فيديو: طريقة مركبة سهلة للعثور على الكنز

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية استخدام الأعداد المركبة لحل غموض خريطة الكنز.‎

١٦:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

ثمة أحجية قديمة من أحاجي العثور على كنز مدفون يمكن حلها بسهولة في حالة معرفتنا بالأعداد المركبة. وعليه سنتعرف في هذا الفيديو على طريقة مركبة سهلة للعثور على هذا الكنز. دفن القرصان المهاب، ذو اللحية المخططة باللونين البرتقالي والأخضر، كنزه الذي جمعه على جزيرة مهجورة عليها شجرة صنوبر وشجرة غار وشاهد قبر على مقربة منهما. بعد ذلك ترك بعض التعليمات البسيطة لحفيده نبيل حتى يعثر على البقعة التي دفن فيها الكنز.

ابدأ من شاهد القبر وسر في خط مستقيم إلى شجرة الغار. ثم استدر 90 درجة باتجاه عقارب الساعة وسر المسافة نفسها. ثم حدد مكان البقعة التي تصل إليها. بعدها عد إلى شاهد القبر وسر في خط مستقيم إلى شجرة الصنوبر. استدر 90 درجة عكس عقارب الساعة ثم سر المسافة نفسها مرة أخرى وحدد مكان البقعة التي تصل إليها.

يوجد الكنز عند النقطة التي تتوسط المسافة بين هاتين البقعتين. لسوء الحظ، قبل وصول نبيل إلى الجزيرة لاستعادة الكنز، سرق بعض لصوص المقابر القبر، بما في ذلك الشاهد. كيف إذن يمكن لنبيل العثور على كنزه بعد فقدانه للنقطة التي يبدأ منها؟ تجدر الإشارة إلى أن هذه الأحجية ابتكرت قبل عصر التصوير الجوي ورادار استكشاف باطن الأرض، اللذين ربما كانا سيمنحانه بعض مفاتيح الحل.

كذلك لم يستطع نبيل إحضار أي معدات ثقيلة من أجل حفر مساحات شاسعة عشوائيًا. فلم يكن بحوزته إلا جاروف وكان يريد الذهاب إلى الكنز مباشرة واستخراجه. وجدير بالذكر أن القرصان ذا اللحية المخططة باللونين البرتقالي والأخضر اختار شجرتي الصنوبر والغار بسبب تميز شكلهما على الجزيرة وسهولة تمثيلهما على خريطة بسيطة. فتبدو إحداهما مثل المثلث وتبدو الأخرى مثل الدائرة.

لم يضع القرصان في اعتباره حقيقة أن كلتيهما تبدوان مثل الدائرة عند النظر إليهما من الأعلى. لكن دعونا لا نقف عند تفاصيل صغيرة مثل هذه. والآن أوقف الفيديو وحاول التفكير في حل هذه الأحجية وكيف يمكن لنبيل العثور على كنز القرصان ذي اللحية المخططة باللونين البرتقالي والأخضر، ثم سأخبرك أنا بالطريقة.

مهلًا! عجبًا! من سرق قبعتي؟ يا لها من مهمة صعبة!

خطوتنا الأولى أن نرسم خريطة بسيطة، ونختار نقطة عشوائية لموضع شاهد القبر، ونتبع التعليمات لنرى إلام تقودنا. حسنًا، هذه شجرة الصنوبر، وهذه شجرة الغار. لنضع شاهد القبر هنا عشوائيًا، ثم نتبع التعليمات. سر في خط مستقيم إلى شجرة الغار. ثم استدر 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة. ثم سر المسافة نفسها مرة أخرى. ثم حدد البقعة التي تصل إليها.

بعد هذا عد إلى شاهد القبر. سر في خط مستقيم نحو شجرة الصنوبر. استدر 90 درجة عكس عقارب الساعة. سر المسافة نفسها مرة أخرى ثم حدد البقعة التي تصل إليها. بعد هذا ابحث عن النقطة التي تتوسط المسافة بين هاتين البقعتين، وهناك ستجد الكنز. وحين تكرر هذه الخطوات عدة مرات ستلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام. وربما تكون قد جربت هذه الطريقة بالفعل. لكن إن لم تكن قد جربتها، فربما عليك أن توقف الفيديو مرة أخرى الآن وتجربها وحدك قبل أن أحدثك عنها.

لنقدم عرضًا توضيحيًا آخر. هذه المرة سنضع الشاهد هنا. سر في خط مستقيم إلى شجرة الغار. ثم استدر 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة. ثم سر المسافة نفسها مرة أخرى. وحدد البقعة التي تصل إليها. عد إلى الشاهد. ثم سر نحو شجرة الصنوبر. استدر 90 درجة عكس عقارب الساعة. سر المسافة نفسها مرة أخرى. ثم حدد البقعة التي تصل إليها. ثم اعثر على النقطة التي تتوسط المسافة بين هاتين البقعتين، وهناك ستجد الكنز مخبئًا. من المثير للاهتمام أنك ستجد الكنز في المكان نفسه.

هل هذه محض صدفة؟ لأنها إن لم تكن كذلك، فبصرف النظر عن المكان الذي نبدأ منه. سينتهي بنا الحال دومًا إلى البقعة نفسها إن اتبعنا التعليمات. ومن البديهي أنه يتعين علينا الانتباه جيدًا للمكان الذي نبدأ منه، وإلا فسينتهي بنا الحال إلى تحديد بقعة داخل البحر، وهذا لن يكون سهلًا. لكن هل بإمكاننا التوصل إلى طريقة لإثبات أنه أينما وضعنا شاهد القبر، فسنعثر على الكنز دومًا إن اتبعنا التعليمات؟

يوجد كثير من الطرق، لكن دعونا نستخدم الأعداد المركبة للتعرف على إحدى هذه الطرق. لنرسم خطًا بين شجرة الصنوبر وشجرة الغار. ثم لنقم بتدوير صورة الجزيرة قليلًا ونطلق على هذا الخط المحور الحقيقي على مستوى مركب. الآن يمكننا تحديد النقطة التي تتوسط المسافة بين الشجرتين ونطلق عليها نقطة الأصل، ثم نرسم المحور التخيلي.

بعد ذلك، إن قلنا إن وحدتنا هي المسافة بين نقطة الأصل وشجرة الغار، فيمكننا التعبير عن موقع شجرة الغار بالعدد المركب واحد زائد صفر 𝑖 على هذا المستوى، ونعبر عن موقع شجرة الصنوبر بسالب واحد زائد صفر 𝑖. والآن لنختر نقطة عشوائية لمكان الشاهد. ولنطلق على هذه النقطة 𝐺. وبينما نحن نقف عند هذه النقطة لنرمز إلى موقعي الشجرتين بالرمز 𝑃 بالنسبة إلى شجرة الصنوبر، والرمز 𝐵 بالنسبة إلى شجرة الغار. والآن لنعبر عن موقع 𝐺 بالعدد المركب 𝑎 زائد 𝑏𝑖.

يتكون هذا العدد من جزء حقيقي هو 𝑎 مضروب في المسافة من نقطة الأصل إلى شجرة الغار، وجزء تخيلي هو 𝑏 مضروب في المسافة من نقطة الأصل إلى شجرة الغار. وقد أخبرتنا تعليمات العثور على الكنز أن نبدأ من 𝐺 ونسير إلى 𝐵، لذا دعونا نعبر عن هذا في صورة متجه على المستوى المركب. عند التحرك من 𝐺 إلى 𝐵 يتغير الجزء الحقيقي من 𝑎 ويصبح واحد. وعليه يصبح هذا الجزء في رحلة المتجه واحد ناقص 𝑎، أو الفرق بين واحد و𝑎. وكذلك يتغير الجزء التخيلي من 𝑏𝑖 ليصبح صفر 𝑖، ويمكن كتابة هذا في شكل صفر 𝑖 ناقص 𝑏𝑖، وتبسيطه إلى مجرد سالب 𝑏𝑖.

وهكذا يمكن كتابة المتجه 𝐺𝐵 في صورة واحد ناقص 𝑎 زائد سالب 𝑏𝑖، أو حتى واحد ناقص 𝑎 ناقص 𝑏𝑖. بعد هذا علينا أن نغير اتجاهنا 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة ونقطع المسافة نفسها مرة أخرى. والآن على المستوى المركب لا نحتاج إلا إلى ضرب المتجه في سالب 𝑖 من أجل الاستدارة 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة. إذن لنكتب هذا. سالب 𝑖 في 𝐺𝐵 يساوي سالب 𝑖 في واحد ناقص 𝑎 ناقص 𝑏𝑖. وحين نضرب الكل في سالب 𝑖، نحصل على سالب واحد ناقص 𝑎𝑖 زائد 𝑏𝑖 تربيع.

والآن تذكر أن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. وعليه يصبح الحد الأخير ناقص 𝑏. والآن لنضع الجزء الحقيقي أولًا يليه الجزء التخيلي، فيصبح لدينا سالب 𝑏 ناقص واحد ناقص 𝑎𝑖. وفي الحقيقة علامات السالب الكثيرة هذه غير محبذة في المكان. لذا لنكتب هذا في صورة سالب 𝑏 زائد 𝑎 ناقص واحد 𝑖. إلا أن هذا المتجه لا يمثل إلا حركة على المستوى المركب، وهو التحرك 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة من المتجه 𝐺𝐵 بالقدر نفسه أو المسافة نفسها للمتجه 𝐺𝐵.

إذن علينا وضع هذا المتجه بحيث تكون نقطة بدايته أو نقطة الانطلاق من شجرة الغار. وبعدها يمكننا العثور على نهايته أو نقطة انتهائه التي ستخبرنا بالمكان الذي علينا تحديده على الأرض. ولنطلق على هذه البقعة 𝐵 شرطة. ويمكننا أن نطلق على المتجه سالب 𝑏 زائد 𝑎 ناقص واحد 𝑖 متجه 𝐵𝐵 شرطة أو هذا المتجه الظاهر أمامنا هنا. ومن أجل معرفة متجه الموضع للنقطة 𝐵 شرطة علينا البدء من نقطة الأصل وتحديد المتجه الذي سيقودنا إلى النقطة 𝐵 شرطة.

والآن حتى نفعل هذا، لننطلق في رحلتنا من النقطة 𝑂 إلى النقطة 𝐵، ثم من النقطة 𝐵 إلى النقطة 𝐵 شرطة. وهكذا فإن المتجه 𝑂𝐵 يساوي المتجه 𝑂𝐵 زائد المتجه 𝐵𝐵 شرطة. وتذكر أننا توصلنا للتو لصيغة تعبر عن المتجه 𝐵𝐵 شرطة. إذن فقد كان المتجه 𝑂𝐵 يساوي واحد زائد صفر 𝑖، والمتجه 𝐵𝐵 شرطة يساوي سالب 𝑏 زائد 𝑎 ناقص واحد 𝑖. وإن أخرجنا الأجزاء الحقيقية، يصبح لدينا واحد مطروحًا منه 𝑏، والمكونات التخيلية تصبح صفر 𝑖 و𝑎 ناقص واحد 𝑖.

وهكذا فإن متجه الموضع للنقطة 𝐵 شرطة يمكن تبسيطه إلى واحد ناقص 𝑏 زائد 𝑎 ناقص واحد 𝑖. لذا دعونا ندون هذا هنا. والآن يمكننا تكرار هذه العملية من أجل التوصل إلى مكان النقطة 𝑃 شرطة بعد البدء من النقطة 𝐺، والسير في خط مستقيم إلى النقطة 𝑃، والاستدارة 90 درجة عكس عقارب الساعة هذه المرة، ثم السير للمسافة نفسها مرة أخرى في هذا الاتجاه. إذن لنعد إلى الشاهد ونسر في خط مباشر نحو النقطة 𝑃.

الجزء الحقيقي للمتجه 𝐺𝑃 هو ناتج طرح سالب واحد من 𝑎، ويكون سالب واحد ناقص 𝑎 أو ببساطة سالب 𝑎 زائد واحد. أما الجزء التخيلي فيكون ناتج طرح صفر 𝑖 من 𝑏𝑖، ويكون صفر 𝑖 ناقص 𝑏𝑖 أو ببساطة سالب 𝑏𝑖. وهكذا تصبح لدينا هذه الصيغة للمتجه 𝐺𝑃: سالب 𝑎 زائد واحد زائد سالب 𝑏𝑖 أو ببساطة سالب 𝑎 زائد واحد ناقص 𝑏𝑖. ثم حتى نتمكن من الاستدارة 90 درجة عكس عقارب الساعة، علينا ضرب هذا في 𝑖، فنحصل على 𝑖 في 𝐺𝑃 وهو ما يساوي 𝑖 في سالب 𝑎 زائد واحد ناقص 𝑏𝑖.

وعند ضرب الكل في 𝑖 نحصل على سالب 𝑎 زائد واحد 𝑖 ناقص 𝑏𝑖 تربيع. ومرة أخرى، 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. وهكذا يصبح لدينا سالب 𝑏 في سالب واحد وهو ما يساوي 𝑏 موجب. ثم عند تبديل الأماكن لنضع الجزء الحقيقي أولًا نحصل على 𝑖 في 𝐺𝑃 يساوي 𝑏 ناقص 𝑎 زائد واحد 𝑖. ومثلما الحال مع المتجه 𝐵𝐵 شرطة، يعبر هذا عن اتجاه وطول المتجه 𝑃𝑃 شرطة. وحين نرسم هذا على شكلنا البياني، نجد أنه يمر تمامًا عبر الحل الذي كتبناه. لكنه يخبرنا بأن النقطة 𝑃 شرطة توجد هنا في الأسفل.

وتمامًا مثلما فعلنا من قبل، حتى نتوصل إلى معرفة متجه الموضع 𝑃 شرطة، علينا الذهاب من النقطة 𝑂 إلى النقطة 𝑃، ثم من النقطة 𝑃 إلى النقطة 𝑃 شرطة. إذن متجه الموضع للنقطة 𝑃 شرطة يساوي متجه الموضع لشجرة الصنوبر زائد المتجه 𝑃𝑃 شرطة. ويساوي هذا سالب واحد زائد صفر 𝑖، الذي يعبر عن موقع شجرة الصنوبر، زائد 𝑏 ناقص 𝑎 زائد واحد 𝑖. وحين نضع الأجزاء الحقيقية معًا، نحصل على سالب واحد زائد 𝑏، وتصبح الأجزاء التخيلية صفر زائد سالب 𝑎 زائد واحد 𝑖. وبدلًا من كتابة سالب واحد زائد 𝑏، سأكتبها 𝑏 ناقص واحد.

وهذا هو متجه الموضع للنقطة 𝑃 شرطة. ولندون ملحوظة بهذا هنا. والآن لا نحتاج إلا لإيجاد النقطة التي تتوسط المسافة بين 𝐵 شرطة و𝑃 شرطة حتى نعثر على الكنز. وحتى نتمكن من هذا، علينا التوصل إلى متوسط متجهي الموضع هذين. كل ما علينا فعله هو جمعهما معًا ثم قسمتهما على اثنين. وهذا يعني أن علينا تبسيط هذه المعادلة: واحد ناقص 𝑏 زائد 𝑎 ناقص واحد 𝑖 زائد 𝑏 ناقص واحد ناقص 𝑎 زائد واحد 𝑖، كل هذا على اثنين. وعلينا حساب الأجزاء الحقيقية أولًا، فلدينا واحد ناقص 𝑏 زائد 𝑏 ناقص واحد. حسنًا، واحد ناقص واحد يساوي صفر، وسالب 𝑏 زائد 𝑏 يساوي صفر أيضًا. فيمكن اختزال كل هذا إلى صفر.

الخطوة التالية هي حساب الأجزاء التخيلية، وعلينا تذكر أن هذا سالب 𝑎 ناقص واحد، و𝑎 ناقص 𝑎 يساوي صفر. لكن هذه المرة لدينا سالب واحد ناقص واحد آخر، وهذا يساوي سالب اثنين. إذن يصبح لدينا بعد التبسيط صفر في الجزء الحقيقي زائد سالب اثنين على اثنين 𝑖. وبالطبع يمكن اختصار سالب اثنين على اثنين إلى سالب واحد. إذن يصبح لدينا صفر زائد سالب 𝑖، وبالطبع يمكن كتابة هذا في صورة صفر ناقص 𝑖 أو مجرد سالب 𝑖. إذن نجد على خريطتنا أن الكنز يوجد عند النقطة صفر ناقص 𝑖.

يعبر هذا عن وحدة واحدة في الاتجاه السالب من المحور التخيلي، وهذا يعني أن هذه المسافة هنا تساوي تمامًا تلك المسافة. لكن الأهم من ذلك، أنها لا تعتمد أبدًا على أي من 𝑎 و𝑏. وهذا معناه أنه بصرف النظر عن المكان الذي نبدأ فيه رحلتنا الصغيرة. سنصل دومًا إلى النقطة صفر ناقص 𝑖. وهكذا، بعد قليل من التحليل الرياضي لهذه المسألة، توصلنا إلى طريقة جديدة أكثر سهولة للعثور على الكنز. إنه يقع على المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين الشجرتين على مسافة تقدر بنصف المسافة الفاصلة بين الشجرتين بدءًا من هذه القطعة المستقيمة، مع وجود شجرة الغار على جهة اليمين حين تنظر إلى الصورة. حظ سعيد في رحلتك للعثور على الكنز!

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.