فيديو: إيجاد عدد الحلول الممكنة لمثلث بمعلومية طولي ضلعيه وقياس زاوية

‪𝐴𝐵𝐶‬‏ مثلث، فيه ‪𝑚∠𝐵 = 110°‬‏، ‪𝑏 = 16 cm‬‏، ‪𝑐 = 12 cm‬‏. ما عدد الحلول الممكنة للأطوال والزوايا الأخرى؟

٠٦:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

‏𝐴𝐵𝐶 مثلث، فيه قياس الزاوية 𝐵 يساوي 110 درجات، و𝑏 يساوي 16 سنتيمترًا، و𝑐 يساوي 12 سنتيمترًا. ما عدد الحلول الممكنة للأطوال والزوايا الأخرى؟

تذكر أن الحرفين الصغيرين 𝑏 و𝑐 يشيران هنا إلى أضلاع المثلث. لنرسم أولًا شكلًا مبسطًا حتى يسهل علينا تصور المثلث. إذن سيبدو المثلث هكذا.

وفقًا لما هو متعارف عليه في تسمية الأضلاع والزوايا بالأحرف الكبيرة للزوايا والأحرف الصغيرة للأضلاع، تذكر أن الضلع المشار إليه بالحرف 𝑐 هو المقابل للزاوية 𝐶، والضلع المشار إليه بالحرف 𝑎 هو المقابل للزاوية 𝐴، وهكذا.

لدينا زاوية قياسها 110 درجات. في مقابلها، لدينا ضلع طوله 16 سنتيمترًا. لدينا بعد ذلك الضلع 𝑐، وطوله 12 سنتيمترًا. المطلوب منا في المسألة هو إيجاد عدد الحلول الممكنة لأطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الأخرى في هذا المثلث.

سنفكر فيما يعنيه هذا بعد قليل. ولكن، هيا نبدأ بالتفكير في كيفية حساب أي من الزوايا والأضلاع في المثلث إذا كان ذلك ممكنًا.

من ضمن المعطيات الواردة أن لدينا زوجًا من الزوايا والضلعين المقابلين لهما. ومن ثم، فإننا نعرف قياس الزاوية وطول الضلع المقابل لها. وهذا يفيد بأنه يمكننا استخدام قانون الجيب في هذه المسألة. ما الذي سيمكننا حسابه باستخدام قانون الجيب؟ حسنًا، بمعلومية طول الضلع، وهو 12 سنتيمترًا، سيمكننا حساب قياس الزاوية المقابلة له، وهي الزاوية 𝐶.

تذكر، قانون الجيب يخبرنا أنه في مثلث معين، والذي ليس بالضرورة أن يكون قائم الزاوية، فإن النسبة بين جيب كل زاوية وطول الضلع المقابل لها ثابتة. ربما تكون معتادًا على رؤية قانون الجيب مكتوبًا بطريقة أخرى، بكتابة الأضلاع في البسط.

لكن بما أننا نريد معرفة قياس الزاوية هنا، فسأستخدم صورة المقلوب الضربي حيث تكون الزوايا في البسط. عمليًا، نحن نستخدم جزأين فقط من هذه النسبة معًا. إذن سنستخدم هنا الجزء الذي يتضمن الأحرف 𝐵 و𝑏 و𝐶 و𝑐. هيا نعوض بالقيم المعروفة للضلع 𝑏، والضلع 𝑐، والزاوية 𝐵.

لدينا جيب الزاوية 𝐶 مقسومًا على 12 يساوي جيب 110 درجات مقسومًا على 16. الآن هيا نر ما إذا كان يمكننا حل هذه المعادلة للزاوية 𝐶. سنبدأ بضرب طرفي المعادلة في 12. وسيخبرنا هذا أن جيب الزاوية 𝐶 يساوي 12 جيب 110 درجات مقسومًا على 16.

يعني هذا في الصورة العشرية أن sin 𝐶 يساوي 0.70476. حسبت ذلك باستخدام الآلة الحاسبة واحتفظت بالقيمة على شاشة الآلة. لإيجاد الزاوية 𝐶، سأحتاج الآن إلى استخدام الدالة العكسية للجيب. إذن باستخدام الآلة الحاسبة لحساب ذلك، نجد أن 𝐶 تساوي الدالة العكسية لجيب هذا العدد العشري 0.70476. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، فإن ذلك سيساوي 44.8 درجة.

هيا نفكر الآن فيما وصلنا إليه. طبقنا قانون الأسس لنوجد قيمة الزاوية 𝐶، وهي 44.8 درجة. يمكننا إذن حساب قياس الزاوية 𝐴 باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي 180 درجة. إذن عرفنا أن قياس الزاوية 𝐴 يساوي 25.2 درجة.

يمكننا إذن تطبيق قانون الجيب مرة أخرى باستخدام زوج مختلف من الأضلاع والزوايا، هذه المرة سنستخدم الزوج 𝐵 و𝑏، والزوج 𝐴 و𝑎، وذلك لحساب الضلع الثالث للمثلث، أي الضلع 𝑎. في الواقع لن نحسب ذلك لأن المسألة لم تطلب منا إيجاد الأطوال والزوايا الأخرى. إنما المطلوب فقط هو إيجاد الحلول الممكنة.

وبذلك، نعرف أنه يوجد على الأقل حل واحد ممكن للأطوال والزوايا الأخرى. السؤال الآن: هل ثمة حلول أخرى؟ تزيد احتمالية وجود حلول أخرى في هذه المرحلة، حيث لدينا جيب 𝐶 يساوي 0.704. وسبب ذلك هو أن هناك زاويتين قياسهما أقل من 180 درجة لهما الجيب نفسه. وهي قاعدة عامة لقيم 𝐶 الأقل من 180، جيب الزاوية 𝐶 يساوي جيب 180 ناقص 𝐶.

إذن، من الممكن أن تكون قيمة 𝐶 أخرى هي 180 درجة ناقص القيمة المحتسبة وهي 44.8، والتي ستكون 135.2 درجة. ومع ذلك، تذكر أننا نعرف قياس الزاوية 𝐵 بالفعل وهو 110 درجات. إذا كانت الزاوية 𝐶 تساوي 135.2 درجة، فإن ذلك سيعني أن مجموع هاتين الزاويتين فقط سيكون 245.2 درجة، أي ما يزيد على مجموع زوايا المثلث، وهو 180 درجة.

حسنًا، هذا يعني أنه نظرًا لما نعرفه بالفعل من معلومات عن الزاوية 𝐵، فإنه من غير الممكن أن تكون الزاوية 𝐶 أو أي من المجهولات الأخرى بقيمة مختلفة عن تلك التي حسبناها. إذن إجابة على هذا السؤال، يوجد حل واحد فقط ممكن للأطوال والزوايا الأخرى في المثلث.

ربما تتساءل الآن هل وجود حل واحد أو حلين هو الإجابة الممكنة الوحيدة عن هذا السؤال. في الحقيقة، لا، لأن هناك احتمالًا ثالثًا. تذكر أننا أوجدنا أن جيب الزاوية 𝐶 يساوي 0.70476. أحيانًا في مثل هذه الأسئلة، ربما تصل بك القيم المعطاة إلى معلومة مثل أن جيب الزاوية 𝐶 يساوي 1.24.

وإذا كانت هذه هي الحالة، فلا توجد حلول ممكنة للأطوال والزوايا الأخرى. لماذا؟ حسنًا، ذلك لأن جيب أي زاوية دائمًا يقع بين سالب واحد وواحد. وفي الحقيقة، أي زاوية تقع بين صفر و180 درجة، ستقع قيمة الجيب لها دائمًا بين صفر وواحد.

إذن، إذا كان لديك سؤال مشابه لهذا وتبين من الحل أن جيب الزاوية 𝐶 يساوي قيمة أكبر من واحد، فستعرف أنه لا يوجد المزيد من الحلول الممكنة لأنه لا يمكن حل المعادلة لإيجاد قيمة 𝐶.

تذكر أن إجابتنا عن هذه المسألة في ضوء مجموعة الزوايا والأضلاع المعطاة لنا ستكون: لا يوجد سوى حل واحد ممكن للأطوال والزوايا المتبقية في هذا المثلث.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.