في صورة جا 𝜃 وجتا 𝜃. وباستخدام حقيقة أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، يمكننا إعادة كتابة ظا تربيع 𝜃 في صورة جا 𝜃 على جتا 𝜃 الكل تربيع.

وهكذا يصبح المقدار الرياضي كله اثنين زائد اثنين في جا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃، ويمكن الآن قسمة كل هذا على مقام مشترك. وعليه، استخدمنا المقام المشترك جتا تربيع 𝜃، وكتبنا التعبير في صورة كسر واحد.

والآن ربما يكون من الأسهل نسبيًا معرفة أي متطابقة سنستخدمها. فلدينا هنا اثنان جتا تربيع 𝜃 زائد اثنين جا تربيع 𝜃، ونحن نعلم أن جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحد، وهذا يعني أن البسط المتمثل في اثنين جتا تربيع 𝜃 زائد اثنين جا تربيع 𝜃 يساوي اثنين فقط.

وإن لم تلاحظوا هذا مباشرة، فربما لاحظتم أن جا تربيع 𝜃 يمكن كتابتها في صورة جتا تربيع 𝜃 باستخدام هذه المتطابقة المعاد ترتيبها قليلًا. وهكذا يمكننا طرح جتا تربيع 𝜃 من كلا الطرفين ونحصل بذلك على جا تربيع 𝜃 يساوي واحد ناقص جتا تربيع 𝜃. ثم مع التعويض بهذا داخل المعادلة، نحصل على البسط نفسه، الذي يساوي اثنين.

وآخر شيء علينا فعله هو كتابة اثنين على جتا تربيع 𝜃 في صورة اثنين في قا تربيع 𝜃، بناء على الحقيقة التي تقول بأن قا 𝜃 تساوي فقط واحد على جتا 𝜃. وهذه هي إجابتنا الأخيرة.

بالطبع يمكننا تخطي بضع خطوات من الحل باستخدام المتطابقة التي تقول: واحد زائد ظا تربيع 𝜃 يساوي قا تربيع 𝜃.

وميزة كتابة كل شيء في صورة جتا 𝜃 وجا 𝜃 أنه في حين قد يتطلب هذا مزيدًا من الخطوات من أجل الوصول إلى الإجابة النهائية، فإنه لا يتطلب منا إلا تذكر متطابقة واحدة فقط من أجل التبسيط، وهي جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحد، بدلًا من تذكر نحو ست متطابقات، من بينها واحد زائد ظا تربيع 𝜃 يساوي قا تربيع 𝜃.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.