فيديو الدرس: قاعدة باسكال الفيزياء

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن قاعدة باسكال. وهي قاعدة تتعلق بكيفية تأثير الضغط على مائع غير قابل للانضغاط. عندما نتحدث عن مائع غير قابل للانضغاط، نعرف أن المائع هو أي مادة قابلة للسريان. فكل من الغازات والسوائل موائع.

لنتناول الآن معنى أن يكون المائع غير قابل للانضغاط. لنفترض أن لدينا صندوقًا كهذا. نملأ الصندوق ببعض الغاز. في هذا الوعاء المغلق، سيتمدد الغاز بشكل طبيعي ليملأ حجم الوعاء كله. إذن، يمكننا القول إن حجم هذا الغاز يساوي الحجم الداخلي للصندوق. لكن، ماذا لو كان حجم الصندوق قابلًا للتعديل؟ لنفترض أنه يمكن، على سبيل المثال، دفع الوجه العلوي للصندوق لأسفل.

بوجود الغاز داخل الصندوق، يمكن دفع هذا الوجه العلوي لأسفل، وتقليل حجم الصندوق. إذا فعلنا ذلك، فسيوضح لنا هذا الصندوق البرتقالي الحجم المفقود من الصندوق. وهذا هو مقدار انضغاط الصندوق. وبالتالي، هو أيضًا مقدار انضغاط الغاز داخل الصندوق. كل هذا يوضح لنا أن هذا الغاز ليس مائعًا غير قابل للانضغاط، لأنه يمكننا ضغطه. فيمكننا جعل كمية منه تشغل حجمًا أقل.

لكن، لنفترض أننا سنفعل ما يلي. نأخذ بعض الماء. ونملأ خزانًا إلى ما يقرب من قمته. نضع بعد ذلك غشاء مطاطيًا على سطح الماء مباشرة مثبتًا بجوانب الخزان. إذا نظرنا إلى هذا الغشاء من أعلى، فسيبدو بهذا الشكل. سيبدو كلوح مطاطي متصل، باستثناء وجود فتحتين. هاتان الفتحتان مصممتان لتحيطا بكاحلي شخص ما بإحكام. الفكرة هنا كالتالي. إذا صعد شخص ما إلى قمة هذا الخزان الذي يحتوي على الماء، وأدخل قدميه من هاتين الفتحتين الصغيرتين في الغشاء المطاطي، فإن الماء الذي يضغط عليه لأسفل بقدميه لن يوجد له أي متسع ليخرج من الخزان. وسيظل بالداخل.

لذلك إذا استطاع هذا الشخص الحفاظ على توازنه أثناء الوقوف، فسيتحمل الماء الذي يقف عليه وزنه بالكامل. هذا لأن الماء غير قابل للانضغاط، على عكس ما لاحظناه في الغاز سابقًا. فعندما يشغل الماء حجمًا محددًا، ونحاول تقليص حجمه عن طريق ضغطه، فلن نستطيع ذلك. إذن الماء هو أحد أمثلة الموائع غير القابلة للانضغاط. وكما ذكرنا من قبل، هذه هي الموائع التي تتناولها قاعدة باسكال بالأخص.

بمعرفة ذلك، دعونا نلق نظرة عن كثب على خزان الماء. قبل أن يصعد الشخص إلى الخزان ويدخل قدميه في الفتحتين الموجودتين على اللوح المطاطي، ثمة بعض الأمور المثيرة للاهتمام التي يمكننا قولها عن ضغط الماء في هذا الخزان. أولًا، نعلم أن ضغط الماء غير متساو في جميع أنحاء هذا الخزان. هذا لأن الضغط ينشأ من وزن الماء على نفسه، وهو ما يعني أن الماء في اتجاه قاع الخزان، أي هنا بالأسفل، يكون تحت ضغط أكبر من الماء في اتجاه القمة. يرجع ذلك إلى أن الماء في اتجاه القاع يعلوه هذا الارتفاع من الماء الذي يدفعه لأسفل، في حين أن الماء بالقرب من القمة يعلوه هذا الارتفاع فقط من الماء الذي يدفعه لأسفل.

يمكننا إذن قول إن عمود الماء الذي يدفع هذه النقطة العليا لأسفل أقصر بكثير من عمود الماء الذي يدفع هذه النقطة السفلى لأسفل. هذا يعني أن هناك وزن ماء أكبر بكثير يدفع النقطة السفلى لأسفل، ما يعني أن الضغط عند هذه النقطة أعلى. وفي الحقيقة، إذا أشرنا إلى عمق مائع أسفل مستوى سطحه بـ ‪ℎ‬‏، فثمة علاقة رياضية توضح لنا ضغط هذا المائع بدلالة ‪ℎ‬‏، وعجلة الجاذبية ‪𝑔‬‏، وكثافة المائع ‪𝜌‬‏. إذا ضربنا هذه الكميات الثلاث معًا، فإن حاصل ضربها سيساوي ضغط المائع عند عمق معين، والذي أشرنا إليه بـ ‪ℎ‬‏.

بالانتقال إلى الجانب الأيسر من الخزان، سنطلق على هذا العمق الأصغر ‪ℎ‬‏ واحد، والعمق الأكبر ‪ℎ‬‏ اثنين. ويمكننا ملاحظة أن معادلة ضغط المائع الناتج عن وزن المائع توضح لنا الفرق في الضغط بين ارتفاعي المائع، وسنشير إلى فرق الضغط ذلك بـ ‪𝛥𝑝‬‏. وهو يساوي كثافة المائع، التي سنشير إليها بـ ‪𝜌‬‏، مضروبة في عجلة الجاذبية، مضروبة في فرق الارتفاع بين ‪ℎ‬‏ واحد و‪ℎ‬‏ اثنين. وهذا يوضح لنا أن الضغط عند أعماق مختلفة في مائع يكون غير متساو بالفعل. لكنه يختلف باختلاف العمق.

تجدر الإشارة هنا إلى أن هذه المعادلة التي استخدمناها تفترض أن كثافة المائع ثابتة. بعبارة أخرى، لا تتغير الكثافة بتغير عمق المائع. يعني ذلك أننا نفترض أن المائع غير قابل للانضغاط. بغض النظر عن مقدار المائع الذي نراكمه فوق بعضه البعض، لا تزداد كثافته أبدًا. لذلك إذا أردنا تمثيل الضغط الذي يؤثر على جوانب الخزان مع ازدياد العمق، فقد يبدو الضغط بهذا الشكل. يؤثر ضغط طفيف بالقرب من قمة الخزان. لكن عند الاتجاه لأسفل، يزداد الضغط.

ثمة حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام بشأن الضغط في هذا الخزان، وهي أنه لا يضغط على جوانب الخزان أو قاعه فقط. نحدد نقطة عشوائية داخل خزان الماء، ولتكن هذه النقطة هنا. إذا أردنا رسم اتجاه تأثير الضغط على هذه النقطة، فقد نرسم تلقائيًا سهمًا لأسفل من تلك النقطة. وذلك لأننا نعلم أن وزن الماء أعلى هذه النقطة يضغط عليها. وهذا صحيح. يؤثر الضغط في هذا الاتجاه على هذه النقطة أو أي نقطة أخرى. لكن المثير للاهتمام أنه يؤثر أيضًا في الاتجاه المعاكس. قد يبدو هذا غريبًا؛ إذ نقول إن الضغط يمكنه التأثير لأعلى من هذه النقطة، نتيجة لوزن الماء أعلاها. ولكن هذا صحيح.

ولملاحظة ذلك، يمكننا وضع شيء صغير خفيف الوزن، مثل حفنة من نشارة الخشب، عند هذه النقطة في الخزان. إذا كان الماء في الخزان ساكنًا ووضعنا بعضًا من نشارة الخشب عند هذه النقطة، فستظل النشارة في مكانها. هذا يعني أن القوة التي تدفع النشارة لأسفل، بسبب الضغط الناتج عن عمود الماء، تساوي القوة التي تدفعها لأعلى. لذلك، عند هذه النقطة أو أي نقطة أخرى في الخزان، يؤثر الضغط لأسفل وكذلك لأعلى. ويؤثر أيضًا إلى اليسار واليمين وفي كل اتجاه بالتساوي من هذه النقطة التي حددناها. تذكر أننا حددنا هذه النقطة عشوائيًا. وأي نقطة أخرى نحددها ستعطينا النتيجة نفسها. لنفترض مثلًا أننا حددنا نقطة بالأعلى أقرب إلى السطح.

عند هذه النقطة الثانية بالأعلى، يؤثر الضغط أيضًا في كل الاتجاهات من هذه النقطة. لكن مقداره يكون أقل من مقدار الضغط عند النقطة السفلى التي حددناها أولًا. هذه هي حالة ضغط الماء في الخزان قبل أن يقف الشخص أعلاه. لنفترض الآن أن هذا الشخص صعد إلى الخزان ووضع قدميه في الفتحتين الموجودتين في الغطاء المطاطي، واستطاع الوقوف مستقيمًا على الماء. ماذا سيحدث؟ نعلم أن قدمي هذا الشخص ستشكلان ضغطًا يؤثر لأسفل عند نقطتي تلامسهما مع الماء. ويتبين أن هذا الضغط الإضافي، الناتج عن وزن الشخص المؤثر على الماء، ينتقل إلى الماء الموجود في الخزان كله. بعبارة أخرى، هذه الأسهم التي تشير إلى القوى الناتجة عن ضغط الماء تصبح أطول قليلًا.

هذه الفكرة، التي تشير إلى أن الضغط المؤثر على نقطة واحدة في مائع غير قابل للانضغاط ينتقل إلى جميع أجزاء المائع، تعرف بقاعدة باسكال. يمكننا كتابة هذه القاعدة كما يلي. تغير الضغط عند أي نقطة في مائع محصور غير قابل للانضغاط، وهو ما لدينا هنا في حالة الماء الموجود في الخزان، ينتقل إلى جميع أجزاء المائع. فيحدث التغير نفسه في كل المائع. هذا يعني أن زيادة الضغط الناتجة عن وقوف الشخص على الماء انتقلت إلى جميع أجزاء المائع، وبالتالي زاد الضغط في كل المائع بالمقدار ذاته.

عندما نفكر في معادلة رياضية للضغط، نعلم أن الضغط ‪𝑃‬‏ بصفة عامة يساوي القوة ‪𝐹‬‏ الواقعة على المساحة ‪𝐴‬‏. وتكريمًا لوضع بليز باسكال لهذه القاعدة، سميت الوحدة الدولية الأساسية لقياس الضغط في نظام الوحدات الدولي على اسمه. وهي وحدة الباسكال. لنفترض أنه عندما وقف هذا الشخص على سطح الماء، أضاف ضغطًا مقداره ‪7500‬‏ باسكال بسبب وزنه. إذا طبقنا قاعدة باسكال على الماء في هذا الخزان، فإنها توضح أن الضغط عند النقاط الأخرى كلها زاد أيضًا بالمقدار نفسه الذي يبلغ ‪7500‬‏ باسكال. ذلك لأن تغير الضغط ينتقل إلى جميع أجزاء المائع. فيحدث التغير نفسه في كل المائع. يرتفع الضغط عند كل نقطة في الخزان بالمقدار ذاته.

يمكن استخدام قاعدة باسكال للتأثير بقوى شديدة للغاية. تذكر أن هذه القاعدة تتعلق بالضغط. لكن الضغط يتعلق بالقوى والمساحات. ولمعرفة كيف تساعدنا قاعدة باسكال على فهم كيفية التأثير بقوة شديدة، دعونا نغير شكل خزان الماء. لنقل إن الماء موجود في وعاء محكم الغلق يبدو بهذا الشكل. هذان الخطان الأخضران المرسومان بالأعلى هما مكبسان يمكن أن يتحركا لأعلى أو أسفل بين جوانب الوعاء. لكن يمكننا ملاحظة أن المكبسين غير متساويين في الحجم. فمن الواضح أن المكبس الموجود على اليسار أصغر من الموجود على اليمين.

لنشر إلى مساحة المكبس الموجود على اليسار بـ ‪𝐴‬‏. وسنفترض أن مساحة المكبس الموجود على اليمين تساوي ‪100‬‏ مرة تلك المساحة، أي تساوي ‪100𝐴‬‏. بعبارة أخرى، مساحة المكبس الموجود على اليمين أكبر ‪100‬‏ مرة من مساحة ذلك الموجود على اليسار. لنفترض أيضًا أن شخصًا كتلته ‪75‬‏ كيلوجرامًا يقف على المكبس الموجود على اليسار. نظرًا لأن كتلة هذا الشخص تقع في مجال جاذبية، نعلم أنه يحدث قوة وزن مؤثرة لأسفل. وهذا الوزن ‪𝑊‬‏ يساوي كتلة الشخص مضروبة في عجلة الجاذبية ‪𝑔‬‏.

هذا الوزن ‪𝑊‬‏ هو قوة. وتقاس هذه القوة بوحدة نيوتن. يمكننا كذلك ملاحظة أن قوة الوزن تؤثر على مساحة، وهي المساحة التي أطلقنا عليها ‪𝐴‬‏. إذن باستخدام معادلة الضغط، نعرف أن هذه القوة الواقعة على هذه المساحة تؤثر بضغط إضافي على السائل. هذا الضغط، الذي يمكننا تسميته ‪𝑃‬‏، يساوي كتلة الشخص في ‪𝑔‬‏ مقسومًا على المساحة ‪𝐴‬‏.

نتذكر هنا أن قاعدة باسكال تشير إلى أنه نظرًا لوقوع هذا الضغط على مائع محصور غير قابل للانضغاط، يضاف مقدار هذا الضغط إلى جميع النقاط في هذا المائع. افترض أننا نركز تحديدًا على الضغط المضاف إلى المكبس الموجود على اليمين، أي المكبس الأكبر. ينتج عن هذا الضغط المضاف دفع المكبس لأعلى. وتشير قاعدة باسكال إلى أن الضغط الذي يدفع المكبس لأعلى يساوي الضغط الذي أضيف بوقوف الشخص على المكبس الأيسر الأصغر.

لننظر إلى الطرف الأيمن من هذه المعادلة. هاتان القيمتان، قيمة قوة وزن الشخص، وقيمة مساحة المكبس الأصغر، تخصان الطرف الأيسر من النظام. وفي الطرف الأيمن، نعلم أن لدينا مكبسًا مساحته أكبر بمقدار ‪100‬‏ مرة. ولدينا قوة واقعة على كل أنحاء هذا المكبس تؤثر لأعلى. إذا أشرنا إلى هذه القوة الكلية المتجهة لأعلى التي تؤثر على المكبس الموجود أقصى اليمين بـ ‪𝐹 up‬‏، فسنعرف أن الضغط المضاف إلى النظام يساوي هذه القوة مقسومة على مساحة المكبس الثاني، وهي ‪100𝐴‬‏. لدينا هنا القوة المؤثرة على المكبس الموجود على اليمين ومساحته، مقارنة بالقوة المؤثرة على المكبس الموجود على اليسار ومساحته. وهاتان النسبتان للقوة إلى المساحة تساويان نفس الضغط.

لاحظ ما يحدث عندما نوجد قيمة ‪𝐹 up‬‏. يمكننا فعل ذلك بضرب كلا الطرفين في مساحة المكبس الموجود على اليمين، والتي تساوي ‪100𝐴‬‏. يؤدي ذلك إلى حذف ‪100𝐴‬‏ من البسط والمقام في الطرف الأيمن. ويؤدي أيضًا إلى حذف المساحة ‪𝐴‬‏ من البسط والمقام في الطرف الأيسر. فنجد أن القوة المؤثرة على المكبس الموجود على اليمين تساوي ‪100‬‏ مرة القوة المؤثرة لأسفل نتيجة قوة وزن الشخص المؤثرة على المكبس الأيسر. ما حصلنا عليه هنا هو مضاعف القوة ‪100𝑥‬‏. فعلنا ذلك بجعل مساحة المكبس الأكبر تزيد ‪100‬‏ مرة عن مساحة المكبس الأصغر.

سنوضح الآن طريقة كتابة ذلك بشكل عام. وفقًا لقاعدة باسكال، يتوزع الضغط المضاف إلى النظام بالتساوي على جميع أجزاء هذا النظام، ما دام المائع محصورًا وغير قابل للانضغاط. يعني ذلك أن القوة المضافة مقسومة على المساحة في موضع ما، والتي نعلم أنها تساوي الضغط الإضافي عند هذا الموضع، تساوي القوة الإضافية المؤثرة مقسومة على المساحة عند موضع آخر؛ حيث قد تختلف القوة والمساحة عن القوة والمساحة في الموضع الأول. بجعل هاتين المساحتين ‪𝐴‬‏ واحد و‪𝐴‬‏ اثنين مختلفتين تمامًا، رأينا أنه بإمكاننا الحصول على مضاعفات قوة كبيرة؛ حيث نستخدم قوة صغيرة نسبيًا، وهي في هذه الحالة وزن شخص، لإحداث قوة كبيرة نسبيًا. وهذا ممكن لأن الضغط ينتقل بالكامل في أي مائع محصور غير قابل للانضغاط.

لنلخص الآن ما عرفناه عن قاعدة باسكال. في البداية، رأينا أن الغازات موائع قابلة للانضغاط، بينما السوائل غير قابلة للانضغاط في معظم الأحيان. عرفنا أيضًا أن الضغط يختلف في المائع غير القابل للانضغاط وفقًا لعمق المائع وكثافته. عند أي عمق معين ‪ℎ‬‏ تحت سطح المائع، يساوي ضغط المائع هذا العمق مضروبًا في عجلة الجاذبية مضروبة في كثافة المائع ‪𝜌‬‏.

ورأينا أنه عند أي نقطة معينة في المائع، يكون الضغط واحدًا في جميع الاتجاهات. وقادنا ذلك إلى معرفة قاعدة باسكال، التي تنص على أن تغير الضغط عند أي نقطة في مائع محصور غير قابل للانضغاط ينتقل إلى جميع أجزاء المائع. فيحدث التغير نفسه في كل المائع. وأخيرًا، استخدمنا مع قاعدة باسكال معادلة توضح أن الضغط يساوي القوة على المساحة. فوجدنا أن ذلك يسمح لنا بجعل القوة المؤثرة على مساحة جزء من مائع غير قابل للانضغاط تساوي قوة مختلفة تؤثر على مساحة أخرى من المائع ذاته. وبتحديد المساحتين ‪𝐴‬‏ واحد و‪𝐴‬‏ اثنين، رأينا أنه يمكن الحصول على مضاعفات للقوة باستخدام هذه الطريقة.