فيديو الدرس: نظرية لامي الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل مسائل عن اتزان جسيم تحت تأثير عمل ثلاث قوى مستوية باستخدام نظرية لامي.

عند وجود ثلاث قوى مستوية متلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة تؤثر على جسم لتجعله في حالة اتزان إستاتيكي، يمكن عندئذ استخدام نظرية لامي. تنص هذه النظرية على أن ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽، وهو ما يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾. سنبدأ بتناول اشتقاق هذه النظرية. لنفترض وجود ثلاث قوى ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة متلاقية في نقطة، وهو ما يعني أنها تؤثر على النقطة نفسها كما هو موضح. لنفترض أن الزاوية المحصورة بين القوة ﻕ اثنين والقوة ﻕ ثلاثة هي 𝛼، والزاوية المحصورة بين القوة ﻕ واحد والقوة ﻕ ثلاثة هي 𝛽، والزاوية المحصورة بين القوة ﻕ واحد والقوة ﻕ اثنين هي 𝛾. ونعرف أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث هذه يساوي ٣٦٠ درجة.

باستخدام الخواص الهندسية، يمكننا إعادة رسم ذلك في صورة مثلث بحيث يكون مجموع القوى يساوي ناتج جمع المتجهات ﻕ اثنين زائد ﻕ واحد زائد ﻕ ثلاثة. نعلم أنه في أي مثلث، تنص قاعدة الجيب على أن طول الضلع ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي طول الضلع ﺏ شرطة على جا ﺏ وهو ما يساوي طول الضلع ﺟ شرطة على جا ﺟ. بالتعويض بالقيم الموضحة في الشكل، نحصل على ﻕ واحد على جا ١٨٠ ناقص 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا ١٨٠ ناقص 𝛽، وهو ما يساوي ﻕ ثلاثة على جا ١٨٠ درجة ناقص 𝛾.

نعلم أن جا زاوية ﺃ يساوي جا ١٨٠ درجة ناقص الزاوية ﺃ. وتبسط المعادلة إلى ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽، وهو ما يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾. وهو ما يعرف باسم نظرية لامي، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة معايير المتجهات الثلاثة المستوية المتلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة والتي تجعل الجسم في حالة اتزان إستاتيكي. و𝛼 و𝛽 و𝛾 هي الزوايا المقابلة مباشرة للمتجهات. سنتناول الآن بعض الأمثلة حيث يمكننا تطبيق نظرية لامي.

في الشكل الموضح، الجسم ﺃ في حالة اتزان تحت تأثير القوى المبينة بالنيوتن. أوجد القوة ﻕ.

إحدى طرق حل هذه المسألة هي استخدام نظرية لامي. تنص هذه النظرية على أنه عندما يكون لدينا ثلاث قوى مستوية متلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة تؤثر على جسم لتجعله في حالة اتزان إستاتيكي، فإن ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽، وهو ما يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة مقادير القوى و𝛼 و𝛽 و𝛾 هي قياسات الزوايا المقابلة لها مباشرة. في الشكل، لدينا قياس زاويتين. كلاهما يساوي ١٥٠ درجة. وبما أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي ٣٦٠ درجة، فإن قياس الزاوية الناقصة هو٦٠ درجة. بالتعويض بهذه القيم في نظرية لامي، نحصل على ٣١ على جا ١٥٠ درجة يساوي ٣١ على جا ١٥٠ درجة، وهو ما يساوي ﻕ على جا ٦٠ درجة.

إذا نظرنا إلى الجزأين الثاني والثالث من المعادلة، يمكننا حساب قيمة ﻕ. نعلم أن جا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجا ١٥٠ درجة يساوي نصفًا. هذا يعني أن ﻕ على جذر ثلاثة على اثنين يساوي ٣١ على نصف. بضرب طرفي المعادلة في نصف، نحصل على ﻕ على جذر ثلاثة يساوي ٣١. بعد ذلك يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في جذر ثلاثة. وبهذا، ﻕ يساوي ٣١ جذر ثلاثة. نعلم من السؤال أن القوى مقيسة بالنيوتن. إذن، القوة ﻕ تساوي ٣١ جذر ثلاثة نيوتن.

في السؤال التالي، سيكون من المفيد رسم شكل توضيحي قبل تطبيق نظرية لامي.

ثقل يزن ٩٠ ثقل-جرام معلق بخيطين غير مرنين. الخيط الأول يميل بزاوية 𝜃 على الرأسي، والثاني يميل بزاوية ٣٠ درجة على الرأسي. إذا كان مقدار الشد في الخيط الأول ٤٥ ثقل-جرام، فأوجد 𝜃، ومقدار الشد ﺵ في الخيط الثاني.

سنبدأ هنا برسم شكل. نعلم من المعطيات أن وزنًا مقداره ٩٠ ثقل-جرام معلق بخيطين غير مرنين كما هو موضح. يميل الخيطان بزاوية 𝜃 و٣٠ درجة على الرأسي. مقدار الشد في الخيط الأول يساوي ٤٥ ثقل-جرام. وعلينا حساب مقدار الشد ﺵ في الخيط الثاني. بما أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين الشد ﺵ و٩٠ ثقل-جرام يساوي ١٥٠ درجة. وبالطريقة نفسها، الزاوية المحصورة بين الشد الذي مقداره ٤٥ ثقل-جرام و٩٠ ثقل-جرام تساوي ١٨٠ ناقص 𝜃 درجة.

بما أن لدينا ثلاث قوى مستوية متلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة تؤثر على جسم لتجعله في حالة اتزان إستاتيكي، يمكننا استخدام نظرية لامي. تنص هذه النظرية على أن ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽 يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة مقادير القوى، و𝛼 و𝛽 و𝛾 هي الزوايا المقابلة لها. في هذه المسألة، ستكون القوى الثلاث ﺵ و٩٠ و٤٥. وقياسات الزوايا تساوي ١٨٠ ناقص 𝜃 و𝜃 زائد ٣٠ و١٥٠. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على ﺵ على جا ١٨٠ ناقص 𝜃 يساوي ٩٠ على جا 𝜃 زائد ٣٠، وهو ما يساوي ٤٥ على جا ١٥٠.

لننظر إلى الجزأين الثاني والثالث من هذه المعادلة. جا ١٥٠ درجة يساوي نصفًا. إذن، تصبح المعادلة ٩٠ على جا 𝜃 زائد ٣٠ يساوي ٤٥ على نصف. ٤٥ مقسومًا على نصف يساوي ٩٠. ثم يمكننا ضرب كلا الطرفين في جا 𝜃 زائد ٣٠. وبقسمة طرفي هذه المعادلة الجديدة على ٩٠، نحصل على واحد يساوي جا 𝜃 زائد ٣٠. يمكننا بعد ذلك أخذ معكوس الجيب لكلا طرفي المعادلة. معكوس الجيب لواحد يساوي ٩٠ درجة. إذن، ٩٠ يساوي 𝜃 زائد ٣٠. بطرح ٣٠ من طرفي هذه المعادلة، نحصل على 𝜃 يساوي ٦٠. الجزء الأول من الإجابة هو 𝜃 يساوي ٦٠ درجة.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في المعادلة لتساعدنا في حساب قيمة ﺵ. باستخدام أول جزأين من المعادلة، نحصل على ﺵ على جا ١٢٠ درجة يساوي ٩٠ على جا ٩٠ درجة. جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا، ويمكننا ضرب الطرفين في جا ١٢٠ درجة. ‏ﺵ يساوي ٩٠ مضروبًا في جا ١٢٠ درجة. جا ١٢٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وبضرب هذا في ٩٠، نحصل على ﺵ يساوي ٤٥ جذر ثلاثة. وبهذا، فإن الشد في الخيط الثاني يساوي ٤٥ جذر ثلاثة ثقل-جرام. إذن، إجابتا هذا السؤال هما 𝜃 يساوي ٦٠ درجة، وﺵ يساوي ٤٥ جذر ثلاثة ثقل-جرام.

في السؤال الأخير، سنتناول مرة أخرى اتزان جسيم تحت تأثير ثلاث قوى.

جسم يزن ١٢ نيوتن معلق بأحد طرفي خيط خفيف غير مرن. الطرف الآخر من الخيط مثبت في حائط رأسي. القوة الأفقية ﻕ تجعل الجسم في حالة اتزان عندما يكون قياس الزاوية بين الحائط والخيط ٣٠ درجة. أوجد مقدار الشد ﺵ في الخيط، ومقدار القوة الأفقية ﻕ.

بما أن لدينا ثلاث قوى مستوية متلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة تؤثر على جسم لتجعله في حالة اتزان إستاتيكي، يمكننا استخدام نظرية لامي. تنص هذه النظرية على أن ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽، وهو ما يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة مقادير القوى، وهي الشد والقوة ﻕ والوزن ١٢ نيوتن. وتمثل 𝛼 و𝛽 و𝛾 الزوايا المناظرة لهذه القوى. نلاحظ من الشكل أن قياس الزاوية المحصورة بين القوة ﻕ والوزن يساوي ٩٠ درجة.

باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، نجد أن قوة الشد تميل فوق المستوى الأفقي بمقدار ٦٠ درجة. وهذا يعني أن قياس الزاوية المحصورة بين قوة الشد وقوة الوزن يساوي ١٥٠ درجة. نعلم أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي ٣٦٠ درجة. إذن، قياس الزاوية المحصورة بين قوة الشد والقوة ﻕ يساوي ١٢٠ درجة. بالتعويض بهذه القيم في نظرية لامي، نحصل على ﻕ على جا ١٥٠ درجة يساوي ﺵ على جا ٩٠ درجة، وهو ما يساوي ١٢ على جا ١٢٠ درجة.

جا ١٥٠ درجة يساوي نصفًا، وجا ٩٠ درجة يساوي واحدًا، وجا ١٢٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. هذا يعني أن الحد الأول يساوي ﻕ على نصف. ويبسط إلى اثنين ﻕ. الحد الثاني يساوي ﺵ على واحد، وهو ما يبسط إلى ﺵ. والحد الثالث يساوي ١٢ على جذر ثلاثة على اثنين. ويمكن تبسيط ذلك إلى ٢٤ على جذر ثلاثة.

يمكننا إنطاق المقام عن طريق ضرب بسط الكسر ومقامه في جذر ثلاثة. وهذا يعطينا ٢٤ جذر ثلاثة على ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثمانية جذر ثلاثة. اثنان ﻕ يساوي ﺵ، وهو ما يساوي ثمانية جذر ثلاثة. هذا يعني أن مقدار الشد في الخيط ﺵ يساوي ثمانية جذر ثلاثة نيوتن. وبما أن هذا يساوي اثنين ﻕ، فإن القوة الأفقية ﻕ تساوي نصف هذه القيمة. وعليه، ﻕ يساوي أربعة جذر ثلاثة نيوتن. إذن، لكي يظل الجسم في حالة اتزان، لا بد أن ﺵ يساوي ثمانية جذر ثلاثة نيوتن، وﻕ يساوي أربعة جذر ثلاثة نيوتن.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عند وجود ثلاث قوى مستوية متلاقية في نقطة وليست على استقامة واحدة تؤثر على جسم لتجعله في حالة اتزان إستاتيكي، يمكن عندئذ استخدام نظرية لامي. تنص هذه النظرية على أن ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽، الذي يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾، حيث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة هي مقادير القوى الثلاث؛ و𝛼 و𝛽 و𝛾 هي الزوايا المقابلة مباشرة لهذه القوى.