فيديو الدرس: صيغة أويلر للمتطابقات المثلثية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم صيغة أويلر لإثبات المتطابقات المثلثية؛ مثل ضعف الزاوية ونصف الزاوية.

١٦:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف استنتاج عدد من المتطابقات المثلثية باستخدام صيغة أويلر. من المحتمل أن تكون قد تعاملت كثيرًا بالفعل مع بعض المتطابقات المثلثية، لكنك قد لا تعرف كيف حصلنا عليها. لذا في هذا الدرس، سنتعرف العلاقة بين صيغة أويلر وصيغ ضعف الزاوية وصيغ إضافية لمضاعفات الزاوية وحاصل ضرب صيغ المجموع.

نبدأ بتذكر صيغة أويلر، التي تسمى أحيانًا علاقة أويلر. وتنص على أنه لأي عدد حقيقي ‪𝜃‬‏، يكون ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ مساويًا لـ ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. ‏‏‪𝑖‬‏ هنا هو الوحدة التخيلية ويمثل حلًا للمعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي سالب واحد ويلزم أن تكون ‪𝜃‬‏ عددًا حقيقيًا، معطاة بالراديان. كما نلاحظ، تقدم الصيغة علاقة قوية تربط بين التحليل المركب وحساب المثلثات. ولكنها تستخدم أيضًا في تطبيقات عديدة في الفيزياء والهندسة وميكانيكا الكم. في المثال الأول، سنرى كيف نستنتج متطابقة مثلثية شائعة الاستخدام بالنظر في خواص الدالة الأسية وصيغة أويلر.

‏‏‪(1)‬‏ استخدم صيغة أويلر للتعبير عن ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ بدلالة الجيب وجيب التمام. ‏‏‪(2)‬‏ إذا كان ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ يساوي واحدًا، فما المتطابقة المثلثية التي يمكن استنتاجها بفك الأسس بدلالة الدوال المثلثية؟

سنبدأ الجزء الأول بإعادة كتابة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏. وهو ما يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖‬‏ في سالب ‪𝜃‬‏. يمكننا الآن تطبيق صيغة أويلر. وحيث إن صيغة أويلر تنص على أن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏، نلاحظ أن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ يساوي ‪cos‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ سالب ‪𝜃‬‏. ومن ثم، يمكننا تذكر خواص دالتي جيب التمام والجيب. ‏ ‪cos‬‏ دالة زوجية. إذن، ‪cos‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏. ولكن ‪sin‬‏ دالة فردية. إذن، ‪sin‬‏ سالب ‪𝜃‬‏ يساوي سالب ‪sin 𝜃‬‏. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة المقدار. ونلاحظ أن ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ هو نفسه ‪cos 𝜃‬‏ ناقص ‪𝑖 sin 𝜃‬‏.

لنفكر الآن في الإجابة عن الجزء الثاني من هذا السؤال. سنستعين بالحل الذي حصلنا عليه في الجزء الأول. وبذلك، نلاحظ أن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ هو نفسه ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ في ‪cos 𝜃‬‏ ناقص ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. هيا نفك الأقواس، وقد نلاحظ أن هذا مقدار ناتج عن تحليل فرق بين مربعين. ‏ ‪cos 𝜃‬‏ في ‪cos 𝜃‬‏ يساوي ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. و‪cos 𝜃‬‏ في سالب ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ يساوي سالب ‪𝑖 cos 𝜃 sin 𝜃‬‏. ثم نحصل على زائد ‪𝑖 sin 𝜃 cos 𝜃‬‏؛ و‪𝑖 sin 𝜃‬‏ في سالب ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ يساوي سالب ‪𝑖‬‏ تربيع ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. ونجد بعد ذلك أن سالب ‪𝑖 cos 𝜃 sin 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 cos 𝜃 sin 𝜃‬‏ يساوي صفرًا. وبالتأكيد نعرف أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد.

لذا، يمكننا تبسيط ذلك قليلًا. نلاحظ أن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ يساوي ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. ونعلم أن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ يساوي واحدًا. بذلك، نلاحظ أننا استنتجنا الصيغة ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا. يمثل ذلك استنتاجًا موجزًا نوعًا ما للمتطابقة المثلثية ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا.

يمكننا القيام بإجراء مشابه ليساعدنا على استنتاج صيغ ضعف الزاوية. فلنر كيف سيبدو ذلك.

استخدم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ و‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪sin 𝜃‬‏ و‪cos 𝜃‬‏.

ثمة طريقتان بالفعل يمكننا استخدامهما لاستنتاج صيغتين لـ ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ و‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏. الطريقة الأولى هي أن نستخدم هذا المقدار، وهو ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏. نعلم أنه لا بد وأن يساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜙‬‏. سنطبق صيغة أويلر على كلا طرفي هذه المعادلة. في الطرف الأيسر، يمكننا أن نلاحظ أن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ في ‪cos 𝜙‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜙‬‏. سنفك القوسين في الطرف الأيمن. وبذلك، نحصل على المقدار الموضح. ولكن تذكر أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. ويمكننا التبسيط، ومن ثم نحصل على ‪cos 𝜃 cos 𝜙‬‏ ناقص ‪sin 𝜃 sin 𝜙‬‏ زائد ‪𝑖 cos 𝜃 sin 𝜙‬‏ زائد ‪𝑖 cos 𝜙 sin 𝜃‬‏.

خطوتنا التالية هي المساواة بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية في المعادلة. في الطرف الأيسر، الجزء الحقيقي هو ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏، وفي الطرف الأيمن ‪cos 𝜃 cos 𝜙‬‏ ناقص ‪sin 𝜃 sin 𝜙‬‏. وعليه، نلاحظ أن ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏ يساوي ‪cos 𝜃 cos 𝜙‬‏ ناقص ‪sin 𝜃 sin 𝜙‬‏. بعد ذلك، سنساوي الأطراف التخيلية. في الطرف الأيسر، لدينا ‪sin 𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا ‪cos 𝜃 sin 𝜙‬‏ زائد ‪cos 𝜙 sin 𝜃‬‏. ونلاحظ بعد ذلك أن ‪sin 𝜃‬‏ زائد ‪𝜙‬‏ يساوي ‪cos 𝜃 sin 𝜙‬‏ زائد ‪cos 𝜙 sin 𝜃‬‏.

الآن، هاتان الصيغتان مفيدتان في حد ذاتهما. ولكن ما بوسعنا فعله حقًا هو التعويض عن ‪𝜙‬‏ بـ ‪𝜃‬‏ ومن ثم نحصل على صيغتي ضعف الزاوية. في المتطابقة الأولى، نحصل على ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. وفي المتطابقة الثانية، نحصل على ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي اثنين ‪cos 𝜃 sin 𝜃‬‏. وتوجد طريقة بديلة كان من الممكن أن نستخدمها. إذ كان بإمكاننا هذه المرة الحصول مباشرة على صيغتي ضعف الزاوية باختيار المقدار ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑖𝜃‬‏ ثم كتابته بالصورة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ تربيع. عندما نطبق صيغة أويلر هذه المرة في الطرف الأيسر، نحصل على ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏. وفي الطرف الأيمن، نحصل على ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ الكل تربيع.

بفك القوس، نلاحظ أن الطرف الأيمن يصبح ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد اثنين ‪𝑖 cos 𝜃 sin 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖‬‏ تربيع ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. مرة أخرى، ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد. لذا، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن بالصورة ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد اثنين ‪𝑖 cos 𝜃 sin 𝜃‬‏. عندما نساوي الأجزاء الحقيقية هذه المرة، نلاحظ أن ‪cos‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. وعندما نساوي الأجزاء التخيلية، نلاحظ أن ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي اثنين ‪cos 𝜃 sin 𝜃‬‏.

ربما تكون قد لاحظت الآن عدم وجود اختلاف كبير بين الطريقتين. الطريقة الأخيرة مختصرة أكثر قليلًا. لكن ميزة الطريقة الأولى في استنتاج هاتين المتطابقتين الأخريين لجيب التمام والجيب. فضلًا عن أنها مفيدة لمعرفة أن بإمكاننا دمج نظرية ذات الحدين لاستنتاج صيغ مضاعفات الزاوية بدلالة الجيب وجيب التمام.

تنص نظرية ذات الحدين على أنه لأي قيم صحيحة لـ ‪𝑛‬‏، يمكننا كتابة ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏ بالصورة ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ زائد ‪𝑛‬‏ توافيق واحد ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد ‪𝑏‬‏. ويمكننا الاستمرار بهذا النمط بترتيب تنازلي لقوى ‪𝑎‬‏ وترتيب تصاعدي لقوى ‪𝑏‬‏ حتى نصل إلى ‪𝑏‬‏ أس ‪𝑛‬‏. في المثال التالي، سنستخدم نظرية ذات الحدين لمساعدتنا على إيجاد قيم مضاعفات الزاوية بدلالة قوى الدوال الهندسية.

‏‏‪(1)‬‏ استخدم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪cos 𝜃‬‏. ‏‏‪(2)‬‏ استخدم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ ‪sin‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪cos 𝜃‬‏ و‪sin 𝜃‬‏.

في الجزء الأول، سنستخدم خواص الدالة الأسية. وسنكتب ‪𝑒‬‏ أس أربعة ‪𝑖𝜃‬‏ بالصورة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ الكل أس أربعة. والآن يمكننا استخدام صيغة أويلر. ونكتب الطرف الأيسر بالصورة ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏. وفي الطرف الأيمن، يمكننا أن نقول إن ذلك يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ الكل أس أربعة. سنطبق الآن نظرية ذات الحدين لتوزيع ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس أربعة.

في معادلتنا، ‪𝑎‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ و‪𝑏‬‏ يساوي ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ و‪𝑛‬‏ هو القوة، وقيمته أربعة. ويعني ذلك أن ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ أس أربعة يساوي ‪cos 𝜃‬‏ أس أربعة زائد أربعة توافيق واحد ‪cos‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏ في ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ وهكذا. نعلم أن أربعة توافيق واحد يساوي أربعة وأربعة توافيق اثنين يساوي ستة وأربعة توافيق ثلاثة يساوي أربعة أيضًا. نعلم كذلك أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد و‪𝑖‬‏ تكعيب يساوي سالب ‪𝑖‬‏ و‪𝑖‬‏ أس أربعة يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة المعادلة كما هو موضح.

سوف نساوي الآن الأجزاء الحقيقية لهذه المعادلة. وبهذا نحصل على صيغة لـ ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪cos 𝜃‬‏ و‪sin 𝜃‬‏. دعونا نفرغ بعض المساحة. الجزء الحقيقي في الطرف الأيسر هو ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏. ثم، في الطرف الأيمن، لدينا ‪cos 𝜃‬‏ أس أربعة. وقد حصلنا على سالب ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃 sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. و‪sin 𝜃‬‏ أس أربعة. لذا، نساوي الطرفين. لكننا لم ننته تمامًا بعد. المطلوب هو استنتاج صيغة لـ ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪cos 𝜃‬‏ فقط.

لذا، سنستخدم هنا المتطابقة ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا. ونعيد ترتيب ذلك. فنقول إن ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يلزم أن يساوي واحدًا ناقص ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. ويمكننا إعادة كتابة ذلك بالصورة ‪cos 𝜃‬‏ أس أربعة ناقص ستة ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ في واحد ناقص ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد واحد ناقص ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ تربيع. نفك القوسين. وخطوتنا الأخيرة هي تجميع الحدود المتشابهة. نلاحظ أننا استنتجنا صيغة لـ ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪cos 𝜃‬‏. وهي ‪cos‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ يساوي ثمانية ‪cos 𝜃‬‏ أس أربعة ناقص ثمانية ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ زائد واحد.

في الجزء الثاني، يمكننا تكرار هذا الإجراء بمساواة الأجزاء التخيلية. وهي ‪sin‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ في الطرف الأيسر. وفي الطرف الأيمن، لدينا أربعة ‪cos‬‏ تكعيب ‪𝜃 sin 𝜃‬‏ وسالب أربعة ‪cos 𝜃 sin‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏. ونلاحظ أنه يلزم مساواة ‪sin‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ هذا مع أربعة ‪cos‬‏ تكعيب ‪𝜃 sin 𝜃‬‏ ناقص أربعة ‪cos 𝜃 sin‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏. ويمكننا، إن أردنا، أخذ أربعة ‪cos 𝜃 sin 𝜃‬‏ عاملًا مشتركًا. وسيتبقى لدينا أربعة ‪cos 𝜃 sin 𝜃‬‏ في ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. وأخيرًا، مطلوب استنتاج صيغة لـ ‪sin‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ بدلالة ‪cos 𝜃‬‏ و‪sin 𝜃‬‏. يمكنك الآن أن تلاحظ وجود علاقة بين ‪sin‬‏ أربعة ‪𝜃‬‏ وصيغتي ضعف الزاوية.

من التطبيقات المهمة على صيغة أويلر أنه بإمكاننا استخدامها في استنتاج تعبير لـ ‪sin 𝜃‬‏ و‪cos 𝜃‬‏ بدلالة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏. لقد لاحظنا بالفعل أنه يمكننا كتابة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ بالصورة ‪cos 𝜃‬‏ ناقص ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. وبما أن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏، فيمكننا أن نقول إن مجموع ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ و‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ يساوي ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ زائد ‪cos 𝜃‬‏ ناقص ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. يبسط هذا المقدار في الطرف الأيمن إلى اثنين ‪cos 𝜃‬‏. ويمكننا أن نجعل ‪cos 𝜃‬‏ وحده في الطرف الأيمن، وذلك بقسمة الطرفين على اثنين. ونلاحظ أننا حصلنا على تعبير لـ ‪cos 𝜃‬‏ بدلالة قوى ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏. وهو نصف ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏.

وبالمثل، يمكننا إيجاد الفرق بينهما. ونحصل على ‪cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏ ناقص ‪cos 𝜃‬‏ ناقص ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. يبسط ذلك إلى اثنين ‪𝑖 sin 𝜃‬‏. نقسم هذه المرة الطرفين على اثنين ‪𝑖‬‏. ويمكننا ملاحظة أن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي واحدًا على اثنين ‪𝑖‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏. ولهاتين الصيغتين تطبيقات عديدة في حد ذاتهما. ولكن لأغراض هذا الفيديو، سنلقي نظرة على مثال واحد أخير. وسنرى كيف يمكن استخدامهما لاستنتاج متطابقات مثلثية أخرى.

استخدم صيغة أويلر للتعبير عن ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃 cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ بالصورة ‪𝑎 sin 𝜃‬‏ زائد ‪𝑏 sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ زائد ‪𝑐 sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏ ثوابت مطلوب إيجادها. بعد ذلك، أوجد الحلول لـ ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا على الفترة ‪𝜃‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من ‪𝜋‬‏. أعط إجابتك في صورة دقيقة.

نبدأ بتذكر حقيقة أن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي واحدًا على اثنين ‪𝑖‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏. و‪cos 𝜃‬‏ يساوي نصفًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏. يعني ذلك أن بإمكاننا إيجاد حاصل ضرب ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃‬‏ في ‪cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. ويمكننا كتابته بالصورة واحد على اثنين ‪𝑖‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ تكعيب في نصف في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ تربيع. واحد على اثنين ‪𝑖‬‏ تكعيب يساوي سالب واحد على ثمانية ‪𝑖‬‏. ونصف تربيع يساوي ربعًا. إذن، يمكننا إعادة كتابة المقدار بصورة أبسط قليلًا. نوجد حاصل ضرب سالب واحد على ثمانية ‪𝑖‬‏ وربع. فنحصل على سالب واحد على ‪32𝑖‬‏. ويمكننا إعادة كتابة باقي المقدار كما هو موضح.

سنستخدم الآن نظرية ذات الحدين لفك ما بداخل هذين القوسين. يصبح القوس الأول ‪𝑒‬‏ أس ثلاثة ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ثلاثة توافيق واحد ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑖𝜃‬‏ في سالب ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ وهكذا. ويبسط ذلك إلى ‪𝑒‬‏ أس ثلاثة ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ثلاثة ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ثلاثة ‪𝑖𝜃‬‏. هيا نكرر هذا الإجراء مع ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ تربيع. ومن ثم، نحصل على ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑖𝜃‬‏ زائد اثنين ‪𝑒‬‏ أس صفر، وهو ما يساوي اثنين فقط، زائد ‪𝑒‬‏ أس سالب اثنين ‪𝑖𝜃‬‏.

سيكون علينا أن نوجد حاصل ضرب هذين المقدارين. وعلينا الانتباه عند إيجاد ذلك. كذلك يلزم أن نتأكد من أن كل حد في المقدار الأول مضروب في كل حد في المقدار الثاني. ويمكننا كتابة ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃 cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ كما هو موضح. ثمة الكثير مما يجرى هنا. لذا، ربما تود إيقاف الفيديو ومراجعة إجابتك مرة أخرى مقارنة بإجابتي. سنجمع قوى ‪𝑒‬‏ المتناظرة معًا.

سنجمع ‪𝑒‬‏ أس خمسة ‪𝑖𝜃‬‏ مع ‪𝑒‬‏ أس سالب خمسة ‪𝑖𝜃‬‏. وسنجمع ‪𝑒‬‏ أس موجب وسالب ثلاثة ‪𝑖𝜃‬‏ معًا. سنجمع أيضًا ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ مع ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏. هيا نرتب ذلك بعض الشيء. سيصبح لدينا سالب واحد على ‪32𝑖‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس خمسة ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب خمسة ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس ثلاثة ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ثلاثة ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص اثنين في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏. ويمكنك الآن تحديد سبب اختيارنا أن نفعل ذلك. يمكننا الآن العودة إلى الصيغ المعطاة. دعونا نفرغ بعض المساحة للخطوة التالية.

يمكننا التجميع بعض الشيء. ويمكننا إعادة كتابة ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃 cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ كما هو موضح. ومن ثم، يمكننا التعويض عن ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس سالب ‪𝑖𝜃‬‏ بـ ‪sin 𝜃‬‏ وهكذا. ويمكننا أن نلاحظ أن ‪sin‬‏ تكعيب ‪𝜃 cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا على ‪16‬‏ في اثنين ‪sin 𝜃‬‏ زائد ‪sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏. حيث إن ‪𝑎‬‏ و‪‏𝑏‏‬‏ و‪𝑐‬‏ ثوابت مطلوب إيجادها، يمكننا أن نقول إن ‪𝑎‬‏، معامل ‪sin 𝜃‬‏، يساوي ثمنًا. و‪𝑏‬‏، معامل ‪sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏، يساوي واحدًا على ‪16‬‏. و‪𝑐‬‏، معامل ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏، يساوي سالب واحد على ‪16‬‏.

لنفكر الآن في الإجابة عن الجزء الثاني من هذا السؤال. نبدأ بالاستعانة بإجابة الجزء الأول ونضرب الطرفين في ‪16‬‏. ثم نطرح اثنين ‪sin 𝜃‬‏ من الطرفين ونضرب في سالب واحد. ويمكننا أن نلاحظ أننا نحصل على معادلة لـ ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏. نعلم أن ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا. لذا، سنجعل اثنين ‪sin 𝜃‬‏ ناقص ‪16 sin‬‏ تكعيب ‪𝜃 cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا. ثم، نأخذ اثنين ‪sin 𝜃‬‏ عاملًا مشتركًا. وبما أن حاصل ضرب هذين الحدين يساوي صفرًا، يعني ذلك أن أحد هذين الحدين يجب أن يساوي صفرًا. إذن، إما اثنان ‪sin 𝜃‬‏ يساوي صفرًا، وبالقسمة على اثنين يمكننا ملاحظة أن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي صفرًا، وإما واحد ناقص ثمانية ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃 cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا. وحيث إن فترة ‪𝜃‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من ‪𝜋‬‏، يمكننا ملاحظة أن أحد الحلول يكون عند ‪𝜃‬‏ تساوي صفرًا.

سنعيد نوعًا ما كتابة المعادلات الأخرى. نعلم أن ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي اثنين ‪sin 𝜃 cos 𝜃‬‏. بتربيع ذلك، نحصل على ‪sin‬‏ تربيع اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي أربعة ‪sin‬‏ تربيع ‪𝜃 cos‬‏ تربيع ‪𝜃‬‏. وذلك بدوره يعني أن المعادلة ستكون واحد ناقص اثنين ‪sin‬‏ تربيع اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا. نعيد الترتيب كي نجعل ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ في طرف بمفرده، فنلاحظ أن ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي موجب أو سالب واحد على جذر اثنين. نبدأ بالجذر التربيعي الموجب لـ ‪𝜃‬‏ في الفترة المحددة، نعلم أن ‪sin‬‏ اثنين ‪𝜃‬‏ يساوي واحدًا على جذر اثنين عند ‪𝜃‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على ثمانية أو ثلاثة ‪𝜋‬‏ على ثمانية. بالمثل، يمكننا الحل لإيجاد الجذر التربيعي السالب. فنحصل على خمسة ‪𝜋‬‏ على ثمانية وسبعة ‪𝜋‬‏ على ثمانية. إذن، توجد خمسة حلول للمعادلة ‪sin‬‏ خمسة ‪𝜃‬‏ ناقص ‪sin‬‏ ثلاثة ‪𝜃‬‏ يساوي صفرًا على الفترة ‪𝜃‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من ‪𝜋‬‏. وهي صفر، و‪𝜋‬‏ على ثمانية، وثلاثة ‪𝜋‬‏ على ثمانية، وخمسة ‪𝜋‬‏ على ثمانية، وسبعة ‪𝜋‬‏ على ثمانية.

في هذا الفيديو، رأينا أنه بإمكاننا استخدام صيغة أويلر مع خواص الدوال الأسية. كذلك، يمكننا استنتاج العديد من المتطابقات المثلثية مثل متطابقة فيثاغورث وصيغ مضاعفات الزاوية. رأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام النظرية للتعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الدالة الأسية المركبة كما هو موضح. كذلك، رأينا أنه يمكننا استخدام المتطابقات المستنتجة من صيغة أويلر لمساعدتنا على تبسيط المقادير. ويمكن أن يساعدنا كل ذلك بدوره في حل المعادلات المثلثية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.