فيديو السؤال: إيجاد مركز ثقل كتل منفصلة عند رءوس مثلث متساوي الأضلاع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل ثلاثة أوزان مرتبة بحيث تشكل مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ١٢ سنتيمترًا. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

بمعلومية أن طول كل من أضلاع المثلث يساوي ١٢ سنتيمترًا، يمكننا رسم هذه المسافات في الشكل. نريد إيجاد إحداثيات مركز جاذبية النظام. سنسمي هذين الإحداثيين ﺱﻡ وﺹﻡ، على الترتيب. مطلوب منا إيجاد إحداثيات مركز ثقل هذا الشكل. سنفترض وجود مجال جاذبية منتظم بحيث يساوي مركز الثقل مركز الكتلة.

باستخدام هذا الافتراض، يمكننا أن نتذكر العلاقة الخاصة بمركز كتلة الجسم. إذا كان الجسم مكونًا من مجموعة من الكتل المنفصلة، فإذا جمعنا حاصل ضرب كل كتلة من هذه الكتل في المسافة التي يبعدها عنصر الكتلة هذا عن محور الدوران ثم قسمنا هذا المجموع على مجموع كتل النظام كلها، فسيساوي هذا الكسر مركز الكتلة. مركز الكتلة هو ما سنحسبه لكل بعد في المسألة. في هذه الحالة، لدينا بعدان، وهما ﺱ وﺹ. إذن، سنحسب مركز الكتلة لكل من هذين البعدين.

يمكننا البدء بحساب مركز الثقل أو مركز الكتلة في الاتجاه ﺱ. بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أنه توجد ثلاث كتل إجمالًا تكون الجسم، ونطبق العلاقة الرياضية لحساب مركز الكتلة في بعد معين. عندما نحسب مركز الكتلة في الاتجاه ﺱ، سيكون محور الدوران الذي نفترضه هو المحور ﺹ. بالتالي، فإن كلًّا من المسافات التي نكتبها، ﺱﻥ في معادلة مركز الكتلة، هي المسافة بين كتلة معطاة والمحور ﺹ. يعني هذا أنه بالنسبة إلى الكتلة الأولى، التي تبلغ قيمتها ثمانية، لدينا مسافة تساوي صفرًا لأن هذه الكتلة تقع على المحور ﺹ. وفيما يتعلق بالكتلة الثانية، أو تلك التي قيمتها تسعة، لدينا مسافة تساوي ١٢ لأن هذا هو طول كل ضلع من أضلاع المثلث متساوي الأضلاع. وبما أن هذا المثلث متساوي أضلاع، فإن هذا يعني أن المسافة من محور الدوران حيث توجد الكتلة الثالثة تساوي ١٢ في جيب تمام زاوية قياسها ٦٠ درجة.

بذلك نكون قد حسبنا بسط صيغة مركز الكتلة. وبذلك نكون قد جمعنا حاصل ضرب كل عنصر من عناصر الكتلة في المسافة التي تبعدها هذه الكتلة عن محور الدوران. في مقام الكسر، نجمع كل كتلة بمفردها، ثمانية زائد تسعة زائد ١٣. بحساب هذه القيمة، ثمانية في صفر يساوي صفرًا. تسعة في ١٢ يساوي ١٠٨. و١٣ في ١٢ في جيب تمام الزاوية ٦٠ درجة يساوي ٧٨. وعليه، نبسط البسط إلى ١٨٦. الأعداد في المقام مجموعها ٣٠. وعند تبسيط هذا الكسر، نجد أنه يساوي ٣١ على خمسة. وذلك هو مركز ثقل الشكل في البعد ﺱ.

ننتقل الآن إلى إيجاد مركز الثقل في الاتجاه ﺹ. في هذه الحالة، سيكون محور الدوران هو المحور ﺱ. المسافة بين كل كتلة وهذا المحور هي ما سنستخدمه في حساب مركز الكتلة. عندما نكتب المسافة بين الكتلة الأولى ومحور الدوران، نجد أن هذه المسافة تساوي صفرًا. وبالمثل مع الكتلة الثانية التي تبلغ قيمتها تسعة، تساوي المسافة بين هذه الكتلة ومحور الدوران، أي المحور ﺱ، صفرًا أيضًا. والكتلة الثالثة تبعد بمسافة تساوي ١٢ في جيب زاوية قياسها ٦٠ درجة عن محور الدوران. في المقام، لدينا أيضًا مجموع الكتل الثلاث. بما أن جيب ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، فإن الكسر الكلي يبسط إلى ١٥٦ جذر ثلاثة على ٦٠. ويمكن تبسيط هذا الكسر نفسه إلى ١٣ في الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على خمسة. هذا إذن هو الإحداثي الكلي لمركز الثقل في البعد ﺹ.

إذن، مركز الثقل للشكل بأكمله يقع عند ٣١ على خمسة في الاتجاه ﺱ، و١٣ جذر ثلاثة على خمسة في الاتجاه ﺹ.