نسخة الفيديو النصية
أي مما يأتي يساوي قيمة محدد المصفوفة التي عناصرها: ﺏ ناقص ثمانية ﺟ، ﺟ ناقص سبعة ﺃ، ﺃ ناقص سبعة ﺏ، ثمانية ﺟ، سبعة ﺃ، سبعة ﺏ، سالب ستة، سالب ستة، سالب ستة؟ (أ) ستة مضروبًا في ﺃ ناقص ﺟ مضروبًا في سبعة ﺏ ناقص ثمانية ﺟ زائد ٤٢ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. (ب) ستة مضروبًا في ﺃ ناقص ﺟ مضروبًا في سبعة ﺏ ناقص ثمانية ﺟ ناقص سبعة مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. (ج) ستة مضروبًا في ﺃ ناقص ﺟ في سبعة ﺏ ناقص ثمانية ﺟ ناقص ٤٢ في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. (د) سالب ٤٢ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع ناقص ستة في ﺃ ناقص ﺟ مضروبًا في سبعة ﺏ ناقص ثمانية ﺟ.
حسنًا، تذكر أنه لحساب قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ﻡ في ﻥ، علينا الفك باستخدام إما صف واحد وإما عمود واحد والمصفوفات الصغرى المرتبطة بأي منهما. وتذكر أيضًا أن المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ هي المصفوفة ﺃ ناقص كل من الصف ﺹ والعمود ﻉ. لذا، فإنه لأي مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، إذا أردنا إيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد، اثنان على سبيل المثال، فعلينا حذف الصف الأول والعمود الثاني. ومن ثم، نجد أن المصفوفة الصغرى هنا هي مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين وعناصرها هي ﺃ اثنان واحد، ﺃ اثنان ثلاثة، ﺃ ثلاثة واحد، ﺃ ثلاثة ثلاثة. إذن لإيجاد قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها ﻥ في ﻥ عن طريق الفك باستخدام الصف ﺹ، سنستخدم الصيغة الموضحة: محدد المصفوفة ﺃ يساوي المجموع من ﻉ يساوي واحدًا إلى ﻥ لسالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في العنصر ﺃﺹﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ.
تذكر أن هذه الصيغة ستختلف قليلًا إذا اخترنا الفك باستخدام أحد أعمدة المصفوفة المعطاة. وفي كلتا الحالتين، فإن القاعدة العامة لاختيار الصف أو العمود هي اختيار الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار، إذا أمكن ذلك، أو اختيار الصف أو العمود ذي القيم الأقل تعقيدًا. وفي الحالة لدينا، لا توجد أي عناصر صفرية. لكن الصف الأخير هو ببساطة سالب ستة، سالب ستة، سالب ستة، ولذلك يمكننا استخدامه للفك.
المصفوفة التي لدينا هنا هي مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، ما يعني أن ﻥ يساوي ثلاثة. وسنجري الفك باستخدام الصف الثالث، ومن ثم فإن ﺹ يساوي ثلاثة. وبذلك، سنجد في صيغة المحدد لدينا أن سالب واحد أس ثلاثة زائد واحد مضروبًا في العنصر ﺃ ثلاثة واحد مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة واحد زائد سالب واحد أس ثلاثة زائد اثنين مضروبًا في العنصر ﺃ ثلاثة اثنان مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة اثنان زائد سالب واحد أس ثلاثة زائد ثلاثة مضروبًا في العنصر ﺃ ثلاثة ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة ثلاثة.
أسس العدد سالب واحد هي ثلاثة زائد واحد، أي أربعة؛ وثلاثة زائد اثنين، أي خمسة؛ وثلاثة زائد ثلاثة، أي ستة. سالب واحد مرفوعًا لقوة زوجية يساوي واحدًا؛ وسالب واحد مرفوعًا لقوة فردية يساوي سالب واحد. والآن، إذا رقمنا الصفوف والأعمدة في المصفوفة لدينا، فسنجد أن العنصر ﺃ ثلاثة واحد هو العنصر الذي يقع في الصف الثالث والعمود الأول، وهو سالب ستة. وبالمثل، العنصر ﺃ ثلاثة اثنان هو سالب ستة أيضًا، وكذلك العنصر ﺃ ثلاثة ثلاثة، ومن ثم، فإن المحدد لدينا يساوي سالب ستة في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة واحد ناقص سالب ستة في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة اثنان ناقص ستة في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة ثلاثة.
والآن، بتذكر أن المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة واحد هي المصفوفة ﺃ التي لا تحتوي على الصف الثالث والعمود الأول، فإن الحد الأول هو سالب ستة مضروبًا في محدد المصفوفة التي عناصرها هي ﺟ ناقص سبعة ﺃ، ﺃ ناقص سبعة ﺏ، سبعة ﺃ، سبعة ﺏ. وبالمثل، نحصل على المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة اثنان عن طريق حذف الصف الثالث والعمود الثاني. إذن، الحد الثاني هو ستة في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي ﺏ ناقص ثمانية ﺟ، ﺃ ناقص سبعة ﺏ، ثمانية ﺟ، سبعة ﺏ. وبالطريقة نفسها، نوجد الحد الثالث الذي يساوي سالب ستة مضروبًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي ﺏ ناقص ثمانية ﺟ، ﺟ ناقص سبعة ﺃ، ثمانية ﺟ، سبعة ﺃ.
سنفرغ الآن بعض المساحة لإيجاد قيمة محدد المصفوفة لدينا التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، ولإيجاده علينا إيجاد قيم محددات المصفوفات الثلاث التي رتبة كل منها اثنان في اثنين. وتذكر أنه لأي مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإن قيمة محدد هذه المصفوفة تساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. وبتطبيق ذلك على الحد الأول لدينا، نجد أن ﺃﺩ يساوي ﺟ ناقص سبعة ﺃ مضروبًا في سبعة ﺏ، وﺏﺟ يساوي ﺃ ناقص سبعة ﺏ مضروبًا في سبعة ﺃ. وبالنسبة إلى الحد الثاني، فإن ﺃﺩ يساوي ﺏ ناقص ثمانية ﺟ في سبعة ﺏ. وﺏﺟ يساوي ﺃ ناقص سبعة ﺏ مضروبًا في ثمانية ﺟ. وبالمثل، بالنسبة إلى الحد الثالث، لدينا ﺏ ناقص ثمانية ﺟ مضروبًا في سبعة ﺃ ناقص ﺟ ناقص سبعة ﺃ مضروبًا في ثمانية ﺟ.
والآن، دعونا نفك كل الأقواس ونر إذا ما كان بإمكاننا تبسيط الأمور قليلًا. بإجراء التوزيع داخل قوسي الحد الأول، نحصل على سالب ستة مضروبًا في سبعة ﺏﺟ ناقص ٤٩ﺃﺏ ناقص سبعة ﺃ تربيع زائد ٤٩ﺃﺏ، وسنستخدم الطريقة نفسها مع الحدين الثاني والثالث. في الحد الأول، لدينا سالب ٤٩ﺃﺏ وموجب ٤٩ﺃﺏ، وهذا يساوي صفرًا. وبالمثل، لدينا في الحد الثاني موجب ٥٦ﺏﺟ وسالب ٥٦ﺏﺟ، ولدينا في الحد الثالث موجب ٥٦ﺃﺟ وسالب ٥٦ﺃﺟ. إذن، بإعادة كتابة ذلك، يصبح لدينا سالب ستة مضروبًا في سبعة ﺏﺟ ناقص سبعة ﺃ تربيع زائد ستة مضروبًا في سبعة ﺏ تربيع ناقص ثمانية ﺃﺟ ناقص ستة في سبعة ﺃﺏ ناقص ثمانية ﺟ تربيع.
إذن نحن الآن نقترب من حل ممكن. عند النظر إلى الحلول المعطاة (أ) و(ب) و(ج) و(د)، نجد أن كلًّا من هذه الحلول الأربعة يحتوي على المقدار ﺃ ناقص ﺟ، وأيضًا المقدار سبعة ﺏ ناقص ثمانية ﺟ، والمقدار ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. إذن، دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا إيجاد هذه المقادير في قيمة المحدد لدينا.
سنتناول أولًا المقدار ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. بتوزيع الأقواس، نحصل على ﺃ تربيع ناقص اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. وفي قيمة المحدد، نجد أن لدينا كلًّا من ﺃ تربيع وﺏ تربيع وﺃﺏ. وفي الواقع، لدينا ٤٢ﺃ تربيع زائد ٤٢ﺏ تربيع ناقص ٤٢ﺃﺏ، وهذا يساوي تقريبًا مفكوك ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. الاختلاف الوحيد هو أن لدينا ﺃﺏ إضافيًّا. إذن في الواقع، المقدار داخل القوسين يساوي ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﺃﺏ. هذا يعني أن الحدود الثلاثة تماثل ٤٢ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﺃﺏ. ويمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ٤٢ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ٤٢ﺃﺏ.
والآن، إذا أعدنا ترتيب قيمة المحدد، فسيصبح لدينا في البداية ٤٢ في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع، زائد ستة في سبعة ﺃﺏ، أي ٤٢ﺃﺏ، ناقص ستة في سبعة ﺏﺟ، ما يساوي ستة في سالب سبعة ﺏﺟ، زائد ستة في سالب ثمانية ﺃﺟ ناقص ستة في سالب ثمانية ﺟ تربيع. إذن يصبح لدينا ٤٢ في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ستة مضروبًا في سبعة ﺃﺏ ناقص سبعة ﺏﺟ ناقص ثمانية ﺃﺟ زائد ثمانية ﺟ تربيع.
وبذلك نكون قد انتهينا من الحد ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع في كل من الحلول المعطاة. والآن دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا إيجاد ﺃ ناقص ﺟ. إذا نظرنا إلى الحد سبعة ﺃﺏ ناقص سبعة ﺏﺟ، فسنجد أن لدينا عاملًا مشتركًا وهو سبعة ﺏ. وبالمثل، سالب ثمانية ﺃﺟ زائد ثمانية ﺟ تربيع يساوي سالب ثمانية ﺟ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺟ. لدينا هنا إذن عامل مشترك؛ وهو سالب ثمانية ﺟ. ولدينا العامل المشترك ﺃ ناقص ﺟ. ويصبح لدينا بذلك ﺃ ناقص ﺟ مضروبًا في سبعة ﺏ ناقص ثمانية ﺟ. ودون أن ننسى العدد ستة، نجد أن قيمة المحدد لدينا تساوي ستة مضروبًا في ﺃ ناقص ﺟ في سبعة ﺏ ناقص ثمانية ﺟ زائد ٤٢ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏ الكل تربيع. وهذا يتوافق مع الخيار (أ)، إذن القيمة في الخيار (أ) تساوي قيمة المحدد المعطى.