نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة زائد واحد مقسومًا على أربعة ﺱ مضروبًا في جا اثنين ﺱ.
حسنًا، مطلوب منا هنا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لحاصل ضرب دالة كسرية ودالة مثلثية. ويمكننا إيجاد قيم الدوال الكسرية والدوال المثلثية عن طريق التعويض المباشر. لذا، سنحاول إيجاد قيمة حاصل ضربهما عن طريق التعويض المباشر.
بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على تسعة زائد واحد على أربعة في صفر مضروبًا في جا اثنين في صفر. ونلاحظ أن ثمة مشكلة هنا. هذا التعبير يبسط إلى تسعة زائد واحد على صفر الكل مضروبًا في صفر. ونحن نعلم أنه لا يمكننا استخدام التعويض المباشر إذا كان المقام يساوي صفرًا. لذا، علينا البحث عن طريقة مختلفة لإيجاد قيمة هذه النهاية.
يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية بدلالة النهايات التي نعرف كيفية إيجادها. نلاحظ أنه في النهاية المطلوب منا إيجاد قيمتها، لدينا دالة الجيب مقسومة على دالة خطية. وهذا يذكرنا بنتيجة مفيدة لدالة مثلثية يجب علينا حفظها؛ وهي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ على ﺱ تساوي واحدًا. إذن، دعونا نعيد كتابة النهاية لدينا.
سنبدأ بتوزيع جا اثنين ﺱ على القوسين. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة جا اثنين ﺱ زائد جا اثنين ﺱ مقسومًا على أربعة ﺱ. والآن، نلاحظ أنه يمكننا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة في جا اثنين ﺱ باستخدام التعويض المباشر. والحد الثاني لدينا على الصورة التي نعرف قيمة نهايتها بالفعل. لدينا هنا عامل ثابت يساوي ربعًا، وسنحسب جا اثنين ﺱ بدلًا من جا ﺱ.
بالإضافة إلى ذلك، نحن نعرف بعض الطرق التي يمكننا من خلالها إعادة كتابة جا اثنين ﺱ بدلالة جا ﺱ. على سبيل المثال، يمكننا استخدام صيغة ضعف الزاوية، وسيكون ذلك صحيحًا. لكننا سنعيد كتابة قاعدة النهاية لتكون بدلالة جا اثنين ﺱ. سنبدأ بالتعويض عن جميع مثيلات ﺱ باثنين ﺱ. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب اثنان ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ يساوي واحدًا.
علينا أن ننتبه هنا لأن في النهاية التي نحاول إيجاد قيمتها ﺱ يقترب من صفر. وفي هذه النهاية هنا لدينا اثنان ﺱ يقترب من صفر. لكن، إذا كان اثنان ﺱ يقترب من صفر، فلا بد أن قيمة ﺱ تقل أكثر فأكثر. وهذا يعني في الواقع أن ﺱ يقترب حتمًا من صفر. إذن، ستكون لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا اثنين ﺱ مقسومًا على اثنين ﺱ تساوي واحدًا.
حسنًا، لكي نستخدم قاعدة النهاية الجديدة التي استنتجناها، سنبدأ بإعادة كتابة نهاية المجموع لدينا على صورة مجموع نهايتين. وكما قلنا سابقًا، يمكننا إيجاد قيمة النهاية الأولى باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا، نحصل على تسعة في جا اثنين في صفر. ولكن جا صفر يساوي صفرًا. إذن، قيمة هذه النهاية هي صفر.
إننا نريد الآن إيجاد قيمة النهاية الثانية باستخدام قاعدة النهاية. لكننا نلاحظ أن لدينا أربعة ﺱ في المقام بدلًا من اثنين ﺱ. لكن تذكر أن أربعة هو مجرد عدد ثابت. وعليه، نستطيع أخذ النصف عاملًا خارج النهاية. نلاحظ الآن أن لدينا نصفًا مضروبًا في قاعدة النهاية. ومن ثم، يكون الحد الثاني لدينا هو نصف مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي نصفًا.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لتسعة زائد واحد مقسومًا على أربعة ﺱ مضروبًا في جا اثنين ﺱ تساوي نصفًا.
