فيديو: المعادلات ذات الخطوة الواحدة: الجمع والطرح

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية كتابة معادلات الجمع والطرح ذات الخطوة الواحدة وحلها في الأسئلة التي تتضمن مسائل كلامية.

١٣:١٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية كتابة معادلات الجمع والطرح ذات الخطوة الواحدة وحلها، مع التركيز على خاصية الجمع والطرح عند التساوي. قبل البدء في كتابة المعادلات وحلها، دعونا نتذكر ما نعرفه عن المعادلة.

المعادلة هي عبارة رياضية توضح أن شيئًا ما يساوي شيئًا آخر. على سبيل المثال، يمكننا القول إن العدد خمسة يساوي العدد خمسة. إذا أخذنا هذا المكعب الذي يحتوي على موجب ثلاثة ووضعناه في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، على الفور سيصبح الميزان غير متزن. سيكون لدينا ثمانية على اليسار، وخمسة فقط على اليمين. لكن إذا وضعنا المكعب الذي يحتوي على موجب ثلاثة على اليمين أيضًا، يستعيد الميزان اتزانه من جديد؛ لأن كلا الكفتين يساوي ثمانية. هذا يوضح خاصية الجمع عند التساوي. إنها تعني أنه عند إضافة القيمة نفسها إلى كلا طرفي معادلة، يظل الطرفان متساويين. هذا ينطبق أيضًا على الطرح. فبالعودة إلى خمسة يساوي خمسة، إذا طرحنا ثلاثة من كلا طرفي المعادلة، فسنحصل على اثنين في كلا الطرفين، وستكون المعادلة متزنة. وعليه، يمكننا القول إننا إذا طرحنا القيمة نفسها من كلا طرفي المعادلة، يظل الطرفان متساويين.

دعونا نتناول خاصية أخرى: خاصية المعكوس الجمعي. هذه الخاصية تقول إن أي عدد يضاف إلى معكوسه سيساوي صفرًا. معكوس سالب ثلاثة هو موجب ثلاثة. هذا يعني أننا إذا أضفنا ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة، على الطرف الأيسر، سيكون لدينا خمسة زائد صفر، وهو ما يساوي في النهاية خمسة. والأمر نفسه سيحدث في الطرف الأيمن. خمسة زائد صفر يساوي خمسة. هذه الخواص الثلاث جميعها ستساعدنا في حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة.

لكن ما المقصود بعبارة «حل المعادلة»؟ إذا كان لدينا معادلة مثل هذه، ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة يساوي خمسة، لدينا قيمة مجهولة ممثلة بالمتغير ‪𝑥‬‏. ‏«حل المعادلة» يعني إيجاد القيمة المجهولة التي تجعل العبارة صحيحة. إذا كنا نتساءل عن العدد الذي إذا أضفنا إليه ثلاثة يساوي خمسة، فإننا نعرف أن اثنين زائد ثلاثة يساوي خمسة. وبالتالي، نقول إن ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. في هذه الحالة، العدد اثنان يسمى «حل المعادلة». إذن، حل المعادلة هو القيمة المجهولة التي تجعل العبارة صحيحة. وهذا يعني أن السؤال قد يطلب منك أن تحل المعادلة. أو قد يسألك: ما هو حل المعادلة؟

دعونا إذن نأخذ مثالًا.

إذا كان خمسة زائد ‪𝑛‬‏ يساوي سالب خمسة، فأوجد قيمة ‪𝑛‬‏.

لدينا المعادلة خمسة زائد ‪𝑛‬‏ يساوي سالب خمسة. هذا يعني أنه إذا أضفنا قيمة ما إلى خمسة، فسيكون الناتج سالب خمسة. لإيجاد قيمة ‪𝑛‬‏، علينا التفكير في خاصية المعكوس الجمعي. خاصية المعكوس الجمعي تقول إن ناتج جمع أي عدد ومعكوسه يساوي صفرًا. بما أن خمسة و‪𝑛‬‏ مجموعان معًا، فإذا طرحنا خمسة، فإن خمسة ناقص خمسة سيساوي صفرًا. لكننا نعرف أيضًا خاصية الطرح عند التساوي، وتقول إنه إذا طرحنا خمسة من أحد طرفي المعادلة، فعلينا أن نطرح خمسة من الطرف الآخر للمعادلة لتظل متزنة. إذا كان خمسة ناقص خمسة يساوي صفرًا، فعلى الطرف الأيسر من علامة التساوي، سيكون لدينا المتغير ‪𝑛‬‏ فقط. وعلى الطرف الأيمن، لدينا سالب خمسة ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب ‪10‬‏. وبذلك، نجد أن ‪𝑛‬‏ يساوي سالب ‪10‬‏.

إذا بدأنا بالعدد خمسة وأضفنا إليه سالب ‪10‬‏، فسنحصل على سالب خمسة. هذه طريقة رأسية لحل المسألة. نقوم بذلك بأن نكتب السطر التالي مباشرة أسفل السطر الذي فوقه. الطريقة الأخرى للقيام بذلك هي الطريقة الأفقية. نبدأ بخمسة زائد ‪𝑛‬‏ يساوي سالب خمسة. ولكن بعد ذلك في السطر التالي سنضيف سالب خمسة إلى المعادلة الأصلية في السطر نفسه. وبالتالي تصبح خمسة ناقص خمسة زائد ‪𝑛‬‏ يساوي سالب خمسة ناقص خمسة. كلتا الطريقتين توضح أن ‪𝑛‬‏ يساوي سالب ‪10‬‏.

إليك مثالًا آخر.

حل المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏: ‪𝑥‬‏ زائد ‪4.8‬‏ يساوي سالب ‪8.9‬‏.

هذه المعادلة تقول إنه عند إضافة ‪4.8‬‏ إلى قيمة ما، فهذا يساوي سالب ‪8.9‬‏. عندما نرى كلمة «حل» هنا، فهذا يعني أننا نريد معرفة قيمة ‪𝑥‬‏ التي تجعل هذه العبارة صحيحة. إذا كانت المعادلة تتضمن إضافة ‪4.8‬‏، فلحلها علينا إجراء العملية العكسية لإضافة ‪4.8‬‏. خاصية المعكوس الجمعي تقول إن ناتج جمع أي عدد ومعكوسه يساوي صفرًا. لكننا نعرف أيضًا أنه، وفقًا لخاصية الطرح عند التساوي، إذا طرحنا ‪4.8‬‏ من الطرف الأيسر للمعادلة، علينا أن نطرح ‪4.8‬‏ من الطرف الأيمن للمعادلة، للحفاظ على تساوي الطرفين. لدينا الآن في الطرف الأيسر ‪𝑥‬‏ زائد صفر. يمكننا كتابة ‪𝑥‬‏ فقط. بعد ذلك، لدينا سالب ‪8.9‬‏ ناقص ‪4.8‬‏، وهو ما يساوي سالب ‪13.7‬‏. إذا حسبنا ذلك بطريقة صحيحة، فإنه يمكننا التعويض عن ‪𝑥‬‏ بـ ‪13.7‬‏. وسنحصل على عبارة صحيحة.

علينا التأكد من أن سالب ‪13.7‬‏ زائد ‪4.8‬‏ يساوي سالب ‪8.9‬‏. إذا أردنا إضافة ‪4.8‬‏ إلى سالب ‪13.7‬‏، نطرح القيمتين أولًا، وهو ما يعطينا ‪8.9‬‏، ثم نضع إشارة العدد الأكبر. ‏‏‪13.7‬‏ كان عددًا سالبًا. إذن، إجابتنا النهائية ستكون سالبة. سالب ‪13.7‬‏ زائد ‪4.8‬‏ يساوي بالفعل سالب ‪8.9‬‏، وهذا يعني أن قيمة ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪13.7‬‏.

في المثال التالي، سيكون علينا أولًا كتابة المعادلة ثم حلها.

يلعب ويليام إحدى الألعاب اللوحية. تحرك من مربع البداية ‪10‬‏ مسافات للأمام. في دوره التالي، تحرك ست مسافات للخلف. كم عدد المسافات التي يبعدها الآن عن مربع البداية؟

إذن بدأ ويليام من مربع البداية وتحرك ‪10‬‏ مسافات للأمام. وفي دوره التالي، تحرك ست مسافات للخلف. نريد معرفة عدد المسافات التي يبعدها عن مربع البداية. للتعبير عن هذه القيمة المجهولة، يمكننا استخدام المتغير ‪𝑥‬‏. ما المعادلة التي يمكننا كتابتها لتمثيل هذا الموقف؟ يمكننا كتابتها بطرق مختلفة. أولًا، تحرك ويليام للأمام ‪10‬‏ مسافات. لذا، يمكننا أن نبدأ بموجب ‪10‬‏. بعد ذلك، رجع إلى الخلف ست مسافات. يمكننا التعبير عن ذلك رياضيًا بسالب ستة. إذا أخذت موجب ‪10‬‏ وطرحت منه ستة، فستحصل على ‪𝑥‬‏، أي عدد المسافات التي يبعدها عن مربع البداية. ‏‏‪10‬‏ ناقص ستة يساوي أربعة. وهذا يعني أن قيمة ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة.

الآن، بالطريقة التي كتبت بها المعادلة: أربعة يساوي ‪𝑥‬‏. لكن، لا بأس من إعادة ترتيبها لتصبح مألوفة أكثر: ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة. ‏‏‪10‬‏ ناقص ستة يساوي ‪𝑥‬‏ هي إحدى طرق تمثيل هذا الموقف باستخدام معادلة. كان يمكننا القول إن ‪𝑥‬‏، أي عدد المسافات التي يبعدها ويليام عن نقطة البداية، زائد المسافات الست التي رجعها للخلف، لا بد أن يساوي إجمالي المسافات الـ ‪10‬‏ التي تحركها إلى الأمام. إذا كان ‪𝑥‬‏ زائد ستة يساوي ‪10‬‏، فيمكننا حل المسألة بطرح ستة من كلا طرفي المعادلة. ‏‏‪𝑥‬‏ زائد ستة ناقص ستة يساوي ‪𝑥‬‏ زائد صفر، أي ‪𝑥‬‏، و‪10‬‏ ناقص ستة يساوي أربعة. توضح الطريقتان أن ويليام يبعد عن مربع البداية بمقدار أربع مسافات.

إليك مثالًا آخر لمسألة كلامية.

في عام ‪2016‬‏، حصلت كل من ولايتي جورجيا ومسيسيبي على إجمالي ‪21‬‏ صوتًا انتخابيًا. إذا حصلت ولاية مسيسيبي على ستة أصوات انتخابية، حل المعادلة ستة زائد ‪𝑔‬‏ يساوي ‪21‬‏ لإيجاد عدد الأصوات الانتخابية التي حصلت عليها ولاية جورجيا.

هنا، لدينا بالفعل معادلة: ستة زائد ‪𝑔‬‏ يساوي ‪21‬‏. وهدفنا هو الحل لإيجاد قيمة ‪𝑔‬‏. لإيجاد قيمة ‪𝑔‬‏، علينا وضع ‪𝑔‬‏ في طرف بمفرده. أي إن علينا عزل هذا المتغير ‪𝑔‬‏. للقيام بذلك، سنحتاج إلى استخدام خاصية المعكوس الجمعي التي تقول إن ناتج جمع أي قيمة ومعكوسها يساوي صفرًا. لجعل ‪𝑔‬‏ في طرف بمفرده، نريد التخلص من العدد ستة. ويمكننا فعل ذلك بطرح ستة. ستة ناقص ستة يساوي صفرًا. لكننا نعرف أيضًا أنه لكي يظل طرفا هذه المعادلة متساويين، فعلينا إذا طرحنا ستة من أحد الطرفين أن نطرح ستة من الطرف الآخر. في الطرف الأيسر، سنحصل على صفر زائد ‪𝑔‬‏. أو يمكننا كتابة ‪𝑔‬‏ فقط. وفي الطرف الأيمن، ‪21‬‏ ناقص ستة يساوي ‪15‬‏. وبذلك، نجد أن ‪𝑔‬‏ يساوي ‪15‬‏. من المفيد أن نتحقق من الناتج لنتأكد من صحته. هل ستة زائد ‪15‬‏ يساوي ‪21‬‏؟ نعم، هو كذلك. هذا يوضح لنا أن ‪𝑔‬‏ يساوي بالفعل ‪15‬‏. إذن، حصلت ولاية جورجيا على ‪15‬‏ صوتًا، بينما حصلت ولاية مسيسيبي على ستة أصوات.

سنتناول مثالًا أخيرًا.

بدأ غواص في الصعود إلى سطح الماء. صعد ‪20‬‏ مترًا ثم توقف من أجل تخفيف الضغط، بعد ذلك عليه الصعود ‪32‬‏ مترًا ليصل إلى سطح الماء. اكتب معادلة طرح وحلها لإيجاد العمق الأصلي الذي كان عنده الغواص قبل أن يبدأ في الصعود.

بدأ الغواص من عمق لا نعرفه. يمكننا أن نسميه ‪𝑥‬‏. نعلم أن الغواص صعد ‪20‬‏ مترًا، ولا يزال عليه أن يصعد ‪32‬‏ مترًا قبل أن يصل إلى السطح. نريد كتابة معادلة طرح وحلها لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، أي العمق الأصلي الذي كان عنده الغواص. إذا بدأنا بالمتغير ‪𝑥‬‏، سنقول إن الغواص موجود عند العمق ‪𝑥‬‏ متر، وصعد ‪20‬‏ مترًا. رياضيًا، علينا تمثيل هذه المسألة باستخدام الطرح؛ لأنه لم يعد عند العمق الذي كان عليه من قبل. فعلى الرغم من أنه يصعد لأعلى، فإنه يصبح على عمق أقل. إذن، المعادلة تتضمن العمق الأصلي ناقص الـ ‪20‬‏ مترًا التي صعدها. و‪𝑥‬‏ ناقص الـ ‪20‬‏ مترًا التي صعدها سيساوي الـ ‪32‬‏ مترًا المتبقية، وهو ما يعني أن إحدى المعادلات الممكنة هي: ‪𝑥‬‏ ناقص ‪20‬‏ يساوي ‪32‬‏.

لحل هذه المعادلة، نضيف ‪20‬‏ إلى كلا الطرفين. ‏‏‪32‬‏ زائد ‪20‬‏ يساوي ‪52‬‏. وبالتالي يمكننا القول إن العمق الأصلي الذي كان عنده الغواص يساوي ‪52‬‏ مترًا. لقد كتبنا مسألة طرح. وأوجدنا قيمة العمق المجهولة لنوضح أن العمق الذي بدأ منه الغواص قبل أن يبدأ في الصعود يساوي ‪52‬‏ مترًا.

سنفكر الآن في النقاط الأساسية اللازمة لحل المعادلات ذات الخطوة الواحدة باستخدام الجمع والطرح. حل المعادلات هو إيجاد قيمة أو قيم المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة. هذه القيم التي تجعل المعادلة صحيحة تسمى بالحلول. لحل المعادلات، نستخدم خاصية الجمع والطرح عند التساوي، وتقول إنه عند إضافة عدد ما أو طرحه من أحد طرفي المعادلة، علينا فعل الشيء نفسه في الطرف الآخر؛ لتظل المعادلة صحيحة. وأخيرًا، نعرف خاصية المعكوس الجمعي، وتقول إنه إذا أضفنا معكوس أي قيمة إلى تلك القيمة فالناتج صفر. باستخدام هذه النقاط الأساسية، يمكننا كتابة المعادلات ذات الخطوة الواحدة وحلها باستخدام الجمع والطرح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.