نسخة الفيديو النصية
إذا تضاعفت كتلة الإلكترون، فإلى كم مثل يصل نصف قطر بور وفقًا لنموذج بور؟
دعونا نبدأ بتذكر أن نموذج بور هو نموذج مبسط للذرة يصف الإلكترونات بأنها تشغل مدارات دائرية حول النوى الذرية. يمكننا نموذج بور من توقع عدة أمور حول سلوك الإلكترونات في الذرات، بما في ذلك نصف قطر المدار الذي يشغله الإلكترون. على وجه التحديد، يخبرنا نموذج بور بأن نصف قطر مدار الإلكترون في ذرة الهيدروجين يعطى بهذه المعادلة.
إن إحدى السمات الأساسية لنموذج بور هو أنه يخبرنا بأن الإلكترونات الموجودة في الذرات لا يمكن أن يكون لها إلا كميات محددة من الطاقة، ويمكننا استخدام الرمز 𝑛 للإشارة إلى مستوى طاقة الإلكترون. يمكن أن يأخذ 𝑛 قيمًا صحيحة موجبة. إذن، أصغر قيمة يمكن أن يأخذها تساوي واحدًا. وهذا يشير إلى أدنى مستوى طاقة يمكن أن يشغله الإلكترون. والإلكترون الموجود في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي واحدًا له أقل كمية طاقة يمكن أن تكون للإلكترون في هذه الذرة. كما أنه يشغل أقرب مدار ممكن من النواة. والإلكترون الموجود في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي اثنين له طاقة أكبر، ويدور أبعد قليلًا من النواة عن الإلكترون ذي مستوى الطاقة 𝑛 يساوي واحدًا.
في هذه المعادلة، يشير 𝑟𝑛 إلى نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة 𝑛. هذا يعني أن بإمكاننا استخدام هذه المعادلة لحساب نصف قطر مدار الإلكترون في أي مستوى طاقة نختاره. إن جميع الرموز الأخرى في هذه المعادلة تمثل ثوابت. 𝜀 صفر هو سماحية الفراغ. ℎ بار هو ثابت بلانك المخفض. 𝑚e هو كتلة الإلكترون. 𝑞e هو شحنة الإلكترون.
يتناول هذا السؤال نصف قطر بور. وللإجابة عن هذا السؤال، علينا معرفة أن نصف قطر بور ليس سوى اسم آخر لنصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي واحدًا لذرة الهيدروجين. هذا يعني أن بإمكاننا استخدام هذه المعادلة للتوصل إلى معادلة لنصف قطر بور. كل ما علينا فعله هو التعويض عن 𝑛 بواحد. وعندما نفعل ذلك، نغير الرمز 𝑛 هنا إلى واحد أيضًا. إذن في الطرف الأيسر من المعادلة، لدينا 𝑟 واحد؛ أي نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة 𝑛 يساوي واحدًا. وفي الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا أربعة 𝜋𝜀 صفر ℎ بار تربيع في واحد تربيع مقسومًا على كتلة الإلكترون في شحنة الإلكترون تربيع.
يمكننا تبسيط ذلك مباشرة بملاحظة أن واحد تربيع يساوي واحدًا بالطبع؛ ولذا لا حاجة إلى كتابته. يمكننا القول ببساطة إن 𝑟 واحد يساوي أربعة 𝜋𝜀 صفر في ℎ بار تربيع على 𝑚e في 𝑞e تربيع. هذه معادلة تصف نصف قطر بور. وهنا نلاحظ أنه يشار عادة إلى نصف قطر بور بـ 𝑎 صفر بدلًا من 𝑟 واحد.
الآن، بعد أن حصلنا على هذه المعادلة لنصف قطر بور، باتت الإجابة أسهل. يطلب منا السؤال معرفة كيف سيتغير نصف قطر بور الذي تصفه هذه المعادلة إذا تضاعفت كتلة الإلكترون. إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها الإجابة عن هذا السؤال هي التعويض عن قيم جميع الثوابت المستخدمة في هذه المعادلة. يمكننا كتابة ذلك على الآلة الحاسبة، وسنحصل حينها على القيمة الفعلية لنصف قطر بور، وهي 5.29 في 10 أس سالب 11 مترًا تقريبًا. يمكننا بعد ذلك إجراء العملية الحسابية نفسها، ولكن مع مضاعفة قيمة كتلة الإلكترون هذه المرة. ثم نقارن الناتج مع ناتج نصف قطر بور الفعلي ونلاحظ مدى تغيره.
لكن هناك طريقة أسهل بكثير للإجابة عن هذا السؤال، ولا تتطلب التعويض بقيم جميع هذه الثوابت، وذلك باستخدام أسلوب جبري. إذا كانت هذه المعادلة تصف نصف قطر بور لإلكترون عادي له كتلة عادية، فيمكننا إذن حساب تأثير مضاعفة كتلة الإلكترون عن طريق التعويض ببساطة عن 𝑚e؛ أي كتلة الإلكترون، باثنين 𝑚e. إذن، يمكننا القول إن نصف قطر بور لإلكترون تضاعفت كتلته يساوي أربعة 𝜋𝜀 صفر ℎ بار تربيع مقسومًا على اثنين 𝑚e في 𝑞e تربيع.
ما نريد فعله الآن هو كتابة هذه المعادلة لنصف قطر بور للإلكترون ذي الكتلة المضاعفة بدلالة هذه المعادلة لنصف قطر بور الفعلي. يمكننا فعل ذلك بإخراج الاثنين من المقام وكتابة المعادلة على هذا النحو. يمكننا أن نلاحظ أن هذا الجزء من المعادلة هو نصف قطر بور للإلكترون العادي. لكن نتج عن مضاعفة كتلة الإلكترون أن ضربت المعادلة في نصف. هذا يعني أنه بمضاعفة كتلة الإلكترون، يقل نصف قطر بور إلى النصف. بعبارة أخرى، يصل نصف قطر بور إلى نصف قيمته الفعلية.
