فيديو الدرس: الوسط الحسابي الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الوسط الحسابي لأي حدين غير متتاليين في متتابعة حسابية.

٢٠:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الوسط الحسابي لأي حدين غير متتاليين في متتابعة حسابية.

دعونا نبدأ بتعريف الوسط الحسابي. الوسط الحسابي مجموع مجموعة من القيم مقسومًا على عدد القيم في هذه المجموعة. إذا كان لدينا العددان ثلاثة وتسعة، ونريد إيجاد الوسط الحسابي لهما، فسنجمعهما معًا، ثلاثة زائد تسعة، ثم نقسم على اثنين؛ لأن هذه المجموعة مكونة من عددين. وهو ما يساوي ستة. يوضح هذا أن المسافة من ثلاثة إلى ستة تساوي المسافة من ستة إلى تسعة. وسنرمز إلى تلك المسافة بـ ﺩ. نلاحظ أنه للانتقال من ثلاثة إلى ستة أضفنا ثلاثة، وللانتقال من ستة إلى تسعة أضفنا ثلاثة أيضًا.

عند الاستمرار على هذا النمط، نجد أن تسعة زائد ثلاثة يساوي ١٢، و١٢ زائد ثلاثة يساوي ١٥. تسمى هذه المجموعة من القيم «متتابعة حسابية». ذلك لأنه في المتتابعات الحسابية يتساوى الفرق بين أي قيمتين متتاليتين. لكن في هذا الفيديو سنركز بشكل أساسي على الوسط الحسابي. ويوجد أكثر من وسط حسابي في هذه المتتابعة. أوضحنا أن العدد ستة هو الوسط الحسابي بين ثلاثة وتسعة. لكن العدد تسعة هو أيضًا وسط حسابي في هذه المتتابعة. إذا أخذنا القيمتين على جانبي هذا العدد، فيمكننا القول إن ستة زائد ١٢ مقسومًا على اثنين يساوي تسعة. وبهذا يكون العدد تسعة هو الوسط الثاني من هذه المتتابعة؛ ومن ثم يكون ١٢ هو الوسط الثالث. وهذا يعني أنه توجد ثلاثة أوساط حسابية بين ثلاثة و١٥.

باستخدام ما نعرفه عن سلوك المتتابعات الحسابية وعن الأوساط الحسابية داخل المتتابعات الحسابية، دعونا نتدرب على بعض الأسئلة.

أوجد خمسة أوساط حسابية بين سبعة و١٩.

لدينا القيمتان سبعة و١٩. ويخبرنا السؤال بأن بينهما خمسة أوساط حسابية، سنرمز لها بـ ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻫ. الوسط الأول هو ﺃ. ونعرف أنه إذا كان الوسط الأول ﺃ، فإن المسافة من سبعة إلى ﺃ ستساوي المسافة من ﺃ إلى ﺏ. وعليه، يمكننا القول إنه إذا كان سبعة زائد 𝑥 يساوي ﺃ، فإن ﺃ زائد ﺱ لا بد أن يساوي ﺏ. نواصل الحل، ﺏ هو الوسط الثاني، وهو ما يعني أن المسافة من ﺃ إلى ﺏ لا بد أن تساوي المسافة من ﺏ إلى ﺟ. إذا كان ﺃ زائد ﺱ يساوي ﺏ، فلا بد أن ﺏ زائد ﺱ يساوي ﺟ. وينطبق هذا على الأوساط الحسابية الخمسة بين سبعة و١٩. يجب أن يكون بينهما فرق مشترك. وسنسمي هذا الفرق المشترك ﺱ.

إذا كان الفرق المشترك بين هذه الأوساط الحسابية الخمسة يساوي ﺱ، فإن الفرق المشترك بين الوسط الأخير ﻫ والحد الأخير من المتتابعة وهو ١٩ سيساوي ﺱ أيضًا. باستخدام هذه المعلومات، سنكون معادلة. سنعبر عن العلاقة بين سبعة و١٩ باستخدام الفروق المشتركة. للانتقال من سبعة إلى ١٩ عند وجود خمسة أوساط حسابية بينهما، عليك إضافة ستة ﺱ. فنقول إن سبعة زائد ستة ﺱ يجب أن يساوي ١٩. وهذه المعادلة ستمكننا من إيجاد الفرق المشترك.

بطرح سبعة من طرفي المعادلة، نجد أن ستة ﺱ يساوي ١٢، وهو ما يعني أن ﺱ يساوي اثنين. وعند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺃ يساوي تسعة، وﺏ يساوي ١١، وﺟ يساوي ١٣، وﺩ يساوي ١٥، وﻫ يساوي ١٧. إذن الأوساط الحسابية الخمسة بين سبعة و١٩ هي تسعة و١١ و١٣ و١٥ و١٧.

في المثال الآتي، سنرى ما يجب علينا فعله إذا كان لدينا مجموع أوساط مختلفة في متتابعة حسابية.

إذا كان مجموع الوسط الثاني والوسط الرابع من متتابعة حسابية يساوي ١٦، وكان الوسط السابع يزيد عن الوسط الثالث بمقدار ثمانية، فإن المتتابعة هي (فراغ).

دعونا نفترض أن لدينا متتابعة حدها الأول هو ﺃ. والحد الثاني هو ﺏ، والحد الثالث هو ﺟ، ونستمر هكذا. علينا تذكر أنه إذا كان الحد الأول ﺃ، فإن الوسط الأول سيكون فعليًا الحد الثاني من المتتابعة. وإذا كان الحد الثاني هو الوسط الأول، فإن الحد الثالث هو الوسط الثاني، والحد الخامس هو الوسط الرابع. ومع ذلك، فإن هذه السلسلة من المتغيرات لن تفيدنا بشكل كبير. بل من الأفضل أن نكتب هذه المتغيرات بدلالة الحد الأول في المتتابعة.

لنعد إلى بداية المتتابعة. إذا افترضنا أن الحد الأول من المتتابعة هو ﺃ، فإن الحد الثاني سيساوي الحد الأول زائد فرق مشترك. هذه الطريقة أفضل بكثير للتعبير عن هذه الحدود. الحد الثاني سيساوي ﺃ زائد الفرق المشترك ﺩ. والحد الثالث سيساوي ﺃ زائد ﺩ زائد ﺩ. ويمكننا أن نشير إليه بـ ﺃ زائد اثنين ﺩ. أما الحد الرابع، فسيساوي ﺃ زائد ثلاثة ﺩ. وعلينا أن نفكر في القيم التي تعنينا. لدينا معلومات عن الوسط الثاني والوسط الرابع والوسط السابع والوسط الثالث.

ذكرنا من قبل أن الوسط الثاني يساوي الحد الثالث، والوسط الرابع يساوي الحد الخامس. نلاحظ وجود شيء مثير للاهتمام هنا. الوسط الثاني يساوي ضعف قيمة الفرق المشترك ﺩ زائد الحد الأول. والوسط الرابع يساوي أربعة أمثال قيمة الفرق المشترك زائد الحد الأول ﺃ. وينطبق ذلك أيضًا على الوسط الثالث. إنه يساوي ثلاثة أمثال قيمة الفرق المشترك زائد الحد الأول. ويمكننا استخدام ذلك لنقول إن الوسط السابع سيساوي الحد الأول زائد سبعة ﺩ.

باستخدام هذه القيم، يمكننا تكوين معادلتين آنيتين لإيجاد المتتابعة. نعلم أن الوسط الثاني زائد الوسط الرابع يساوي ١٦. معنى هذا أن ﺃ زائد اثنين ﺩ زائد ﺃ زائد أربعة ﺩ يساوي ١٦. ونعلم أيضًا أن الوسط الثالث زائد ثمانية يساوي الوسط السابع. إذن ﺃ زائد ثلاثة ﺩ؛ أي الوسط الثالث، زائد ثمانية يساوي ﺃ زائد سبعة ﺩ، أي الوسط السابع. يمكننا تبسيط المعادلة اليسرى إلى اثنين ﺃ زائد ستة ﺩ يساوي ١٦. بالنسبة إلى المعادلة الأخرى، إذا طرحنا ﺃ من كلا الطرفين، فسيصبح لدينا ﺃ ناقص ﺃ في كلا الطرفين.

في النهاية سنحصل على ثلاثة ﺩ زائد ثمانية يساوي سبعة ﺩ. وبطرح ثلاثة ﺩ من الطرفين، نجد أن ثمانية يساوي أربعة ﺩ. ثم نقسم الطرفين على أربعة، لنحصل على اثنين يساوي ﺩ أو ﺩ يساوي اثنين. بعد ذلك، نعوض عن قيمة ﺩ باثنين في المعادلة الثانية؛ حيث تصبح: اثنان ﺃ زائد ستة في اثنين يساوي ١٦. اثنان ﺃ زائد ١٢ يساوي ١٦. بطرح ١٢ من الطرفين، نحصل على: اثنان ﺃ يساوي أربعة. بقسمة الطرفين على اثنين، نجد أن ﺃ يساوي اثنين.

تذكر أن ﺃ هو الحد الأول من المتتابعة، وأن الفرق المشترك؛ أي قيمة ﺩ، يساوي اثنين. هذا يعني أن الحد الثاني سيكون أربعة، والحد الثالث سيكون ستة، وسيستمر النمط هكذا. المتتابعة الحسابية الموصوفة هنا هي متتابعة حدها الأول اثنان، والفرق المشترك بين حدودها اثنان أيضًا.

يختلف المثال الآتي قليلًا. نريد إيجاد عدد الأوساط بين قيمتين معطاتين، وذلك بمعرفة معلومات عن بعض الأوساط الحسابية بين القيمتين.

أوجد عدد الأوساط الحسابية بين ثمانية و٢٣٨، على أن يكون مجموع الوسط الثاني والوسط السادس ٩٦.

دعونا نفكر فيما لدينا من معطيات. لدينا ثمانية و٢٣٨. وعلينا إيجاد عدد الأوساط الحسابية بين هاتين القيمتين، علمًا بأن مجموع الوسط الثاني والوسط السادس ٩٦. لا نعرف أي شيء آخر عن الحدود بين ثمانية و٢٣٨، لكننا نعلم أن كل حدين متتاليين بينهما فرق مشترك. يقع الوسط الثاني على بعد ضعف قيمة الفرق المشترك من الثمانية. والوسط الثاني هو الحد الثالث. لنفترض أن الوسط الثاني يساوي ﺃ.

إذا كان الوسط الثاني هو ﺃ، فإنه سيساوي ثمانية زائد اثنين في الفرق المشترك ﺩ. للانتقال من الوسط الثاني إلى الوسط السادس، علينا إضافة أربعة أمثال هذا الفرق المشترك. لنفترض أن الوسط السادس هو ﺏ. سيمكننا إذن التعبير عن ﺏ بدلالة الحد الأول والفرق المشترك. ‏‏ﺏ سيساوي ثمانية زائد ستة ﺩ. إذا بدأت من ثمانية وأردت الوصول إلى ﺏ، فعليك إضافة الفرق المشترك ست مرات. نعرف أن مجموع الوسط الثاني والوسط السادس ٩٦. أي إن ﺃ زائد ﺏ يساوي ٩٦. يمكننا التعويض عن ﺃ بثمانية زائد اثنين ﺩ، وعن ﺏ بثمانية زائد ستة ﺩ.

وبجمع الحدود المتشابهة، تصبح لدينا المعادلة: ١٦ زائد ثمانية ﺩ يساوي ٩٦. ثم نطرح ١٦ من كلا الطرفين، نحصل على ثمانية ﺩ يساوي ٨٠. وبقسمة الطرفين على ثمانية، نجد أن ﺩ يساوي ١٠. لكن هذا لا يخبرنا بعدد الأوساط الحسابية بين ثمانية و٢٣٨. بل يعني فقط أن الفرق المشترك في هذه المتتابعة هو ١٠.

علينا الآن التفكير في طريقة للانتقال من ثمانية إلى ٢٣٨ باستخدام فرق مشترك يساوي ١٠. نريد أن نعرف إذا بدأنا بالعدد ثمانية، فكم مجموعة من العدد ١٠ علينا جمعها على ثمانية لنصل إلى ٢٣٨؟ نطرح ثمانية من كلا الطرفين، لنحصل على ﺱ في ١٠ يساوي ٢٣٠. وبقسمة الطرفين على ١٠، نجد أن ﺱ يساوي ٢٣. أي إن ثمانية زائد ٢٣ في الفرق المشترك يساوي ٢٣٨. وهذا منطقي. فالفرق المشترك ١٠، إذن ثمانية زائد ٢٣٠ يساوي ٢٣٨. لكن علينا أن نكون حذرين هنا. حيث ينقلنا ٢٣ﺩ من الحد الأول إلى الحد الأخير، لكن المطلوب منا في السؤال هو معرفة عدد الأوساط الحسابية بين ٢٣٨ وثمانية. وهذا يعني أنه علينا التحرك إلى يسار العدد ٢٣٨ خطوة واحدة.

إذن للانتقال من ٢٣٨ إلى الوسط الأخير، علينا طرح ﺩ. سنرمز إلى الوسط الأخير بين ثمانية و٢٣٨ بـ ﺟ، ويقع عند ثمانية زائد ٢٣ﺩ ناقص ﺩ. أي إنه يساوي ثمانية زائد ٢٢ﺩ. ووجود العامل ٢٢ هنا يجعل الوسط رقمه ٢٢، أي إنه يوجد ٢٢ وسطًا حسابيًا بين ثمانية و٢٣٨.

في المثال الأخير، سنحاول أيضًا إيجاد عدد الأوساط الحسابية بين قيمتين. ولكن هذه المرة لدينا النسبة بين مجموعتين مختلفتين من الأوساط.

أوجد عدد الأوساط الحسابية بين اثنين و٢٥٤، إذا كانت النسبة بين مجموع أول وسطين ومجموع آخر وسطين ١١ على ٢٤٥.

دعونا نفكر فيما نعرفه. لدينا متتابعة حدها الأول اثنان وحدها الأخير ٢٥٤. وفي مثل هذه المتتابعات الحسابية، فإن الحد الثاني يساوي الوسط الأول، والحد الثالث يساوي الوسط الثاني. نفترض أن ﺃ هو الوسط الأول وﺏ هو الوسط الثاني. نعلم أنه لكي ننتقل من الحد الأول إلى الحد الثاني، لا بد أن يكون هناك فرق مشترك ﺩ. وينطبق هذا الأمر على جميع الحدود. للانتقال من الحد الثاني إلى الحد الثالث، علينا إضافة فرق مشترك ﺩ. لكن كيف ينبغي لنا الإشارة إلى آخر وسطين؟

إذا بدأنا من الحد الأخير، ٢٥٤، فإن الوسط الأخير سيساوي الحد الأخير ناقص ﺩ. ويمكننا أن نسمي هذا الوسط الأخير ﻫ. وإذا طرحنا الفرق المشترك ﺩ من الوسط الأخير، فسنحصل على الوسط الثاني قبل الأخير. سنكتب أول وسطين بدلالة الحد الأول. ‏‏ﺃ يساوي اثنين زائد ﺩ. وﺏ يساوي اثنين زائد اثنين ﺩ. بعد ذلك يمكننا كتابة ﻫ وﻭ بدلالة الحد الأخير ٢٥٤. ‏‏ﻫ يساوي ٢٥٤ ناقص ﺩ. وﻭ، الوسط الثاني بالنسبة إلى الحد الأخير، يساوي ٢٥٤ ناقص اثنين ﺩ.

النسبة المعطاة لنا هي مجموع أول وسطين على مجموع آخر وسطين. وهذا يعني أن علينا جمع ﺃ وﺏ وجمع ﻫ وﻭ. بالنسبة إلى أول وسطين، مجموعهما أربعة زائد ثلاثة ﺩ. وبالنسبة إلى آخر وسطين، مجموعهما ٥٠٨ ناقص ثلاثة ﺩ. سنأخذ هذين المقدارين ونساويهما بالنسبة ١١ على ٢٤٥. مجموع أول وسطين، أربعة زائد ثلاثة ﺩ، على مجموع آخر وسطين، ٥٠٨ ناقص ثلاثة ﺩ، يساوي ١١ على ٢٤٥.

بإجراء الضرب التبادلي، نحصل على: ٢٤٥ في أربعة زائد ثلاثة ﺩ يساوي ١١ في ٥٠٨ ناقص ثلاثة ﺩ. وعند توزيع الأقواس، نحصل على ٩٨٠ زائد ٧٣٥ﺩ في الطرف الأيمن و٥٥٨٨ ناقص ٣٣ﺩ في الطرف الأيسر. بعد ذلك، نضيف ٣٣ﺩ إلى كلا طرفي المعادلة. ثم نطرح ٩٨٠ من كلا الطرفين لنحصل على ٧٦٨ﺩ يساوي ٤٦٠٨. وبقسمة طرفي المعادلة على ٧٦٨، نجد أن ﺩ يساوي ستة. نعرف الآن أن الفرق المشترك يساوي ستة. وعلينا استخدامه لمعرفة عدد الأوساط بين اثنين و ٢٥٤. أي إن علينا تحديد كيف ننتقل من اثنين إلى ٢٥٤ بزيادات مقدار كل منها يساوي ستة.

جبريًا، يمكننا كتابة ذلك على الصورة: اثنان زائد ﺱ في ستة يساوي ٢٥٤، وبعدها نوجد قيمة ﺱ. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي ٤٢. هذا يعني أننا سنجمع ٤٢ﺩ على الحد الأول، وهو اثنان، لنحصل على ٢٥٤. لكن لكي نصل إلى الوسط الأخير، علينا إضافة ٤١ﺩ فقط. وبما أن الوسط الأخير يساوي اثنين زائد ٤١ﺩ، إذن يوجد ٤١ وسطًا حسابيًا بين اثنين و٢٥٤.

قبل أن ننهي الفيديو، دعونا نراجع النقاط الأساسية. تعرف الحدود بين أي حدين غير متتاليين في متتابعة حسابية بالأوساط الحسابية. لحساب الوسط الحسابي، نقسم مجموع القيم على عددها. باستخدام هذه الخاصية، يمكننا إيجاد عدد الأوساط الحسابية بين أي قيمتين معطاتين.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.