فيديو السؤال: تحديد إذا كان ضرب المصفوفات يمكن أن يكون عملية إبدالية في ظروف معينة الرياضيات

إذا كان لدينا مصفوفتان من الرتبة ٢ × ٢، وهما ﺃ = [٨‎، −٣‎، ١‎، −٢]، ﺏ = [٨‎، −٣‎، ١‎، −٢]، فهل ﺃﺏ = ﺏﺃ؟

٠٢:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان لدينا مصفوفتان من الرتبة اثنان في اثنين، وهما المصفوفة ﺃ تساوي ثمانية، سالب ثلاثة، واحد، سالب اثنين؛ والمصفوفة ﺏ تساوي ثمانية، سالب ثلاثة، واحد، سالب اثنين، فهل ﺃﺏ يساوي ﺏﺃ؟

لدينا مصفوفتان من الرتبة اثنان في اثنين. ومطلوب منا تحديد إذا ما كان ﺃﺏ يساوي ﺏﺃ. إذن، مطلوب منا معرفة إذا ما كنا سنحصل على النتيجة نفسها عند ضرب المصفوفتين معًا بترتيب معكوس. بوجه عام، نحن نعلم أن ضرب المصفوفات ليس عملية إبدالية، ما يعني أننا نحصل على نتيجة مختلفة إذا ضربنا المصفوفات معًا بترتيب مختلف. وفي الواقع، إذا لم تكن المصفوفتان مربعتين ومن الرتبة نفسها، فلا يمكن إيجاد حاصل ضرب كل منهما.

يمكن أن يكون ضرب المصفوفتين عملية إبدالية في ظروف معينة. على سبيل المثال، يحدث هذا إذا كانت المصفوفتان قطريتين من الرتبة نفسها، بمعنى أنهما مصفوفتان مربعتان. فجميع العناصر التي لا تقع على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. كما يصبح ضرب المصفوفتين عملية إبدالية، عندما تكون إحداهما مصفوفة وحدة. وتكون المصفوفة الأخرى مصفوفة مربعة من نفس الرتبة.

لا ينطبق أي من هذين الشرطين على الحالة لدينا. لكن إذا نظرنا إلى المصفوفتين ﺃ وﺏ، فسنجد أن بينهما علاقة أخرى. ﺃ وﺏ مصفوفتان من الرتبة اثنان في اثنين. إذن، لهما نفس الرتبة. لكن أهم من ذلك أن كل عنصر من عناصر المصفوفتين في المواضع المتناظرة متساو. وفي هذه الحالة، المصفوفة ﺃ تساوي المصفوفة ﺏ بالكامل. ولهذا السبب، لا يهم ترتيب ضرب هاتين المصفوفتين معًا. فحاصل الضرب ﺃﺏ يساوي حاصل الضرب ﺏﺃ. وفي الواقع، كلاهما يساوي ﺃ تربيع أو ﺏ تربيع.

يمكننا التحقق من ذلك عن طريق ضرب المصفوفتين معًا يدويًّا خطوة بخطوة والتأكد من أن حاصلي الضرب يساويان النتيجة نفسها. لكن لا داعي لذلك. فبمجرد ملاحظة أن المصفوفتين متطابقتان، فإننا نتأكد من أن حاصل ضربهما سيكون هو نفسه بغض النظر عن الترتيب الذي نستخدمه لإيجاد ذلك.

وعليه، نستنتج أنه بالنسبة إلى هاتين المصفوفتين ﺃ وﺏ، ولكن ليس بوجه عام، ﺃﺏ يساوي ﺏﺃ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.