فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال السابع عشر

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال السابع عشر

٠٣:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد تكامل اتنين س ناقص جا س، الكل مقسوم على س تربيع زائد جتا س، بالنسبة لِـ س من سالب 𝜋 إلى 𝜋.

في البداية لو عايزين نوجد علاقة بين المقدار اللي في البسط والمقدار اللي في المقام. فلو هنرمز للمقدار اللي في المقام إنه بيمثّل الدالة د س، فَـ د س هتكون بتساوي س تربيع زائد جتا س. لو عايزين نوجد المشتقّة الأولى للدالة د س، فهتكون بتساوي مشتقّة س تربيع هتساوي اتنين س، ومشتقة جتا س هتساوي سالب جا س. وبالتالي المشتقَّة الأولى للدالة د س هتساوي اتنين س ناقص جا س.

هنلاحظ إن المشتقّة الأولى للدالة د س، هتمثّل المقدار اللي موجود في البسط. وده معناه إننا عندنا التكامل عبارة عن تكامل المشتقَّة الأولى للدالة د س، مقسوم على الدالة د س بالنسبة لِـ س من سالب 𝜋 إلى 𝜋. وعشان نقدر نوجد ناتج التكامل، فلو مثلًا افترضنا إن عندنا دالة أخرى، ولتكن الدالة ر س. فتكامل واحد على ر س مضروبة في المشتقَّة الأولى للدالة ر س بالنسبة لِـ س من أ إلى ب. هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للدالة ر س من أ إلى ب. وهنلاحظ إننا محتاجين نوجد نفس قيمة التكامل. وده معناه إن تكامل المشتقَّة الأولى للدالة د س على د س بالنسبة لِـ س من سالب 𝜋 إلى 𝜋، هتساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للدالة د س من سالب 𝜋 إلى 𝜋. يعني تكامل اتنين س ناقص جا س الكل مقسوم على س تربيع زائد جتا س بالنسبة لِـ س من سالب 𝜋 إلى 𝜋، هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلَقة لِـ د س. د س هو المقدار الموجود عندنا في البسط، اللي هو بيساوي س تربيع زائد جتا س من سالب 𝜋 إلى 𝜋.

يعني هيساوي … هنعوّض عن س بِـ 𝜋. فهيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ 𝜋 تربيع زائد جتا 𝜋. ناقص … هنعوّض عن س بسالب 𝜋. فهيكون عندنا اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لسالب 𝜋 تربيع زائد جتا سالب 𝜋. جتا 𝜋 هتساوي سالب واحد. يعني هيكون عندنا 𝜋 تربيع ناقص واحد. وسالب 𝜋 تربيع هتساوي 𝜋 تربيع. وَ جتا سالب 𝜋 هتساوي سالب واحد. يعني هيكون عندنا 𝜋 تربيع ناقص واحد. يعني الناتج هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ 𝜋 تربيع ناقص واحد، ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ 𝜋 تربيع ناقص واحد. يعني هيساوي صفر.

وبالتالي ناتج التكامل هيكون بيساوي صفر. يبقى كده قدرنا نوجد ناتج التكامل. ممكن نحصل على نفس ناتج التكامل باستخدام طريقة أخرى؛ إن لو كان عندنا مثلًا الدالة ق متَّصِلة وفردية على الفترة المغلقة من سالب أ إلى أ. فتكامل الدالة ق بالنسبة لِـ س من سالب أ إلى أ، لازم هيكون بيساوي صفر. ولو افترضنا إن المقدار اللي بداخل التكامل المعطى، اللي هو اتنين س ناقص جا س الكل مقسوم على س تربيع زائد جتا س، بيساوي ق س. وبما إننا محتاجين نوجِد تكامل المقدار من سالب 𝜋 إلى 𝜋، فهنلاحظ إن التكامل هيساوي صفر؛ عشان المقدار اللي هو ق س هتكون دالة فردية. ومعنى إنها تكون دالة فردية؛ يعني بتحقق إن ق سالب س بتساوي سالب ق س. وبالتالي لو عندنا دالة فردية وعايزين نوجد تكاملها من سالب أ إلى أ، فالتكامل هيكون بيساوي صفر.

يبقى قدرنا نوصل لنفس الناتج باستخدام طريقة أخرى. وناتج التكامل كان بيساوي صفر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.