فيديو الدرس: تبسيط المقادير الجبرية: الأسس السالبة والكسرية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم قواعد الأسس السالبة والكسرية لحل المسائل الجبرية. لكي نبسط فهم هذه القواعد، دعونا نبدأ باسترجاع قاعدتي ضرب الأسس وقسمتها. أمامنا هنا قاعدتا ضرب الأسس وقسمتها. لإيجاد قيمتي ﻡ وﻥ ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية، يمكننا ضرب قوتين لهما الأساس نفسه عن طريق جمع أسيهما. وعند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه، فإننا نطرح أسيهما. لكن هنا، يجب أن تكون قيمة ﺃ غير صفرية. والآن، بما أنه يمكن لـ ﻡ وﻥ أن يكونا أي قيمتين حقيقيتين، فإن هاتين القاعدتين ستنطبقان أيضًا على الأسس السالبة والكسرية. دعونا نر ما يحدث عندما نعدل هاتين القاعدتين كي نحصل على أس سالب.

باستخدام قانون القسمة، دعونا نجعل قيمة ﻡ تساوي صفرًا. ومن ثم، سيكون لدينا ﺃ أس صفر مقسومًا على ﺃ أس ﻥ. باستخدام قاعدة الأسس هذه، يمكننا كتابة ذلك في صورة ﺃ أس صفر ناقص ﻥ. وهذا يكافئ ﺃ أس سالب ﻥ. دعونا إذن نفكر فيما اكتشفناه للتو بالاستعانة بحقيقة أن ﺃ أس صفر يساوي واحدًا. هذه الحقيقة توضح أن واحدًا مقسومًا على ﺃ أس ﻥ، أو واحدًا على ﺃ أس ﻥ، يساوي ﺃ أس سالب ﻥ. يمكننا إضافة هذا إلى قواعد الأسس كقاعدة للأسس السالبة. لاحظ هنا أن قيمتي ﻡ وﻥ لا تزالان ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية، وأن قيمة ﺃ غير صفرية.

في المثال الأول، سنتعرف على كيفية تطبيق قاعدة الأسس هذه.

أي من الآتي يساوي سالب ١٠ على تسعة في ﺱ أس سالب اثنين في ﺹ أس سالب سبعة؟ الخيار (أ) سالب تسعة على ١٠ﺱ تربيع في ﺹ أس سبعة. الخيار (ب) سالب ١٠ على تسعة ﺱ أس سبعة في ﺹ تربيع. الخيار (ج) سالب ١٠ على تسعة ﺱ تربيع في ﺹ أس سبعة. الخيار (د) سالب ١٠ﺱ تربيع في ﺹ أس سبعة على تسعة.

في هذا السؤال، لدينا بعض الأسس السالبة. لذا، سيكون من المفيد أن نسترجع قانون الأسس الخاص بالأسس السالبة. ينص هذا القانون على أن ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ لأي قيمة لـ ﺃ لا تساوي صفرًا. بما أن كلًّا من ﺱ وﺹ لهما أسان سالبان هنا، يمكننا تطبيق القاعدة على كلا المتغيرين. بالنسبة إلى ﺱ أس سالب اثنين، يمكننا التعويض عن ﺃ بـ ﺱ وعن ﻥ باثنين. إذن، ﺱ أس سالب اثنين يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. وبالمثل، بالنسبة إلى ﺹ أس سالب سبعة، هذا يعني أن ﺃ يساوي ﺹ وﻥ يساوي سبعة. إذن، ﺹ أس سالب سبعة يساوي واحدًا على ﺹ أس سبعة.

بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذه القيم في المقدار لدينا. هذا يعطينا سالب ١٠ على تسعة في واحد على ﺱ تربيع في واحد على ﺹ أس سبعة. عند ضرب كسور، فإننا نضرب البسوط معًا ونضرب المقامات معًا. إذن، فإن المقدار لدينا يساوي سالب ١٠ على تسعة ﺱ تربيع في ﺹ أس سبعة، وهي الإجابة في الخيار (ج).

في المثال التالي، سنستخدم قاعدة الأسس الخاصة بالأسس السالبة وكذلك قاعدة قسمة الأسس.

صواب أم خطأ: الصورة المبسطة لـ ﺱ أس سالب أربعة على ﺱ أس سالب اثنين هي واحد على ﺱ تربيع.

إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها تبسيط هذا المقدار هي استخدام قاعدة قسمة الأسس. تنص هذه القاعدة على أنه عند قسمة قوتين، وهما في هذه الحالة ﺃ أس ﻡ مقسومًا على ﺃ أس ﻥ، فإننا نطرح القوتين الأسيتين بحيث يصبح لدينا ﺃ أس ﻡ ناقص ﻥ لأي قيمة لـ ﺃ لا تساوي صفرًا. ونحن نعلم أن القيمة ﺱ أس سالب أربعة أو ﺱ مرفوعًا للقوة الرابعة على ﺱ أس سالب اثنين تساوي ﺱ أس سالب أربعة مقسومًا على ﺱ أس سالب اثنين. باستخدام قاعدة الأسس حيث ﻡ يساوي سالب أربعة وﻥ يساوي سالب اثنين، يصبح لدينا ﺱ أس سالب أربعة ناقص سالب اثنين. يبسط هذا إلى ﺱ أس سالب اثنين.

هذا مكافئ صحيح تمامًا، لكنه لا يتطابق مع الصورة المعطاة في السؤال. يمكننا هنا أن نسترجع قانونًا آخر للأسس يتعلق بالأسس السالبة، والذي ينص على أن ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ حيث إن قيمة ﺃ لا تساوي صفرًا. إذن، القيمة ﺱ أس سالب اثنين تساوي واحدًا على ﺱ تربيع. وذلك باستخدام قيمة ﻥ التي تساوي اثنين. ما فعلناه هنا هو إثبات أن المقدار ﺱ أس سالب أربعة على ﺱ أس سالب اثنين يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. إذن، العبارة الواردة في السؤال صحيحة.

لكن هناك طريقة أخرى يمكننا من خلالها صياغة هذا المقدار للوصول إلى النتيجة نفسها. وفي هذه الطريقة البديلة، سنبدأ بتطبيق القاعدة الخاصة بالأسس السالبة أولًا. عندما نفعل ذلك ونتعامل مع بسط هذا المقدار أولًا، يمكننا قول إن هذا يساوي واحدًا على ﺱ أس أربعة. والمقام ﺱ أس سالب اثنين يساوي واحدًا على ﺱ تربيع. يصبح تبسيط ذلك أسهل إذا تذكرنا أن الكسر هو عبارة عن عملية قسمة. إذن، هذا يساوي واحدًا على ﺱ أس أربعة مقسومًا على واحد على ﺱ أس اثنين.

نحن نقسم كسرين باستخدام الضرب في مقلوب الكسر الثاني. إذن، يتبقى لدينا ﺱ تربيع على ﺱ أس أربعة. لتبسيط هذا المقدار أكثر، يمكننا تطبيق القاعدة الأولى التي استخدمناها في هذا السؤال. بما أن قيمة ﻡ تساوي اثنين وقيمة ﻥ تساوي أربعة، يصبح لدينا ﺱ أس اثنين ناقص أربعة. وبالطبع، اثنان ناقص أربعة يساوي سالب اثنين. يمكننا إعادة كتابة هذا باستخدام قاعدة الأسس السالبة ليصبح على الصورة واحد على ﺱ تربيع. بذلك، نكون قد أكدنا أن العبارة الواردة في السؤال صحيحة.

قبل أن نتناول مزيدًا من الأمثلة، دعونا نستعرض بعض قواعد الأسس الأخرى. قواعد الأسس هذه توضح أنه لأي ﻡ وﻥ ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية، فإن ﺃ أس ﻡ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡﻥ. و‏ﺃﺏ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻡ في ﺏ أس ﻡ. وأخيرًا، ﺃ على ﺏ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻡ على ﺏ أس ﻡ؛ حيث ﺏ لا يساوي صفرًا.

دعونا نر كيف يمكننا تطبيق قواعد الأسس هذه في الأمثلة التالية.

بسط ﻡ على ﻥ أس سالب واحد الكل أس سالب ثلاثة في اثنين ﻡ أس سالب اثنين على ﻥ أس سالب اثنين الكل أس سالب ثلاثة.

لتبسيط هذا المقدار، فإننا نحتاج إلى استخدام بعض قواعد الأسس. بما أن لدينا كسرين مرفوعين إلى قوة، يمكننا إذن استخدام أحد قوانين الأسس والذي ينص على أن ﺃ على ﺏ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻡ على ﺏ أس ﻡ؛ حيث ﺏ لا يساوي صفرًا وﻡ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. دعونا نطبق هذه القاعدة على الجزء الأول من المقدار لدينا. بما أن لدينا هذا الكسر مرفوعًا للقوة سالب ثلاثة، فإننا نعلم أنه سيكون مكافئًا لقيمة البسط أس سالب ثلاثة على قيمة المقام أس سالب ثلاثة. ومع ذلك، لتبسيط المقام ﻥ أس سالب واحد أس سالب ثلاثة، سنحتاج إلى استخدام قاعدة أخرى من قواعد الأسس.

القاعدة التي نحتاج إليها هي أحد قوانين الأسس، والتي تنص على أن ﺃ أس ﻡ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ في ﻥ. إذن، سنأخذ الأسين سالب واحد وسالب ثلاثة ونضربهما معًا. نحن نعلم أن سالب واحد في سالب ثلاثة يساوي ثلاثة. لقد بسطنا هذا الجزء من المقدار إلى ﻡ أس سالب ثلاثة على ﻥ أس ثلاثة. دعونا نر ما إذا كان بإمكاننا تبسيط الجزء الثاني من هذا المقدار بالطريقة نفسها.

أول شيء يمكننا فعله هو تطبيق هذه القاعدة الخاصة بأسس الكسور. إذن، البسط سيكافئ اثنين ﻡ أس سالب اثنين أس سالب ثلاثة. والمقام سيكافئ ﻥ أس سالب اثنين أس سالب ثلاثة. لتبسيط بسط هذا الكسر، علينا أن نسترجع قانونًا آخر للأسس. ينص قانون الأسس هذا على أن ﺃﺏ الكل أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻡ في ﺏ أس ﻡ؛ حيث ﻡ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. وعليه، يبسط بسط هذا الكسر إلى اثنين أس سالب ثلاثة في ﻡ أس سالب اثنين أس سالب ثلاثة. يمكننا أيضًا تبسيط المقام، مع تذكر أنه يمكننا استخدام قانون الأسس الثاني هذا هنا لضرب الأسين. وسالب اثنين في سالب ثلاثة يعطينا ستة، إذن يصبح المقام ﻥ أس ستة.

ستكون الخطوة التالية في الحل هي تبسيط هذا الجزء من المقدار؛ ﻡ أس سالب اثنين أس سالب ثلاثة. وكما فعلنا سابقًا، يمكننا ضرب هذين الأسين. لدينا هنا ﻡ أس سالب اثنين في سالب ثلاثة. ونحن نعلم أن سالب اثنين في سالب ثلاثة يساوي ستة. والآن، يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر قليلًا بالتعامل مع اثنين أس سالب ثلاثة. لكن دعونا الآن نعوض بالقيم الموجودة باللونين البرتقالي والوردي عن أجزاء المقدار. عند ضربهما معًا، نحصل على ﻡ أس سالب ثلاثة على ﻥ أس ثلاثة في اثنين أس سالب ثلاثة ﻡ أس ستة على ﻥ أس ستة.

نحن نعلم أنه عند ضرب كسور، فإننا نضرب البسوط معًا ونضرب المقامات معًا. قد نلاحظ أننا لدينا في البسط قيمتين لهما نفس الأساس ﻡ. وثمة قاعدة أسية تساعدنا في حل ذلك. تنص هذه القاعدة على أن ﺃ أس ﻡ في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. وبالطبع، القيم التي نستخدمها في السؤال لـ ﻡ وﻥ ليست القيم نفسها التي نستخدمها في قواعد الأسس هذه. وفي البسط، سنجمع أسي ﻡ؛ أي سالب ثلاثة وستة. إذن، يصبح لدينا اثنان أس سالب ثلاثة في ﻡ أس سالب ثلاثة زائد ستة في البسط. وفي المقام، نجمع أسي ﻥ؛ أي ثلاثة وستة. إذن، يصبح لدينا ﻥ أس ثلاثة زائد ستة.

حسنًا، لقد قمنا حتى الآن بتبسيط المتغيرين ﻡ وﻥ قدر الإمكان. لكن دعونا نر ما يمكننا فعله لتبسيط المقدار اثنين أس سالب ثلاثة. ويمكننا استخدام قاعدة أسية أخيرة تتعلق بالأسس السالبة. تنص هذه القاعدة على أن ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ. هذا يعني أنه يمكن كتابة اثنين أس سالب ثلاثة في صورة واحد على اثنين تكعيب. علينا أن نتذكر أن اثنين تكعيب يساوي اثنين في اثنين في اثنين، وهذا يساوي ثمانية. إذن، اثنان أس سالب ثلاثة يساوي واحدًا على ثمانية. وعندما نعوض بواحد على ثمانية عن اثنين أس سالب ثلاثة، نحصل على المقدار ﻡ تكعيب على ثمانية ﻥ أس تسعة. وهذه هي الإجابة. لقد بسطنا المقدار المعطى قدر المستطاع لنحصل على ﻡ تكعيب على ثمانية ﻥ أس تسعة.

دعونا الآن نتناول مثالًا أخيرًا.

بسط المقدار ﺱ أس ثمانية على ﺹ أس سالب أربعة الكل أس نصف.

لتبسيط هذا المقدار، يمكننا البدء بقانون الأسس للكسور، والذي ينص على أن ﺃ على ﺏ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻡ على ﺏ أس ﻡ. يمكننا إذن كتابة أن هذا المقدار يساوي ﺱ أس ثمانية أس نصف على ﺹ أس سالب أربعة أس نصف. لتبسيط قوى البسط والمقام، يمكننا استخدام قاعدة أسية ثانية. سنضرب أسي البسط، ثمانية ونصف، معًا وأسي المقام، سالب أربعة ونصف، معًا. هذا يعطينا ﺱ أس أربعة على ﺹ أس سالب اثنين. هذا مقدار صحيح ومبسط تمامًا، ومن الشائع وجود أس سالب بدلًا من أس موجب.

إننا نعلم أن ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ؛ حيث قيمة ﺃ غير صفرية. هذا يعني أنه يمكننا كتابة المقدار على الصورة ﺱ أس أربعة على واحد على ﺹ تربيع. يمكننا تبسيط هذا الكسر الذي يتضمن كسرًا بتذكر أن الكسر عبارة عن عملية قسمة. ما لدينا هنا هو المقدار ﺱ أس أربعة مقسومًا على واحد على ﺹ تربيع. تذكر أنه لإجراء عملية قسمة على كسر، فإننا نضرب في مقلوبه. هذا يعني أن لدينا ﺱ أس أربعة مضروبًا في ﺹ تربيع. إذن، الإجابة هي أن المقدار المعطى في السؤال يمكن تبسيطه إلى ﺱ أس أربعة في ﺹ تربيع.

قبل أن نختتم هذا الفيديو، هناك قاعدتان أخريان للأسس تجب معرفتهما. وهما تتعلقان بالأسس الكسرية. تنص القاعدة الأولى على أن ﺃ أس واحد على ﻥ يساوي الجذر النوني لـ ﺃ لأي قيمة لـ ﺃ أكبر من أو تساوي صفرًا ولأي عدد صحيح موجب لـ ﻥ. يمكننا أيضًا توسيع هذه القاعدة لتشمل قاعدة ثانية؛ وهي أن ﺃ أس ﻡ على ﻥ يساوي الجذر النوني لـ ﺃ أس ﻡ. وهذا أيضًا يكافئ الجذر النوني لـ ﺃ الكل أس ﻡ. هاتان القاعدتان مفيدتان تحديدًا عندما نستخدم قيمًا عددية بدلًا من القيم الجبرية.

والآن، دعونا نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد عرفنا أن قوانين الضرب والقسمة وأسس القوى تنطبق أيضًا على الأسس الكسرية والسالبة. وعرفنا أيضًا أن قانون الأسس الخاص بالأسس السالبة هو واحد على ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس سالب ﻥ، على أن تكون قيم ﺃ غير صفرية. وأخيرًا، استعرضنا قانونين من قوانين الأسس الخاصة بالأسس الكسرية. وكان من المهم استعراض كل هذه القوانين الأسية لأن غالبًا ما يطلب منا تعلمها لاستخدامها في الاختبارات.