فيديو السؤال: إيجاد زوايا الاتجاه لمتجه الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد زوايا اتجاه المتجه ﺃ يساوي اثنين مضروبًا في متجه الوحدة ﺱ ناقص اثنين في متجه الوحدة ﻉ.

في هذا السؤال، المتجه ﺃ معطى لنا على الصورة الجبرية أو الكارتيزية. هذا يعني أنه مكتوب على الصورة المركبة ﺱ مضروبة في ﺱ زائد المركبة ﺹ مضروبة في ﺹ زائد المركبة ﻉ مضروبة في ﻉ؛ حيث ﺱ وﺹ وﻉ متجهات وحدة في الاتجاهات الموجبة للمحاور ﺱ، ﺹ، ﻉ. في هذا المثال لدينا، المركبة ﺱ أي ﺃﺱ تساوي اثنين. وبما أن متجه الوحدة ﺹ غير موجود للمتجه المعطى، فإن المركبة ﺹ التي سنشير إليها بـ ﺃﺹ تساوي صفرًا، والمركبة ﻉ التي سنشير إليها بـ ﺃﻉ تساوي سالب اثنين؛ وذلك لأن لدينا سالب اثنين مضروبًا في ﻉ الذي يمثل متجه الوحدة في الاتجاه ﻉ.

إذا أردنا إيجاد زوايا اتجاه المتجه ﺃ، وتذكرنا أن زوايا الاتجاه هي الزوايا 𝜃ﺱ، 𝜃ﺹ، 𝜃ﻉ التي يصنعها المتجه مع المحاور ﺱ، ﺹ، ﻉ، على الترتيب، وأن جيوب تمام الاتجاه هي جيوب تمام هذه الزوايا، أي جتا 𝜃ﺱ، جتا 𝜃ﺹ، جتا 𝜃ﻉ، فبالاستعانة بما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، نجد أن جتا 𝜃ﺱ يساوي المركبة ﺱ مقسومة على مقدار أو معيار المتجه ﺃ، ويمكننا اتباع الطريقة نفسها لإيجاد كل من جتا 𝜃ﺹ وجتا 𝜃ﻉ. تذكر أيضًا أن مقدار أو معيار أي متجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركبات المتجه.

إذن، للمتجه ﺃ، نعوض بقيم المركبات في صيغة المقدار؛ لنحصل على الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد صفر تربيع زائد سالب اثنين تربيع، وهو ما يعطينا الجذر التربيعي لثمانية الذي يمكن تبسيطه إلى اثنين في الجذر التربيعي لاثنين. بإفراغ بعض المساحة وكتابة ذلك، نجد أنه يمكننا التعويض بهذه القيمة وقيم المركبات لدينا لإيجاد جيوب تمام الاتجاه. على سبيل المثال، جتا 𝜃ﺱ يساوي اثنين على اثنين جذر اثنين، وهو ما يعطينا واحدًا على جذر اثنين. وبإنطاق المقام نحصل على الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. وبالمثل، جتا 𝜃ﺹ يساوي صفرًا على اثنين جذر اثنين، وهو ما يعطينا صفرًا. وأخيرًا، جتا 𝜃ﻉ يساوي سالب اثنين على اثنين جذر اثنين، وهو ما يكافئ سالب جذر اثنين على اثنين.

تذكر أننا نحاول إيجاد زوايا الاتجاه 𝜃ﺱ و𝜃ﺹ و𝜃ﻉ. ولفعل ذلك، سنوجد الدالة العكسية لجيب التمام لكل من القيم الناتجة. بهذه الطريقة، نجد أن 𝜃ﺱ يساوي الدالة العكسية لـ جتا جذر اثنين على اثنين، وهو ما يساوي ٤٥ درجة. ‏𝜃ﺹ يساوي الدالة العكسية لـ جتا صفر، وهو ما يساوي ٩٠ درجة. وأخيرًا، 𝜃ﻉ يساوي الدالة العكسية لـ جتا سالب جذر اثنين على اثنين، وهو ما يساوي ١٣٥ درجة. بهذه الطريقة نكون قد حصلنا على ثلاث زوايا اتجاه، تقع جميعها بين صفر و١٨٠ درجة.

ومن ثم، نستنتج أن زوايا اتجاه المتجه ﺃ يساوي اثنين ﺱ ناقص اثنين ﻉ، هي 𝜃ﺱ تساوي ٤٥ درجة، و𝜃ﺹ تساوي ٩٠ درجة، و𝜃ﻉ تساوي ١٣٥ درجة.