فيديو الدرس: صيغة أويلر للمتطابقات المثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف استنتاج عدد من المتطابقات المثلثية باستخدام صيغة أويلر. من المحتمل أن تكون قد تعاملت كثيرًا بالفعل مع بعض المتطابقات المثلثية، لكنك قد لا تعرف كيف حصلنا عليها. لذا في هذا الدرس، سنتعرف العلاقة بين صيغة أويلر وصيغ ضعف الزاوية وصيغ إضافية لمضاعفات الزاوية وحاصل ضرب صيغ المجموع.

نبدأ بتذكر صيغة أويلر، التي تسمى أحيانًا علاقة أويلر. وتنص على أنه لأي عدد حقيقي 𝜃، يكون ﻫ أس ﺕ𝜃 مساويًا لـ جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃. ‏ﺕ هنا هو الوحدة التخيلية ويمثل حلًّا للمعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد ويلزم أن تكون 𝜃 عددًا حقيقيًّا، معطاة بالراديان. كما نلاحظ، تقدم الصيغة علاقة قوية تربط بين التحليل المركب وحساب المثلثات. ولكنها تستخدم أيضًا في تطبيقات عديدة في الفيزياء والهندسة وميكانيكا الكم. في المثال الأول، سنرى كيف نستنتج متطابقة مثلثية شائعة الاستخدام بالنظر في خواص الدالة الأسية وصيغة أويلر.

‏(١) استخدم صيغة أويلر للتعبير عن ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 بدلالة الجيب وجيب التمام. ‏(٢) إذا كان ﻫ أس ﺕ𝜃 في ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 يساوي واحدًا، فما المتطابقة المثلثية التي يمكن استنتاجها بفك الأسس بدلالة الدوال المثلثية؟

سنبدأ الجزء الأول بإعادة كتابة ﻫ أس سالب ﺕ𝜃. وهو ما يساوي ﻫ أس ﺕ في سالب 𝜃. يمكننا الآن تطبيق صيغة أويلر. وحيث إن صيغة أويلر تنص على أن ﻫ أس ﺕ𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، نلاحظ أن ﻫ أس ﺕ سالب 𝜃 يساوي جتا سالب 𝜃 زائد ﺕ جا سالب 𝜃. ومن ثم، يمكننا تذكر خواص دالتي جيب التمام والجيب. ‏جتا دالة زوجية. إذن، جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃. ولكن جا دالة فردية. إذن، جا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة المقدار. ونلاحظ أن ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 هو نفسه جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃.

لنفكر الآن في الإجابة عن الجزء الثاني من هذا السؤال. سنستعين بالحل الذي حصلنا عليه في الجزء الأول. وبذلك، نلاحظ أن ﻫ أس ﺕ𝜃 في ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 هو نفسه جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 في جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃. هيا نفك الأقواس، وقد نلاحظ أن هذا مقدار ناتج عن تحليل فرق بين مربعين. ‏جتا 𝜃 في جتا 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃. وجتا 𝜃 في سالب ﺕ جا 𝜃 يساوي سالب ﺕ جتا 𝜃 جا 𝜃. ثم نحصل على زائد ﺕ جا 𝜃 جتا 𝜃؛ وﺕ جا 𝜃 في سالب ﺕ جا 𝜃 يساوي سالب ﺕ تربيع جا تربيع 𝜃. ونجد بعد ذلك أن سالب ﺕ جتا 𝜃 جا 𝜃 زائد ﺕ جتا 𝜃 جا 𝜃 يساوي صفرًا. وبالتأكيد نعرف أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد.

لذا، يمكننا تبسيط ذلك قليلًا. نلاحظ أن ﻫ أس ﺕ𝜃 في ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃. ونعلم أن ﻫ أس ﺕ𝜃 في ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 يساوي واحدًا. بذلك، نلاحظ أننا استنتجنا الصيغة جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. يمثل ذلك استنتاجًا موجزًا نوعًا ما للمتطابقة المثلثية جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا.

يمكننا القيام بإجراء مشابه ليساعدنا على استنتاج صيغ ضعف الزاوية. فلنر كيف سيبدو ذلك.

استخدم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ جتا اثنين 𝜃 وجا اثنين 𝜃 بدلالة جا 𝜃 وجتا 𝜃.

ثمة طريقتان بالفعل يمكننا استخدامهما لاستنتاج صيغتين لـ جتا اثنين 𝜃 وجا اثنين 𝜃. الطريقة الأولى هي أن نستخدم هذا المقدار، وهو ﻫ أس ﺕ𝜃 زائد 𝜙. نعلم أنه لا بد وأن يساوي ﻫ أس ﺕ𝜃 في ﻫ أس ﺕ𝜙. سنطبق صيغة أويلر على كلا طرفي هذه المعادلة. في الطرف الأيمن، يمكننا أن نلاحظ أن ﻫ أس ﺕ𝜃 زائد 𝜙 يساوي جتا 𝜃 زائد 𝜙 زائد ﺕ جا 𝜃 زائد 𝜙. وفي الطرف الأيسر، لدينا جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 في جتا 𝜙 زائد ﺕ جا 𝜙. سنفك القوسين في الطرف الأيمن. وبذلك، نحصل على المقدار الموضح. ولكن تذكر أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. ويمكننا التبسيط، ومن ثم نحصل على جتا 𝜃 جتا 𝜙 ناقص جا 𝜃 جا 𝜙 زائد ﺕ جتا 𝜃 جا 𝜙 زائد ﺕ جتا 𝜙 جا 𝜃.

خطوتنا التالية هي المساواة بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية في المعادلة. في الطرف الأيمن، الجزء الحقيقي هو جتا 𝜃 زائد 𝜙، وفي الطرف الأيمن جتا 𝜃 جتا 𝜙 ناقص جا 𝜃 جا 𝜙. وعليه، نلاحظ أن جتا 𝜃 زائد 𝜙 يساوي جتا 𝜃 جتا 𝜙 ناقص جا 𝜃 جا 𝜙. بعد ذلك، سنساوي الأطراف التخيلية. في الطرف الأيمن، لدينا جا 𝜃 زائد 𝜙. وفي الطرف الأيسر، لدينا جتا 𝜃 جا 𝜙 زائد جتا 𝜙 جا 𝜃. ونلاحظ بعد ذلك أن جا 𝜃 زائد 𝜙 يساوي جتا 𝜃 جا 𝜙 زائد جتا 𝜙 جا 𝜃.

الآن، هاتان الصيغتان مفيدتان في حد ذاتهما. ولكن ما بوسعنا فعله حقًّا هو التعويض عن 𝜙 بـ 𝜃 ومن ثم نحصل على صيغتي ضعف الزاوية. في المتطابقة الأولى، نحصل على جتا اثنين 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃. وفي المتطابقة الثانية، نحصل على جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جتا 𝜃 جا 𝜃. وتوجد طريقة بديلة كان من الممكن أن نستخدمها. إذ كان بإمكاننا هذه المرة الحصول مباشرة على صيغتي ضعف الزاوية باختيار المقدار ﻫ أس اثنين ﺕ𝜃 ثم كتابته بالصورة ﻫ أس ﺕ𝜃 تربيع. عندما نطبق صيغة أويلر هذه المرة في الطرف الأيمن، نحصل على جتا اثنين 𝜃 زائد ﺕ جا اثنين 𝜃. وفي الطرف الأيسر، نحصل على جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل تربيع.

بفك القوس، نلاحظ أن الطرف الأيسر يصبح جتا تربيع 𝜃 زائد اثنين ﺕ جتا 𝜃 جا 𝜃 زائد ﺕ تربيع جا تربيع 𝜃. مرة أخرى، ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. لذا، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر بالصورة جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃 زائد اثنين ﺕ جتا 𝜃 جا 𝜃. عندما نساوي الأجزاء الحقيقية هذه المرة، نلاحظ أن جتا اثنين 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃. وعندما نساوي الأجزاء التخيلية، نلاحظ أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جتا 𝜃 جا 𝜃.

ربما تكون قد لاحظت الآن عدم وجود اختلاف كبير بين الطريقتين. الطريقة الأخيرة مختصرة أكثر قليلًا. لكن ميزة الطريقة الأولى في استنتاج هاتين المتطابقتين الأخريين لجيب التمام والجيب. فضلًا عن أنها مفيدة لمعرفة أن بإمكاننا دمج نظرية ذات الحدين لاستنتاج صيغ مضاعفات الزاوية بدلالة الجيب وجيب التمام.

تنص نظرية ذات الحدين على أنه لأي قيم صحيحة لـ ﻥ، يمكننا كتابة ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ بالصورة ﺃ أس ﻥ زائد ﻥ توافيق واحد ﺃ أس ﻥ ناقص واحد ﺏ. ويمكننا الاستمرار بهذا النمط بترتيب تنازلي لقوى ﺃ وترتيب تصاعدي لقوى ﺏ حتى نصل إلى ﺏ أس ﻥ. في المثال التالي، سنستخدم نظرية ذات الحدين لمساعدتنا على إيجاد قيم مضاعفات الزاوية بدلالة قوى الدوال الهندسية.

‏(١) استخدم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ جتا أربعة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃. ‏(٢) استخدم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ جا أربعة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃 وجا 𝜃.

في الجزء الأول، سنستخدم خواص الدالة الأسية. وسنكتب ﻫ أس أربعة ﺕ𝜃 بالصورة ﻫ أس ﺕ𝜃 الكل أس أربعة. والآن يمكننا استخدام صيغة أويلر. ونكتب الطرف الأيسر بالصورة جتا أربعة 𝜃 زائد ﺕ جا أربعة 𝜃. وفي الطرف الأيمن، يمكننا أن نقول إن ذلك يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس أربعة. سنطبق الآن نظرية ذات الحدين لتوزيع جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس أربعة.

في معادلتنا، ﺃ يساوي جتا 𝜃 وﺏ يساوي ﺕ جا 𝜃 وﻥ هو القوة، وقيمته أربعة. ويعني ذلك أن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 أس أربعة يساوي جتا 𝜃 أس أربعة زائد أربعة توافيق واحد جتا تكعيب 𝜃 في ﺕ جا 𝜃 وهكذا. نعلم أن أربعة توافيق واحد يساوي أربعة وأربعة توافيق اثنين يساوي ستة وأربعة توافيق ثلاثة يساوي أربعة أيضًا. نعلم كذلك أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد وﺕ تكعيب يساوي سالب ﺕ وﺕ أس أربعة يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة المعادلة كما هو موضح.

سوف نساوي الآن الأجزاء الحقيقية لهذه المعادلة. وبهذا نحصل على صيغة لـ جتا أربعة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃 وجا 𝜃. دعونا نفرغ بعض المساحة. الجزء الحقيقي في الطرف الأيمن هو جتا أربعة 𝜃. ثم، في الطرف الأيسر لدينا جتا 𝜃 أس أربعة. وقد حصلنا على سالب جتا تربيع 𝜃 جا تربيع 𝜃. وجا 𝜃 أس أربعة. لذا، نساوي الطرفين. لكننا لم ننته تمامًا بعد. المطلوب هو استنتاج صيغة لـ جتا أربعة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃 فقط.

لذا، سنستخدم هنا المتطابقة جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. ونعيد ترتيب ذلك. فنقول إن جا تربيع 𝜃 يلزم أن يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃. ويمكننا إعادة كتابة ذلك بالصورة جتا 𝜃 أس أربعة ناقص ستة جتا تربيع 𝜃 في واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 زائد واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 تربيع. نفك القوسين. وخطوتنا الأخيرة هي تجميع الحدود المتشابهة. نلاحظ أننا استنتجنا صيغة لـ جتا أربعة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃. وهي جتا أربعة 𝜃 يساوي ثمانية جتا 𝜃 أس أربعة ناقص ثمانية جتا تربيع 𝜃 زائد واحد.

في الجزء الثاني، يمكننا تكرار هذا الإجراء بمساواة الأجزاء التخيلية. وهي جا أربعة 𝜃 في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، لدينا أربعة جتا تكعيب 𝜃 جا 𝜃 وسالب أربعة جتا 𝜃 جا تكعيب 𝜃. ونلاحظ أنه يلزم مساواة جا أربعة 𝜃 هذا مع أربعة جتا تكعيب 𝜃 جا 𝜃 ناقص أربعة جتا 𝜃 جا تكعيب 𝜃. ويمكننا، إن أردنا، أخذ أربعة جتا 𝜃 جا 𝜃 عاملًا مشتركًا. وسيتبقى لدينا أربعة جتا 𝜃 جا 𝜃 في جتا تربيع 𝜃 ناقص جا تربيع 𝜃. وأخيرًا، مطلوب استنتاج صيغة لـ جا أربعة 𝜃 بدلالة جتا 𝜃 وجا 𝜃. يمكنك الآن أن تلاحظ وجود علاقة بين جا أربعة 𝜃 وصيغتي ضعف الزاوية.

من التطبيقات المهمة على صيغة أويلر أنه بإمكاننا استخدامها في استنتاج تعبير لـ جا 𝜃 وجتا 𝜃 بدلالة ﻫ أس ﺕ𝜃. لقد لاحظنا بالفعل أنه يمكننا كتابة ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 بالصورة جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃. وبما أن ﻫ أس ﺕ𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، فيمكننا أن نقول إن مجموع ﻫ أس ﺕ𝜃 وﻫ أس سالب ﺕ𝜃 يساوي جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃. يبسط هذا المقدار في الطرف الأيسر إلى اثنين جتا 𝜃. ويمكننا أن نجعل جتا 𝜃 وحده في الطرف الأيسر، وذلك بقسمة الطرفين على اثنين. ونلاحظ أننا حصلنا على تعبير لـ جتا 𝜃 بدلالة قوى ﻫ أس ﺕ𝜃. وهو نصف ﻫ أس ﺕ𝜃 زائد ﻫ أس سالب ﺕ𝜃.

وبالمثل، يمكننا إيجاد الفرق بينهما. ونحصل على جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 ناقص جتا 𝜃 ناقص ﺕ جا 𝜃. يبسط ذلك إلى اثنين ﺕ جا 𝜃. نقسم هذه المرة الطرفين على اثنين ﺕ. ويمكننا ملاحظة أن جا 𝜃 يساوي واحدًا على اثنين ﺕ في ﻫ أس ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ﺕ𝜃. ولهاتين الصيغتين تطبيقات عديدة في حد ذاتهما. ولكن لأغراض هذا الفيديو، سنلقي نظرة على مثال واحد أخير. وسنرى كيف يمكن استخدامهما لاستنتاج متطابقات مثلثية أخرى.

استخدم صيغة أويلر للتعبير عن جا تكعيب 𝜃 جتا تربيع 𝜃 بالصورة ﺃ جا 𝜃 زائد ﺏ جا ثلاثة 𝜃 زائد 𝑐 جا خمسة 𝜃، حيث ﺃ وﺏ و𝑐 ثوابت مطلوب إيجادها. بعد ذلك، أوجد الحلول لـ جا خمسة 𝜃 ناقص جا ثلاثة 𝜃 يساوي صفرًا على الفترة 𝜃 أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من 𝜋. أعط إجابتك في صورة دقيقة.

نبدأ بتذكر حقيقة أن جا 𝜃 يساوي واحدًا على اثنين ﺕ في ﻫ أس ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ﺕ𝜃. وجتا 𝜃 يساوي نصفًا في ﻫ أس ﺕ𝜃 زائد ﻫ أس سالب ﺕ𝜃. يعني ذلك أن بإمكاننا إيجاد حاصل ضرب جا تكعيب 𝜃 في جتا تربيع 𝜃. ويمكننا كتابته بالصورة واحد على اثنين ﺕ في ﻫ أس ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 تكعيب في نصف في ﻫ أس ﺕ𝜃 زائد ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 تربيع. واحد على اثنين ﺕ تكعيب يساوي سالب واحد على ثمانية ﺕ. ونصف تربيع يساوي ربعًا. إذن، يمكننا إعادة كتابة المقدار بصورة أبسط قليلًا. نوجد حاصل ضرب سالب واحد على ثمانية ﺕ وربع. فنحصل على سالب واحد على ٣٢ﺕ. ويمكننا إعادة كتابة باقي المقدار كما هو موضح.

سنستخدم الآن نظرية ذات الحدين لفك ما بداخل هذين القوسين. يصبح القوس الأول ﻫ أس ثلاثة ﺕ𝜃 زائد ثلاثة توافيق واحد ﻫ أس اثنين ﺕ𝜃 في سالب ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 وهكذا. ويبسط ذلك إلى ﻫ أس ثلاثة ﺕ𝜃 ناقص ثلاثة ﻫ أس ﺕ𝜃 زائد ثلاثة ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ثلاثة ﺕ𝜃. هيا نكرر هذا الإجراء مع ﻫ أس ﺕ𝜃 زائد ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 تربيع. ومن ثم، نحصل على ﻫ أس اثنين ﺕ𝜃 زائد اثنين ﻫ أس صفر، وهو ما يساوي اثنين فقط، زائد ﻫ أس سالب اثنين ﺕ𝜃.

سيكون علينا أن نوجد حاصل ضرب هذين المقدارين. وعلينا الانتباه عند إيجاد ذلك. كذلك يلزم أن نتأكد من أن كل حد في المقدار الأول مضروب في كل حد في المقدار الثاني. ويمكننا كتابة جا تكعيب 𝜃 جتا تربيع 𝜃 كما هو موضح. ثمة الكثير مما يجرى هنا. لذا، ربما تود إيقاف الفيديو ومراجعة إجابتك مرة أخرى مقارنة بإجابتي. سنجمع قوى ﻫ المتناظرة معًا.

سنجمع ﻫ أس خمسة ﺕ𝜃 مع ﻫ أس سالب خمسة ﺕ𝜃. وسنجمع ﻫ أس موجب وسالب ثلاثة ﺕ𝜃 معًا. سنجمع أيضًا ﻫ أس ﺕ𝜃 مع ﻫ أس سالب ﺕ𝜃. هيا نرتب ذلك بعض الشيء. سيصبح لدينا سالب واحد على ٣٢ﺕ في ﻫ أس خمسة ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب خمسة ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس ثلاثة ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ثلاثة ﺕ𝜃 ناقص اثنين في ﻫ أس ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ﺕ𝜃. ويمكنك الآن تحديد سبب اختيارنا أن نفعل ذلك. يمكننا الآن العودة إلى الصيغ المعطاة. دعونا نفرغ بعض المساحة للخطوة التالية.

يمكننا التجميع بعض الشيء. ويمكننا إعادة كتابة جا تكعيب 𝜃 جتا تربيع 𝜃 كما هو موضح. ومن ثم، يمكننا التعويض عن ﻫ أس ﺕ𝜃 ناقص ﻫ أس سالب ﺕ𝜃 بـ جا 𝜃 وهكذا. ويمكننا أن نلاحظ أن جا تكعيب 𝜃 جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا على ١٦ في اثنين جا 𝜃 زائد جا ثلاثة 𝜃 ناقص جا خمسة 𝜃. حيث إن ﺃ و‏ﺏ‏ و𝑐 ثوابت مطلوب إيجادها، يمكننا أن نقول إن ﺃ، معامل جا 𝜃، يساوي ثمنًا. وﺏ، معامل جا ثلاثة 𝜃، يساوي واحدًا على ١٦. و𝑐، معامل جا خمسة 𝜃، يساوي سالب واحد على ١٦.

لنفكر الآن في الإجابة عن الجزء الثاني من هذا السؤال. نبدأ بالاستعانة بإجابة الجزء الأول ونضرب الطرفين في ١٦. ثم نطرح اثنين جا 𝜃 من الطرفين ونضرب في سالب واحد. ويمكننا أن نلاحظ أننا نحصل على معادلة لـ جا خمسة 𝜃 ناقص جا ثلاثة 𝜃. نعلم أن جا خمسة 𝜃 ناقص جا ثلاثة 𝜃 يساوي صفرًا. لذا، سنجعل اثنين جا 𝜃 ناقص ١٦جا تكعيب 𝜃 جتا تربيع 𝜃 يساوي صفرًا. ثم، نأخذ اثنين جا 𝜃 عاملًا مشتركًا. وبما أن حاصل ضرب هذين الحدين يساوي صفرًا، يعني ذلك أن أحد هذين الحدين يجب أن يساوي صفرًا. إذن، إما اثنان جا 𝜃 يساوي صفرًا، وبالقسمة على اثنين يمكننا ملاحظة أن جا 𝜃 يساوي صفرًا، وإما واحد ناقص ثمانية جا تربيع 𝜃 جتا تربيع 𝜃 يساوي صفرًا. وحيث إن فترة 𝜃 أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من 𝜋، يمكننا ملاحظة أن أحد الحلول يكون عند 𝜃 تساوي صفرًا.

سنعيد نوعًا ما كتابة المعادلات الأخرى. نعلم أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. بتربيع ذلك، نحصل على جا تربيع اثنين 𝜃 يساوي أربعة جا تربيع 𝜃 جتا تربيع 𝜃. وذلك بدوره يعني أن المعادلة ستكون واحد ناقص اثنين جا تربيع اثنين 𝜃 يساوي صفرًا. نعيد الترتيب كي نجعل جا اثنين 𝜃 في طرف بمفرده، فنلاحظ أن جا اثنين 𝜃 يساوي موجب أو سالب واحد على جذر اثنين. نبدأ بالجذر التربيعي الموجب لـ 𝜃 في الفترة المحددة، نعلم أن جا اثنين 𝜃 يساوي واحدًا على جذر اثنين عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ثمانية أو ثلاثة 𝜋 على ثمانية. بالمثل، يمكننا الحل لإيجاد الجذر التربيعي السالب. فنحصل على خمسة 𝜋 على ثمانية وسبعة 𝜋 على ثمانية. إذن، توجد خمسة حلول للمعادلة جا خمسة 𝜃 ناقص جا ثلاثة 𝜃 يساوي صفرًا على الفترة 𝜃 أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من 𝜋. وهي صفر، و𝜋 على ثمانية، وثلاثة 𝜋 على ثمانية، وخمسة 𝜋 على ثمانية، وسبعة 𝜋 على ثمانية.

في هذا الفيديو، رأينا أنه بإمكاننا استخدام صيغة أويلر مع خواص الدوال الأسية. كذلك، يمكننا استنتاج العديد من المتطابقات المثلثية مثل متطابقة فيثاغورث وصيغ مضاعفات الزاوية. رأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام النظرية للتعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الدالة الأسية المركبة كما هو موضح. كذلك، رأينا أنه يمكننا استخدام المتطابقات المستنتجة من صيغة أويلر لمساعدتنا على تبسيط المقادير. ويمكن أن يساعدنا كل ذلك بدوره في حل المعادلات المثلثية.