فيديو: ضرب وقسمة الأعداد المركبة

يوضح الفيديو استخدام الصورة القطبية للأعداد المركبة في إتمام عملية الضرب والقسمة لها.

٠٧:١٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنشوف إزّاي نقدر نستغل الصورة القطبية للأعداد المركبة، في إتمام عملية الضرب والقسمة. أولًا هنبدأ بعملية الضرب. لو عندنا عددين مركبين، ع واحد وَ ع اتنين. حيث ع واحد تساوي ف واحد مضروبة في؛ جتا 𝜃 واحد، زائد ت جا 𝜃 واحد. وَ ع اتنين تساوي ف اتنين مضروبة في؛ جتا 𝜃 اتنين، زائد ت جا 𝜃 اتنين. وعايزين نجيب حاصل ضرب ع واحد، وَ ع اتنين.

فيبقى ع واحد في ع اتنين، تساوي ف واحد؛ جتا 𝜃 واحد، زائد ت جا 𝜃 واحد. مضروبة في ف اتنين مضروبة في؛ جتا 𝜃 اتنين، زائد ت جا 𝜃 اتنين. يساوي … ممكن نجيب ف واحد وَ ف اتنين في الأول. فيبقى ف واحد ف اتنين، مضروبة في … دلوقتي هنجيب حاصل ضرب القوسين دول. فيبقى جتا 𝜃 واحد مضروبة في جتا 𝜃 اتنين. زائد ت جتا 𝜃 واحد جا 𝜃 اتنين. زائد ت جا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اتنين. زائد ت تربيع جا 𝜃 واحد جا 𝜃 اتنين.

طيب من خصائص العدد التخيلي ت، إن ت تربيع تساوي سالب واحد. دلوقتي هنحاول نجمّع الجزء الحقيقي لوحده، والجزء التخيّلي لوحده. فيبقى ع واحد في ع اتنين تساوي ف واحد ف اتنين مضروبة في؛ جتا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اتنين، ناقص جا 𝜃 واحد جا 𝜃 اتنين. كده ده الجزء الحقيقي. أمّا بالنسبة للجزء التخيلي، فممكن ناخدها ت عامل مشترك. فيبقى زائد ت مضروبة في؛ جتا 𝜃 واحد جا 𝜃 اتنين، زائد جا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اتنين.

دلوقتي من خواصّ الدوال المثلثية، القوس ده … اللي هو جتا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اتنين، ناقص جا 𝜃 واحد جا 𝜃 اتنين. بيساوي جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اتنين. وبالنسبة للقوس ده … اللي هو جتا 𝜃 واحد جا 𝜃 اتنين، زائد جا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اتنين. هو بيساوي جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اتنين.

يبقى إذن ع واحد مضروبة في ع اتنين، تساوي … ف واحد ف اتنين مضروبة في؛ جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اتنين، زائد ت مضروبة في جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اتنين. من هنا نقدر نستنتج إن حاصل ضرب عددين مركبين، هيدّينا عدد مركب. المقياس بتاع العدد المركب ده، بيساوي حاصل ضرب المقياس بتاع العدد الأول، ومقياس العدد التاني. والسعة بتاعته بتساوي مجموع سعة العدد الأول، وسعة العدد التاني.

طيب في الصفحة اللي جايّة، هنشوف قانون مناظر لده، ولكن بالنسبة لعملية القسمة. إحنا استنتجنا إن الصيغة المستخدمة، عشان نجيب حاصل ضرب عددين مركبين … هي إن ع واحد في ع اتنين تساوي ف واحد ف اتنين مضروبة في؛ جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اتنين، زائد ت جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اتنين.

بنفس الطريقة اللي فاتت، نقدر نستنتج إن حاصل قسمة عددين مركبين … ع واحد على ع اتنين تساوي ف واحد على ف اتنين مضروبة في؛ جتا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اتنين، زائد ت جا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اتنين. ويبقى حاصل قسمة عددين مركبين يدّيني عدد مركب. المقياس بتاعه هو حاصل قسمة مقياس العدد الأول، والعدد التاني. والسعة بتاعته بتساوي سعة العدد الأول، ناقص سعة العدد التاني.

في الصفحة اللي جايّة هناخد مثال، نطبّق من خلاله الصيغ اللي استنتجناها. المثال بيقول: أوجد حاصل ضرب اتنين مضروبة في؛ جتا خمسة 𝜋 على تلاتة، زائد ت جا خمسة 𝜋 على تلاتة. وأربعة مضروبة في؛ جتا 𝜋 على ستة، زائد ت جا 𝜋 على ستة.

طيب لو سمّينا العدد الأولاني ده ع واحد، والعدد التاني ع اتنين. فيبقى حاصل ضرب ع واحد وَ ع اتنين، يساوي … المقياس هيساوي حاصل ضرب مقياس ع واحد وَ ع اتنين. فيبقى اتنين في أربعة جتا … السعة هتبقى مجموع سعة ع واحد وَ ع اتنين. يبقى خمسة 𝜋 على تلاتة، زائد 𝜋 على ستة. زائد ت جا؛ خمسة 𝜋 على تلاتة، زائد 𝜋 على ستة. تساوي … اتنين في أربعة تساوي تمنية. جتا … خمسة 𝜋 على تلاتة، زائد 𝜋 على ستة، تساوي حداشر 𝜋 على ستة. يبقى جتا حداشر 𝜋 على ستة. زائد ت جا حداشر 𝜋 على ستة.

فلو عايزين نجيب الصورة الديكارتية للعدد المركب اللي طلع لنا … هيبقى ع واحد في ع اتنين تساوي تمنية مضروبة في … جتا حداشر 𝜋 على ستة تساوي الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين. زائد ت مضروبة في … جا حداشر 𝜋 على ستة تساوي سالب واحد على اتنين. يبقى إذن ع واحد في ع اتنين تساوي أربعة مضروبة في الجذر التربيعي لتلاتة، ناقص أربعة ت.

كده في الفيديو ده إحنا استنتجنا صيغ لحساب حاصل ضرب وحاصل قسمة عددين مركبين. وخدنا مثال طبّقنا من خلاله الصيغة اللي استنتجناها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.