فيديو السؤال: إيجاد عدد الحلول الممكنة لمثلث بمعلومية طولي ضلعيه وقياس زاوية الرياضيات

ﺃﺏﺟ مثلث، فيه ﻕ∠ﺏ = ١١٠°، ﺏ شرطة = ١٦ سم، ﺟ شرطة = ١٢ سم. ما عدد الحلول الممكنة للأطوال والزوايا الأخرى؟

٠٨:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث، فيه قياس الزاوية ﺏ يساوي ١١٠ درجات، وﺏ شرطة يساوي ١٦ سنتيمترًا، وﺟ شرطة يساوي ١٢ سنتيمترًا. ما عدد الحلول الممكنة للأطوال والزوايا الأخرى؟

تذكر أن ﺏ شرطة وﺟ شرطة يشيران هنا إلى أضلاع المثلث. لنرسم أولًا شكلًا مبسطًا حتى يسهل علينا تصور المثلث. إذن سيبدو المثلث هكذا.

وفقًا لما هو متعارف عليه في تسمية الأضلاع والزوايا، الضلع المشار إليه بالحرف ﺟ شرطة هو المقابل للزاوية ﺟ، والضلع المشار إليه بالحرف ﺃ شرطة هو المقابل للزاوية ﺃ، وهكذا.

لدينا زاوية قياسها ١١٠ درجات. في مقابلها، لدينا ضلع طوله ١٦ سنتيمترًا. لدينا بعد ذلك الضلع ﺟ شرطة، وطوله ١٢ سنتيمترًا. المطلوب منا في المسألة هو إيجاد عدد الحلول الممكنة لأطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الأخرى في هذا المثلث.

سنفكر فيما يعنيه هذا بعد قليل. ولكن، هيا نبدأ بالتفكير في كيفية حساب أي من الزوايا والأضلاع في المثلث إذا كان ذلك ممكنًا.

من ضمن المعطيات الواردة أن لدينا زوجًا من الزوايا والضلعين المقابلين لهما. ومن ثم، فإننا نعرف قياس الزاوية وطول الضلع المقابل لها. وهذا يفيد بأنه يمكننا استخدام قانون الجيب في هذه المسألة. ما الذي سيمكننا حسابه باستخدام قانون الجيب؟ حسنًا، بمعلومية طول الضلع، وهو ١٢ سنتيمترًا، سيمكننا حساب قياس الزاوية المقابلة له، وهي الزاوية ﺟ.

تذكر، قانون الجيب يخبرنا أنه في مثلث معين، والذي ليس بالضرورة أن يكون قائم الزاوية، فإن النسبة بين جيب كل زاوية وطول الضلع المقابل لها ثابتة. ربما تكون معتادًا على رؤية قانون الجيب مكتوبًا بطريقة أخرى، بكتابة الأضلاع في البسط.

لكن بما أننا نريد معرفة قياس الزاوية هنا، فسأستخدم صورة المقلوب الضربي حيث تكون الزوايا في البسط. عمليًّا، نحن نستخدم جزأين فقط من هذه النسبة معًا. إذن سنستخدم هنا الجزء الذي يتضمن الأحرف ﺏ وﺏ شرطة وﺟ وﺟ شرطة. هيا نعوض بالقيم المعروفة للضلع ﺏ شرطة، والضلع ﺟ شرطة، والزاوية ﺏ.

لدينا جيب الزاوية ﺟ مقسومًا على ١٢ يساوي جيب ١١٠ درجات مقسومًا على ١٦. الآن هيا نر ما إذا كان يمكننا حل هذه المعادلة للزاوية ﺟ. سنبدأ بضرب طرفي المعادلة في ١٢. وسيخبرنا هذا أن جيب الزاوية ﺟ يساوي ١٢ جيب ١١٠ درجات مقسومًا على ١٦.

يعني هذا في الصورة العشرية أن جا ﺟ يساوي ٠٫٧٠٤٧٦. حسبت ذلك باستخدام الآلة الحاسبة واحتفظت بالقيمة على شاشة الآلة. لإيجاد الزاوية ﺟ، سأحتاج الآن إلى استخدام الدالة العكسية للجيب. إذن باستخدام الآلة الحاسبة لحساب ذلك، نجد أن ﺟ تساوي الدالة العكسية لجيب هذا العدد العشري ٠٫٧٠٤٧٦. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، فإن ذلك سيساوي ٤٤٫٨ درجة.

هيا نفكر الآن فيما وصلنا إليه. طبقنا قانون الأسس لنوجد قيمة الزاوية ﺟ، وهي ٤٤٫٨ درجة. يمكننا إذن حساب قياس الزاوية ﺃ باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذن عرفنا أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٢٥٫٢ درجة.

يمكننا إذن تطبيق قانون الجيب مرة أخرى باستخدام زوج مختلف من الأضلاع والزوايا، هذه المرة سنستخدم الزوج ﺏ وﺏ شرطة، والزوج ﺃ وﺃ شرطة، وذلك لحساب الضلع الثالث للمثلث، أي الضلع ﺃ شرطة. في الواقع لن نحسب ذلك لأن المسألة لم تطلب منا إيجاد الأطوال والزوايا الأخرى. إنما المطلوب فقط هو إيجاد الحلول الممكنة.

وبذلك، نعرف أنه يوجد على الأقل حل واحد ممكن للأطوال والزوايا الأخرى. السؤال الآن: هل ثمة حلول أخرى؟ تزيد احتمالية وجود حلول أخرى في هذه المرحلة، حيث لدينا جيب ﺟ يساوي ٠٫٧٠٤. وسبب ذلك هو أن هناك زاويتين قياسهما أقل من ١٨٠ درجة لهما الجيب نفسه. وهي قاعدة عامة لقيم ﺟ الأقل من ١٨٠، جيب الزاوية ﺟ يساوي جيب ١٨٠ ناقص ﺟ.

إذن، من الممكن أن تكون قيمة ﺟ أخرى هي ١٨٠ درجة ناقص القيمة المحتسبة وهي ٤٤٫٨، والتي ستكون ١٣٥٫٢ درجة. ومع ذلك، تذكر أننا نعرف قياس الزاوية ﺏ بالفعل وهو ١١٠ درجات. إذا كانت الزاوية ﺟ تساوي ١٣٥٫٢ درجة، فإن ذلك سيعني أن مجموع هاتين الزاويتين فقط سيكون ٢٤٥٫٢ درجة، أي ما يزيد على مجموع زوايا المثلث، وهو ١٨٠ درجة.

حسنًا، هذا يعني أنه نظرًا لما نعرفه بالفعل من معلومات عن الزاوية ﺏ، فإنه من غير الممكن أن تكون الزاوية ﺟ أو أي من المجهولات الأخرى بقيمة مختلفة عن تلك التي حسبناها. إذن إجابة على هذا السؤال، يوجد حل واحد فقط ممكن للأطوال والزوايا الأخرى في المثلث.

ربما تتساءل الآن هل وجود حل واحد أو حلين هو الإجابة الممكنة الوحيدة عن هذا السؤال. في الحقيقة، لا، لأن هناك احتمالًا ثالثًا. تذكر أننا أوجدنا أن جيب الزاوية ﺟ يساوي ٠٫٧٠٤٧٦. أحيانًا في مثل هذه الأسئلة، ربما تصل بك القيم المعطاة إلى معلومة مثل أن جيب الزاوية ﺟ يساوي ١٫٢٤.

وإذا كانت هذه هي الحالة، فلا توجد حلول ممكنة للأطوال والزوايا الأخرى. لماذا؟ حسنًا، ذلك لأن جيب أي زاوية دائمًا يقع بين سالب واحد وواحد. وفي الحقيقة، أي زاوية تقع بين صفر و ١٨٠ درجة، ستقع قيمة الجيب لها دائمًا بين صفر وواحد.

إذن، إذا كان لديك سؤال مشابه لهذا وتبين من الحل أن جيب الزاوية ﺟ يساوي قيمة أكبر من واحد، فستعرف أنه لا يوجد المزيد من الحلول الممكنة لأنه لا يمكن حل المعادلة لإيجاد قيمة ﺟ.

تذكر أن إجابتنا عن هذه المسألة في ضوء مجموعة الزوايا والأضلاع المعطاة لنا ستكون: لا يوجد سوى حل واحد ممكن للأطوال والزوايا المتبقية في هذا المثلث.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.