نسخة الفيديو النصية
طول حرف المكعب الموضح ٤٤ مقسومًا على ١٧. أوجد طول مسقط المتجه ﻭﺃ على ﺟﺏ، لأقرب منزلتين عشريتين.
حسنًا، بالنظر إلى هذا المكعب، نجد أن الركن ﻭ يقع عند نقطة الأصل لنظام الإحداثيات ﺱﺹﻉ. ونرى كذلك ثلاثة أركان أخرى للمكعب؛ والمسماة بـ ﺃ وﺏ وﺟ. إننا نريد الحل لإيجاد الإسقاط القياسي للمتجه ﻭﺃ الموضح في الشكل على المتجه ﺟﺏ، والممتد من الركن ﺟ للمكعب إلى الركن ﺏ. سيبدو هذا المتجه بهذا الشكل. لكي نبدأ الحل، دعونا نسترجع أن الإسقاط القياسي للمتجه ﺃ على متجه آخر، وهو ﺏ، يساوي حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين مقسومًا على معيار المتجه المسقط عليه. في هذه المسألة، ما نريد حسابه هو ﻭﺃ ضرب قياسي ﺟﺏ مقسومًا على معيار المتجه ﺟﺏ.
لحساب هذا الكسر، علينا معرفة مركبات هذين المتجهين؛ ﻭﺃ وﺟﺏ. يمكننا إيجادها عن طريق إحداثيات النقاط الأربعة المعطاة. يمكننا البدء بإحداثيات النقطة ﻭ، والتي نلاحظ أنها تقع عند نقطة الأصل. ولهذا، فإننا نعرف أن الإحداثيات ﺱﺹﻉ لهذه النقطة هي صفر، صفر، صفر.
سنفكر بعد ذلك في إحداثيات النقطة ﺃ. قيمة ﺱ لهذه النقطة تساوي هذا الطول، وهو طول ضلع المكعب، الذي نعلم أنه يساوي ٤٤ على ١٧، وقيمة ﺹ تساوي هذا الطول، وهو طول ضلع المكعب أيضًا، وقيمة ﻉ أيضًا تساوي هذا الطول، وهو ٤٤ على ١٧.
الآن بعد أن عرفنا إحداثيات هاتين النقطتين، يمكننا الحل لإيجاد المتجه ﻭﺃ. هذا المتجه يساوي إحداثيات النقطة ﺃ ناقص إحداثيات النقطة ﻭ. كما رأينا، الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ للنقطة ﺃ جميعها تساوي ٤٤ على ١٧، وجميع إحداثيات النقطة ﻭ هي صفر. هذا يوضح لنا أن مركبات المتجه ﻭﺃ متساوية أيضًا. فكلها تساوي ٤٤ على ١٧. بمعرفة ذلك، دعونا نتابع لإيجاد إحداثيات النقطتين الأخريين ﺟ وﺏ. سنبدأ بالنقطة ﺏ، ونلاحظ أن قيمة الإحداثي ﺱ تساوي صفرًا، وقيمة الإحداثي ﺹ تساوي صفرًا، لكن قيمة الإحداثي ﻉ تساوي ٤٤ على ١٧. والنقطة ﺟ هي إلى حد ما عكس النقطة ﺏ. وذلك لأن قيمة كل من ﺱ وﺹ لها تساوي ٤٤ على ١٧، وقيمة ﻉ تساوي صفرًا.
المتجه ﺟﺏ يساوي الصورة المتجهة لإحداثيات ﺏ ناقص إحداثيات ﺟ. وعندما نعوض بهذه القيم ونجري عملية الطرح، فإننا نحصل على هذا الناتج. المركبة ﺱ تساوي سالب ٤٤ على ١٧، والمركبة ﺹ تساوي القيمة نفسها، والمركبة ﻉ تساوي موجب ٤٤ على ١٧. إذن، لدينا هنا مركبات المتجهين المطلوبين؛ ما يعني أنه يمكننا البدء في حساب هذا الكسر. دعونا نبدأ بإفراغ بعض المساحة على الشاشة. والآن، سنعوض بالقيم المعلومة لـ ﻭﺃ وﺟﺏ في هذا الكسر. وهذا يعطينا هذا التعبير؛ حيث نعلم أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته.
في البسط، الخطوة التالية هي ضرب المركبات المتناظرة لهذه المتجهات في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ. في المقام، يمكننا تربيع مركبات المتجه ﺟﺏ المختلفة. عندما نفعل ذلك، يكون لدينا في البسط سالب القيمة ٤٤ على ١٧ تربيع ناقص نفس القيمة تربيع زائد نفس القيمة تربيع، وفي المقام، لدينا الجذر التربيعي لثلاثة مضروبًا في القيمة ٤٤ على ١٧ تربيع. في البسط، نحذف هذين الحدين معًا وفي المقام، ندرك أن الجذر التربيعي لـ ٤٤ على ١٧ تربيع يساوي ٤٤ على ١٧؛ ما يعطينا هذه القيمة. ونلاحظ أنه يمكن حذف العامل ٤٤ على ١٧ من البسط والمقام.
هذا يعطينا سالب واحد على جذر ثلاثة في ٤٤ على ١٧. هذه الإجابة صحيحة، لكننا نريد تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. والقيمة الدقيقة التي نريدها تساوي سالب ١٫٤٩. إذن، هذا هو طول مسقط المتجه ﻭﺃ على المتجه ﺟﺏ في المكعب لدينا.