فيديو السؤال: إيجاد مساحة قطاع بمعلومية نصف قطر الدائرة ومحيط القطاع الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

لدينا نصف قطر دائرة يساوي ١٠ سنتيمترات، ومحيط قطاع دائري فيها يساوي ٢٥ سنتيمترًا. أوجد مساحة القطاع الدائري.

سنبدأ برسم شكل لتصور الأمر. لدينا دائرة نصف قطرها يساوي ١٠ سنتيمترات. علمنا بعد ذلك من المعطيات أنه يوجد قطاع في هذه الدائرة محيطه يساوي ٢٥ سنتيمترًا. القطاع في الدائرة هو منطقة محصورة بين نصفي قطرين. إذن، طول كل من هذين الخطين، المحصور بينهما القطاع، يساوي ١٠ سنتيمترات. محيط هذا القطاع هو المسافة حول إطاره. ومن ثم، فإنه يساوي مجموع طولي نصفي القطرين وطول القوس.

يمكننا استخدام المعلومات المعطاة لتكوين معادلة. المحيط يساوي ٢٥ سنتيمترًا، ونصف القطر يساوي ١٠ سنتيمترات. لذا، تصبح لدينا المعادلة ٢٥ يساوي اثنين مضروبًا في ١٠ زائد طول القوس. اثنان مضروبًا في ١٠ يساوي ٢٠. وبطرح هذه القيمة من كلا طرفي المعادلة، نجد أن طول القوس يساوي خمسة سنتيمترات.

إذن، نحن نعرف طول القوس، لكن كيف سيساعدنا هذا في إيجاد مساحة هذا القطاع؟ حسنًا، إننا نعرف أنه يمكننا إيجاد مساحة أي دائرة باستخدام الصيغة ‏𝜋‏نق تربيع؛ حيث نق مرة أخرى يمثل طول نصف القطر. لإيجاد مساحة قطاع، فإننا نضرب هذه القيمة في قيمة الجزء الذي يمثله القطاع من الدائرة كاملة. لذا، إذا كانت الزاوية التي تقع عند مركز القطاع تساوي 𝜃، فستكون قيمة الجزء من الدائرة كاملة هي 𝜃 على ٣٦٠؛ حيث توجد ٣٦٠ درجة في الدورة الكاملة. نحن نعرف طول نصف قطر الدائرة، وهو يساوي ١٠ سنتيمترات. لذا، إذا تمكنا من إيجاد قياس الزاوية 𝜃 عند مركز هذا القطاع، فسنتمكن من استخدام هذه الصيغة لإيجاد مساحته.

حسنًا، لدينا صيغة مشابهة لإيجاد طول القوس. اثنان ‏𝜋‏نق يمثل محيط دائرة كاملة. ثم نضرب هذا في قيمة الجزء من الدائرة التي لدينا، وهي مرة أخرى 𝜃 على ٣٦٠. إذن، بما أننا نعرف طول نصف قطر الدائرة، وقد أوجدنا طول قوس هذا القطاع، يمكننا استخدام صيغة إيجاد طول القوس هذه لإيجاد قياس الزاوية 𝜃 عند مركز القطاع، والذي سيمكننا بعد ذلك التعويض به في صيغة إيجاد مساحة القطاع. بالتعويض بـ ١٠ عن طول نصف القطر، وخمسة عن طول القوس في هذه الصيغة الأخيرة، نحصل على 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في اثنين مضروبًا في ‏𝜋‏ مضروبًا في ١٠ يساوي خمسة.

يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃. سنضرب أولًا في ٣٦٠ للتخلص من هذا العدد في المقام بالطرف الأيمن، وهو ما يعطينا خمسة مضروبًا في ٣٦٠ في البسط على اليسار. علينا أيضًا القسمة على اثنين و‏𝜋‏ و١٠، ما يعني أننا سنقسم على ٢٠‏𝜋‏. إذن، لدينا 𝜃 تساوي خمسة مضروبًا في ٣٦٠ على ٢٠‏𝜋‏. بتبسيط الأعداد في هذه القيمة، نحصل على ٩٠ على ‏𝜋‏؛ لأن ٩٠ يساوي خمسة مضروبًا في ٣٦٠ على ٢٠. وإذا أردنا حساب ذلك في صورة عدد عشري، فسيكون لدينا ٢٨٫٦٤٧ وهكذا مع توالي الأرقام.

والآن بعد أن عرفنا قيمة 𝜃، أي قياس الزاوية المركزية لهذا القطاع، وكذلك طول نصف قطر الدائرة، يمكننا استخدام الصيغة لدينا. تذكر أن الصيغة هي 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في ‏𝜋‏نق تربيع. والآن، يمكننا التعويض بالقيمة العشرية لـ 𝜃. لكن إذا استخدمنا القيمة الدقيقة لـ 𝜃، وهي ٩٠ على ‏𝜋‏، فسنحصل على قيمة دقيقة تمثل الإجابة. إننا نعلم أن 𝜃 على ٣٦٠ يساوي 𝜃 مضروبًا في واحد على ٣٦٠. إذن، بالتعويض بـ ٩٠ على ‏𝜋‏ عن 𝜃، وبـ ١٠ عن نق، نجد أن مساحة القطاع تساوي ٩٠ على ‏𝜋‏ مضروبًا في واحد على ٣٦٠ مضروبًا في ‏𝜋‏ مضروبًا في ١٠ تربيع.

سنحذف العامل المشترك ‏𝜋‏ في مقام قيمة 𝜃 مع ‏𝜋‏ في بسط الصيغة، ولهذا استخدمنا هذه القيمة الدقيقة. يمكن أيضًا تبسيط ٩٠ و٣٦٠ لأن بينهما عاملًا مشتركًا، وهو ٩٠. ‏٩٠ مقسومًا على ٩٠ يساوي واحدًا، و٣٦٠ مقسومًا على ٩٠ يساوي أربعة.

والآن يتبقى لدينا واحد مضروبًا في واحد مضروبًا في ١٠ تربيع في البسط، وأربعة في المقام. ‏١٠ تربيع يساوي ١٠٠. إذن، لدينا ١٠٠ على أربعة. و١٠٠ مقسومًا على أربعة يساوي ٢٥. ستكون وحدة قياس هذه المساحة هي السنتيمتر المربع. وبذلك، نكون قد أوجدنا القيمة الدقيقة لمساحة هذا القطاع، وتساوي ٢٥ سنتيمترًا مربعًا.