فيديو الدرس: الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة مؤثرة على جسيم يتحرك أفقيًّا أو رأسيًّا.

١٧:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة مؤثرة على جسيم. كما سنرى، هذا الشغل المبذول قد يكون موجبًا أو سالبًا أو مساويًا لصفر. وذلك تبعًا لاتجاه حركة الجسيم مقارنة باتجاه القوة المؤثرة عليه.

في البداية، دعونا نتصور أن لدينا صندوقًا له كتلة ما، وهو في حالة سكون وموضوع على الأرض بجانب طاولة. لنفترض أننا اقتربنا من هذا الصندوق ثم رفعناه، حيث أثرنا عليه بقوة ثابتة رأسية لأعلى لفعل ذلك. إذا عرفنا هذه القوة الثابتة، التي سنطلق عليها ﻕ، والمسافة التي تحركها الصندوق، والتي سنطلق عليها ﻑ، فسنتمكن من حساب الشغل المبذول على الصندوق بواسطة القوة ﻕ وفقًا لهذه العلاقة.

في هذه المعادلة، ﻑ هو في الواقع إزاحة أكثر من كونه مسافة. وذلك أمر مهم؛ لأنه يعني مراعاة اتجاه ﻑ. في حالتنا هذه المتمثلة في رفع الصندوق، فإن حقيقة أن ﻑ وﻕ في الاتجاه نفسه تعني أن الشغل الكلي الذي بذلناه على الصندوق خلال هذه العملية موجب. يمكننا تمثيل ذلك هكذا. عندما نؤثر بقوة ثابتة ﻕ لرفع صندوق لأعلى، وبالفعل يرتفع ذلك الصندوق لأعلى، فإن الشغل المبذول على الصندوق بواسطة القوة ﻕ يكون موجبًا. فيما يتعلق بمقدار الشغل، فإنه يساوي مقدار القوة ﻕ مضروبًا في هذه المسافة ﻑ.

بعد ذلك، سنفترض أننا وضعنا هذا الصندوق فوق الطاولة. وسنتخيل أيضًا أن سطح الطاولة أملس، أي لا يوجد بالأساس أي احتكاك بين الصندوق والطاولة. في هذه الحالة، لن يتطلب الأمر حرفيًّا أي جهد على الإطلاق لدفع هذا الصندوق أفقيًّا على امتداد الطاولة. ففي هذه الحالة، تكون المسافة التي يقطعها الصندوق في اتجاه اليمين، في حين أن القوة اللازمة لإحداث هذه الحركة تساوي صفرًا. هذا يعني أن تحريك الصندوق على سطح الطاولة الأملس لا يتطلب أي شغل.

لكن دعونا الآن نتخيل حركة ثالثة لهذا الصندوق. لنفترض أننا أمسكنا بالصندوق على الجانب الآخر من الطاولة. وأثرنا عليه بقوة رأسية لأعلى تساوي نفس القوة التي أثرنا بها على الصندوق من قبل، لكن هذه المرة سنحركه لأسفل بسرعة ثابتة تحت تأثير قوة الجاذبية الأرضية. وكما سبق تمامًا، فإن القوة التي نؤثر بها تتجه إلى أعلى. لكن الصندوق يتحرك الآن لأسفل وليس لأعلى. ولأن القوة وإزاحة الصندوق في اتجاهين متضادين، فهذا يعني أن الشغل الذي تبذله القوة المؤثرة ﻕ على الصندوق يكون في الواقع سالبًا.

وكما رأينا، يرجع السبب في ذلك إلى أن ﻕ وﻑ يشيران إلى اتجاهين متضادين. وحين يتعلق الأمر بالشغل، يكون لدينا هذه الصيغة حيث نحسب الشغل بضرب ﻕ وﻑ. لكننا نلاحظ أن ناتج هذه العملية الحسابية يعتمد على الاتجاهات المرتبطة بهذين العاملين. في الواقع، عند حساب الشغل، لن يؤخذ في الاعتبار سوى المركبتين المتوازيتين في نفس الاتجاه أو المتضادتين في الاتجاه لهذين العاملين.

على سبيل المثال، لنفترض أننا أثرنا بقوة ما في هذا الاتجاه على الصندوق. إذا تحرك الصندوق أفقيًّا فقط، نتيجة لهذه القوة المؤثرة عليه، فيمكننا القول إن المركبة الأفقية لهذه القوة المؤثرة هي فقط التي بذلت الشغل. بينما المركبة الرأسية لم تبذل أي شغل. ويمكننا ملاحظة ذلك لأنه في هذا البعد الرأسي تكون المسافة المقطوعة ﻑ تساوي صفرًا.

تجدر بنا الإشارة إلى أنه على الرغم من أننا نتحدث عن القوى الثابتة المؤثرة على أجسام مختلفة، تظل إمكانية أن يؤدي ذلك إلى تحرك الأجسام بعجلة محل نظر. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن الأرضية ملساء، مثل سطح الطاولة، ما يعني أن الصندوق يتحرك عليها دون احتكاك، فهذا يعني أنه ستكون هناك قوة محصلة لا تساوي صفرًا في الاتجاه الأفقي. وقد يذكرنا هذا بقانون نيوتن الثاني للحركة الذي ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم في بعد معين تساوي كتلة ذلك الجسم في عجلته في ذلك البعد.

ما نريد إيضاحه هنا هو أن القوة في معادلة الشغل قد تكون قوة واحدة أو محصلة قوى أو قد تكون كلتاهما نفس الشيء. وهذا يوضح لنا أنه عند الحديث عن الشغل، من المهم أن نحدد القوة التي تبذل ذلك الشغل.

إننا نتذكر أنه عندما أنزلنا الصندوق من هنا تقريبًا إلى هنا، كان الشغل الذي بذلناه من خلال التأثير بقوة اتجاهها لأعلى سالبًا؛ لأن هذه القوة والمسافة التي تحركها الصندوق كانتا في اتجاهين متضادين. لكن إذا نظرنا بدلًا من ذلك إلى الشغل المبذول بواسطة قوة الجاذبية الأرضية المؤثرة لأسفل على الصندوق، فسيصبح لدينا في هذه الحالة قوة مؤثرة لأسفل مع مسافة اتجاهها لأسفل. ومن ثم، يكون الشغل المبذول بواسطة الجاذبية الأرضية على الصندوق موجبًا.

دعونا نتدرب قليلًا على هذه الأفكار من خلال مثال.

احسب الشغل الذي تبذله قوة مقدارها ١٣ نيوتن على جسم تحرك ٤٠ مترًا في اتجاه الشمال إذا كان تأثير القوة في اتجاه الجنوب. احسب إجابتك بالجول.

حسنًا، سنفترض هنا أن الشمال يشير لأعلى هكذا، وأننا ننظر إلى جسم معين من أعلى، ثم علمنا أن هذا الجسم يتحرك ٤٠ مترًا في اتجاه الشمال، وطوال تلك الحركة يتعرض الجسم لقوة مقدارها ١٣ نيوتن تؤثر في اتجاه الجنوب. نريد هنا حساب الشغل المبذول بواسطة هذه القوة التي مقدارها ١٣ نيوتن.

إننا نتذكر أن الشغل يساوي القوة مضروبة في الإزاحة. أحيانًا نجد أن هذا العامل يطلق عليه المسافة. لكن في الحقيقة، من المهم أن نراعي اتجاه حركة الجسم. وهذه المسألة مثال جيد على ذلك. إذا اعتبرنا أن الاتجاه الشمالي موجب، فسنقول إن إزاحة الجسم الكلية تساوي موجب ٤٠ مترًا. هذا يعني أن اتجاه الجنوب يعتبر سالبًا. ومن ثم، يمكننا القول إن القوة التي مقدارها ١٣ نيوتن، وسنطلق عليها ﻕ، تساوي سالب ١٣ نيوتن.

كل هذا يعني أنه عند استخدام قيمتي ﻕ وﻑ في معادلة الشغل، يصبح لدينا سالب ١٣ نيوتن مضروبًا في موجب ٤٠ مترًا. نيوتن في متر يساوي جول. وبذلك، تصبح إجابتنا سالب ٥٢٠ جول. هذا هو الشغل المبذول بواسطة القوة التي مقدارها ١٣ نيوتن المؤثرة على هذا الجسم.

والآن دعونا نلق نظرة على مثال يتضمن قانون نيوتن الثاني للحركة.

أثرت قوة على جسم ساكن كتلته ٤٠٠ جرام فجعلته يتحرك بعجلة ٣٦ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. إذا كان الشغل الذي تبذله هذه القوة يساوي ٠٫٧٢ جول، فأوجد المسافة التي تحركها الجسم.

حسنًا، لنفترض أن هذا هو الجسم الذي يبدأ في حالة سكون، ثم تؤثر عليه قوة. وبالتالي، يبدأ في التحرك بعجلة. وسنطلق على هذه العجلة ﺟ. علمنا من السؤال كتلة الجسم، وسنطلق عليها ﻙ، كما علمنا الشغل المبذول عليه بواسطة هذه القوة، وسنطلق عليه ﺵ. بالإضافة إلى ذلك، عرفنا أن هذا الشغل قد بذل فتحرك الجسم مسافة ما، سنطلق عليها ﻑ، وهذه هي المسافة التي نريد إيجادها.

للبدء في ذلك، سنسترجع أن الشغل يساوي القوة مضروبة في المسافة. بعبارة أدق، ﻑ هو الإزاحة. لكن في هذه الحالة، يمكننا التعامل معها باعتبارها مسافة؛ أي كمية لا يوجد اتجاه مرتبط بها. إلى جانب معادلة الشغل هذه، سنسترجع قانون نيوتن الثاني للحركة. وهو ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في عجلته.

في هذا التدريب، علمنا أن هذه القوة المؤثرة على الجسم هي ما يجعله يتحرك بعجلة بهذا المعدل المعطى. هذا يعني أن القوة تمثل القوة المحصلة المؤثرة على الجسم. ومن ثم، يمكننا التعويض عن ﻕ في معادلة الشغل بـ ﻙ في ﺟ من قانون نيوتن الثاني. في هذه المعادلة، نريد إيجاد المسافة ﻑ.

إذا قسمنا طرفي المعادلة على ﻙ في ﺟ، فسنحذف هذين العاملين في الطرف الأيسر. وسنجد أن ﻑ يساوي ﺵ على ﻙ في ﺟ. إذا عوضنا بقيم ﺵ وﻙ وﺟ المعطاة، فسنجد أنه بسبب الوحدات التي لدينا ما زلنا غير جاهزين لحساب ﻑ. لذا علينا تحويل وحدة قياس كتلة الجسم إلى الوحدة الأساسية في النظام الدولي للوحدات، وهي الكيلوجرام، وعجلة الجسم إلى وحدة المتر لكل ثانية مربعة.

بتذكر أن ١٠٠٠ جرام يساوي كيلوجرامًا واحدًا وأن ١٠٠ سنتيمتر يساوي مترًا واحدًا، يمكننا كتابة مقدار مكافئ بالوحدات الجديدة بهذا الشكل. كتلة الجسم تساوي ٠٫٤٠٠ كيلوجرام، بينما عجلته تساوي ٠٫٣٦ متر لكل ثانية مربعة. في هذه المرحلة، جميع الوحدات متوافقة. يمكننا إذن حساب المسافة ﻑ. ونجد أنها تساوي خمسة أمتار بالضبط. إذن، هذه هي المسافة التي تحركها الجسم بينما يتحرك بعجلة في ظل الشروط المعطاة.

دعونا نتناول مثالًا آخر.

عامل بناء كتلته ١٠٠ كيلوجرام يحمل كمية من الطوب أثناء صعوده سلمًا ارتفاعه ١٥ مترًا. إذا كان الشغل الذي بذله عامل البناء في صعود السلم قدره ٢٠٤٣٣ جول، فأوجد كتلة الطوب. ذلك مع العلم أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، سنفترض أن هذا هو السلم الذي علمنا أن ارتفاعه، سنطلق عليه ﻉ، يساوي ١٥ مترًا، وأنه يوجد فوق هذا السلم عامل بناء كتلته هي ﻙﺟ، وقد صعد لأعلى وهو يحمل كمية من الطوب كتلتها هي ﻙﺏ. بمعلومية أن عامل البناء قد بذل شغلًا قدره ٢٠٤٣٣ جول أثناء صعود هذا السلم حاملًا هذه الكمية من الطوب، سنوجد كتلة الطوب، وهي ﻙﺏ.

إذا فكرنا في الكتلة الموجودة مجتمعة، وهي كتلة الطوب زائد كتلة عامل البناء، فسنجد أن هذه الكتلة الكلية مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية تساوي قوة الوزن المؤثرة على هذا العامل. لكن في مقابل هذه القوة، تمكن عامل البناء من الصعود عاليًا لارتفاع ١٥ مترًا. يمكننا القول إذن إن مقدار القوة التي يبذلها عامل البناء، سنطلق عليها ﻕﺟ، يساوي هذه الكتلة الكلية في ﺩ.

في هذه المرحلة، نتذكر أن الشغل المبذول بواسطة قوة معطاة ﻕ يساوي تلك القوة مضروبة في إزاحة الجسم الذي تؤثر عليه القوة. في هذه الحالة، إزاحة الجسم تساوي ارتفاع السلم ﻉ، بينما القوة المؤثرة هي مجموع كتلتي الطوب وعامل البناء مضروبًا في ﺩ. ومن ثم، يمكننا كتابة هذا التعبير الدال على الشغل الذي يبذله عامل البناء. بتذكر أننا نريد إيجاد قيمة ﻙﺏ، سنقسم طرفي المعادلة على ﺩ في ﻉ. فيحذف هذان العاملان في الطرف الأيسر. وبعد ذلك، نطرح ﻙﺟ، أي كتلة عامل البناء من كلا الطرفين. ينتج عن ذلك هذه المعادلة لحساب كتلة الطوب. عندما نعوض بقيم ﺵ وﺩ وﻉ وﻙﺟ، نحصل على الناتج ٣٩ كيلوجرامًا. إذن، هذه هي كتلة الطوب الذي حمله العامل إلى أعلى السلم.

هيا نتناول الآن مثالًا أخيرًا يتضمن الشغل.

صعد رجل كتلته ٩٤ كيلوجرامًا مستوى طوله ٩٠ مترًا، وكان يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٣٠ درجة. أوجد الشغل المبذول بواسطة وزنه لأقرب جول. ذلك مع العلم أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، لنفترض أن هذا هو المستوى الذي يميل بزاوية قياسها ٣٠ درجة على الأفقي. وأن هناك رجلًا كتلته ٩٤ كيلوجرامًا يصعد لأعلى المستوى. سنطلق على هذه الكتلة ﻙ. وعلمنا من المعطيات أن طول المستوى يساوي ٩٠ مترًا، وسنطلق عليه ﻝ. نريد هنا حساب الشغل المبذول بواسطة وزن هذا الرجل لأقرب جول.

يمكننا القول إذن إن وزن هذا الرجل، أي كتلته مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية، وهي قوة مؤثرة لأسفل، يبذل شغلًا بالفعل أثناء صعود هذا الرجل لأعلى المنحدر. هذا الشغل يساوي القوة المؤثرة، أي قوة وزن الرجل، مضروبة في المسافة الرأسية التي تحركها الرجل. وهذا يعني أن المسافة التي سنستخدمها في العملية الحسابية لن تكون الطول ﻝ. لكنها ستكون هذه المسافة الرأسية ﻑ. ذلك لأن هذه المسافة تمثل المركبة الوحيدة للطول ﻝ، وهي المركبة الموازية أو المضادة لاتجاه القوة المؤثرة.

وهنا يمكننا البدء في الحل. نحن نعلم أن القوة التي نريد حساب الشغل المبذول بواسطتها هي قوة وزن الرجل، ﻙ في ﺩ. سنجري خطوة أخرى؛ بما أن هذا المستوى المائل بزاوية قياسها ٣٠ درجة هو جزء من مثلث قائم الزاوية، فيمكننا القول إن المسافة ﻑ تساوي ﻝ في جا ٣٠ درجة. وهذا لأن جيب هذه الزاوية يساوي النسبة بين ﻑ وﻝ. وبإعادة ترتيب تلك العلاقة، نحصل على ﻑ يساوي ﻝ جا ٣٠.

قبل أن نعوض بالقيم المعطاة لـ ﻙ وﺩ وﻝ، من المهم أن نحدد إشارة اتجاه الحركة. لاحظ أنه عندما يصعد هذا الرجل المستوى المائل، فإنه يتحرك لأعلى رأسيًّا. وهذا في الاتجاه المضاد لقوة وزنه التي تؤثر لأسفل. للتأكد من تجميع الكميات بطريقة صحيحة، سنفترض أن أحد هذين الاتجاهين موجب، وسيكون الاتجاه الآخر سالبًا. إذا قلنا إن الاتجاه لأعلى موجب، فهذا يعني أن قيمة ﻝ في جا ٣٠ درجة موجبة. لكن هذا يعني أن ﻙ في ﺩ، التي اتجاهها لأسفل، لا بد أن تكون سالبة. الفكرة هنا هي أن القوة المؤثرة، أي قوة وزن الرجل، تؤثر في اتجاه مضاد للإزاحة ﻑ. والتأثير الكلي لذلك هو أن الشغل المبذول بواسطة قوة الوزن هذه سيكون سالبًا.

والآن، بعد أن حددنا الإشارات، أصبحنا جاهزين للتعويض بقيم ﻙ وﺩ وﻝ. كتلة الرجل هي ٩٤ كيلوجرامًا، وﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، وﻝ يساوي ٩٠ مترًا. بحساب هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج لأقرب جول، وهو سالب ٤١٤٥٤ جول. وهذا لأقرب جول، هو الشغل المبذول بواسطة وزن هذا الرجل عندما يصعد هذا المستوى.

دعونا نختتم الفيديو بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، علمنا أن الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة ﻕ على جسم ما يساوي حاصل ضرب هذه القوة في الإزاحة التي تحركها الجسم. بالنسبة لكل من ﻕ وﻑ، يكون الاتجاه مهمًّا للغاية. وبوجه عام، يمكن أن يكون الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة موجبًا أو سالبًا أو مساويًا لصفر. وأخيرًا، رأينا أن المركبتين المتوازيتين في نفس الاتجاه أو المتضادتين في الاتجاه لـ ﻕ وﻑ هما فقط اللتان تساهمان في حساب الشغل الكلي الذي تبذله القوة ﻕ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.