فيديو السؤال: إيجاد قيم المحددات باستخدام خصائص المحددات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

استخدم خواص المحددات لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة.

توضح العملية الصفية أنه عند إضافة مضاعف صف ما إلى أي صف آخر، فإن المحدد يظل كما هو. إذن، من المنطقي هنا أن نسمي الصفوف كما هو موضح: الصف الأول، والصف الثاني، والصف الثالث. أول شيء سنفعله هو طرح عناصر الصف الأول من عناصر الصف الثاني. وهذا يعني بالطبع أن العنصرين الموجودين في الصف الأول والصف الثالث يظلان دون تغيير.

لإيجاد العنصر الأول في الصف الثاني، نطرح ٢٠ من ٢٤، وهذا يساوي أربعة. لإيجاد العنصر الثاني في هذا الصف، سنطرح خمسة من تسعة، وهذا يساوي أربعة أيضًا. ولإيجاد العنصر الثالث في هذا الصف، سنطرح ثمانية من ١٢، وهو ما يساوي أربعة مرة أخرى. سنكرر هذه العملية الآن، لكننا هذه المرة سنطرح عناصر الصف الثالث من عناصر الصف الأول. هذه المرة، سيظل العنصران في الصفين الثاني والثالث دون تغيير.

لإيجاد العنصر الأول في هذا الصف، نطرح ١٧ من ٢٠، وهو ما يساوي ثلاثة. بعد ذلك، سنطرح اثنين من خمسة، وهذا يساوي ثلاثة مرة أخرى. ثم نطرح خمسة من ثمانية، وهو ما يساوي ثلاثة أيضًا.

الخاصية الثانية التي سنستخدمها هي الضرب في عدد قياسي. إذا ضربنا عناصر أحد الصفوف في عدد قياسي ما، فهذا يعني أننا سنضرب المحدد أيضًا في نفس العامل. على سبيل المثال، إذا ضربنا عناصر أحد الصفوف في ثلاثة، فإننا سنضرب المحدد أيضًا في ثلاثة. والآن، سنضرب عناصر الصف الأول في عدد قياسي. حسنًا، سنقسم العناصر على ثلاثة أو نضربها في ثلث. وبما أننا نريد أن يظل المحدد دون تغيير، فسنضرب عناصره في ثلاثة لإلغاء عملية الضرب التي أجريناها. وبالمثل، سنكرر العملية نفسها مع الصف الثاني. ويكون ذلك بقسمة عناصره على أربعة أو ضربها في ربع.

مرة أخرى، يجب أن يظل هذا المحدد كما هو. لذا، سنضرب عناصر المحدد بأكملها في أربعة للتأكد من أن يظل دون تغيير. بضرب عناصر الصف الأول في ثلث، نحصل على: واحد، واحد، واحد. وبالمثل، إذا ضربنا عناصر الصف الثاني في ربع، فإننا نحصل أيضًا على: واحد، واحد، واحد. وبالطبع، سبق أن قلنا إن علينا إلغاء ذلك بالضرب في ثلاثة وأربعة. وثمة حقيقة أخرى يمكننا الاستعانة بها هنا.

محدد أي مصفوفة ﺃ يساوي صفرًا إذا كانت هذه المصفوفة تحتوي على صفين عناصرهما متساوية. ويمكننا ملاحظة أن جميع العناصر في الصف الأول والصف الثاني هي العدد واحد. إنها متساوية. هذا يعني أن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا. وبالطبع، علينا ضرب هذه القيمة في كل من ثلاثة وأربعة، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا. إذن، لقد استخدمنا خواص المحددات لحساب قيمة المحدد؛ وهي تساوي صفرًا.