فيديو السؤال: حل معادلة مثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة الحلول في النطاق ﺱ أكبر من صفر درجة وأقل من ١٨٠ درجة للمعادلة جا ﺱ زائد جتا ﺱ الكل تربيع يساوي اثنين جا تربيع اثنين ﺱ.

حسنًا، للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم ما نعرفه عن متطابقات فيثاغورس والمتطابقات المثلثية لضعف الزاوية. سنبدأ بفك القوسين في الطرف الأيمن من المعادلة. باستخدام طريقة ضرب حدي أول قوسين في حدي ثاني قوسين ثم تجميع الحدود المتشابهة، نجد أن تربيع جا ﺱ زائد جتا ﺱ يعطينا جا تربيع ﺱ زائد اثنين جا ﺱ جتا ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ. وتعني متطابقة فيثاغورس جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا أننا يمكننا إعادة كتابة جا تربيع ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ في صورة العدد واحد.

يمكننا أيضًا استخدام متطابقة ضعف الزاوية جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 لإعادة كتابة الحد الأوسط في التعبير لدينا. يمكن إعادة كتابة الطرف الأيمن من المعادلة الأصلية ليكون على الصورة واحد زائد جا اثنين ﺱ. وهذا يساوي اثنين جا تربيع اثنين ﺱ. بطرح جا اثنين ﺱ وواحد من كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا اثنان جا تربيع اثنان ﺱ ناقص جا اثنين ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. حسنًا، أصبحت لدينا الآن معادلة تربيعية بدلالة جا اثنين ﺱ. وسنساوي ﺹ بـ جا اثنين ﺱ.

بإعادة كتابة المعادلة بدلالة ﺹ، يصبح لدينا اثنان ﺹ تربيع ناقص ﺹ ناقص واحد يساوي صفرًا. يمكننا حل هذه المعادلة التربيعية بالتحليل، فنحصل بذلك على اثنين ﺹ زائد واحد مضروبًا في ﺹ ناقص واحد يساوي صفرًا. وبما أن حاصل ضرب الأقواس لدينا يساوي صفرًا، فإن واحدًا على الأقل من اثنين ﺹ زائد واحد وﺹ ناقص واحد يجب أن يساوي صفرًا. ومن ثم يصبح لدينا حلان؛ وهما ﺹ يساوي سالب نصف، وﺹ يساوي واحدًا.

تذكر أننا عوضنا عن جا اثنين ﺱ بـ ﺹ، وهذا يعني أن لدينا حلولًا للمعادلة عندما يكون جا اثنان ﺱ يساوي سالب نصف، وعندما يكون جا اثنان ﺱ يساوي واحدًا. حسنًا، علمنا من المعطيات أن ﺱ أكبر من صفر درجة وأقل من ١٨٠ درجة. هذا يعني أن اثنين ﺱ يقع بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. برسم منحنى ﺹ يساوي جا 𝜃، يمكننا تحديد قيم 𝜃 التي يكون عندها جا 𝜃 يساوي سالب نصف وواحدًا. القيمة الوحيدة لـ 𝜃 التي تجعل جا 𝜃 يساوي واحدًا بين صفر و٣٦٠ درجة هي ٩٠ درجة. هذا يعني أنه إذا كان جا اثنان ﺱ يساوي واحدًا، فإن اثنين ﺱ يساوي ٩٠ درجة. وبقسمة الطرفين على اثنين، يكون الحل الأول لدينا هو ﺱ يساوي ٤٥ درجة.

نلاحظ بعد ذلك أن الخط الأفقي ﺹ يساوي سالب نصف يتقاطع مع منحنى دالة الجيب مرتين بين صفر و٣٦٠ درجة. ويقع أحد الحلين بين ١٨٠ و٢٧٠ درجة، ويقع الحل الآخر بين ٢٧٠ و٣٦٠ درجة. ونظرًا لتماثل دالة الجيب، فإن هاتين القيمتين تبعدان المسافة نفسها عن القيمة الأكبر من ١٨٠ درجة والأقل من ٣٦٠ درجة. ومن واقع معرفتنا بالزوايا الخاصة، يمكننا استرجاع أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. ونظرًا للتماثل عند طرفي منحنى دالة الجيب، نجد أن جا ٣٠ درجة يساوي سالب جا ٣٣٠ درجة. هذا يعني أن جا ٣٣٠ درجة يساوي سالب نصف. وبإضافة ٣٠ إلى ١٨٠ نحصل على ٢١٠. وباستخدام التماثل مرة أخرى، نلاحظ أن جا ٢١٠ درجات يساوي أيضًا سالب نصف.

هذا يعني أنه إذا كان جا اثنين ﺱ يساوي سالب نصف، فيمكن أن يكون اثنان ﺱ يساوي ٢١٠ درجات أو ٣٣٠ درجة. يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على اثنين مرة أخرى، لنحصل بذلك على حلين لـ ﺱ وهما ١٠٥ و١٦٥ درجة. إذن يمكننا استنتاج أن مجموعة الحلول في النطاق المعطى للمعادلة جا ﺱ زائد جتا ﺱ الكل تربيع يساوي اثنين جا تربيع اثنين ﺱ هي ٤٥ درجة، و١٠٥ درجات، و١٦٥ درجة.