فيديو السؤال: إيجاد نهاية حاصل ضرب الدوال الخطية والمثلثية الرياضيات

أوجد نها_(ﺱ → 𝜋‏/‏٣) ٧ﺱ جتا ﺱ.

٠٤:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لسبعة ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ.

نرى أن السؤال يطلب منا إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لسبعة ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ. يمكننا أن نرى أن هذه هي نهاية دالة خطية مضروبة في دالة مثلثية. نريد إيجاد تلك النهاية باستخدام طريقة التعويض المباشر، لكن دعونا نتحقق من إمكانية فعل ذلك في هذه الحالة.

أولًا، نتذكر أنه يمكننا إيجاد نهاية أي دالة كثيرة الحدود باستخدام طريقة التعويض المباشر. وبما أن سبعة ﺱ دالة خطية وكذلك كثيرة الحدود؛ فهذا يعني أنه يمكننا في الواقع إيجاد نهاية سبعة ﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر. وبعد ذلك، نعلم أيضًا أنه يمكننا إيجاد نهاية دالة مثلثية باستخدام طريقة التعويض المباشر إذا كنا نتحدث عن النهاية عندما يقترب ﺱ من قيمة ما داخل مجال هذه الدالة المثلثية.

الدالة المثلثية في هذا السؤال هي جتا ﺱ، التي نعرف أنها معرفة لكل قيم ﺱ. ويعني هذا أنه يمكننا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لـ جتا ﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر. لكننا لا نريد إيجاد نهاية كل دالة من هاتين الدالتين على حدة باستخدام طريقة التعويض المباشر. بل نريد إيجاد نهاية حاصل ضربهما باستخدام طريقة التعويض المباشر.

في هذه المرحلة، توجد طريقتان مختلفتان لإيجاد هذه النهاية. أولًا، يمكننا استخدام حقيقة أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايتين. وباستخدام تلك الطريقة، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لسبعة ﺱ في جتا ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لسبعة ﺱ في النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لـ جتا ﺱ.

نلاحظ أن النهاية الأولى هي نهاية كثيرة حدود والنهاية الثانية هي نهاية دالة مثلثية. لذا، يمكننا إيجاد قيمة كل من هاتين النهايتين باستخدام طريقة التعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بـ 𝜋 على ثلاثة، نحصل على سبعة في 𝜋 على ثلاثة مضروبًا في جتا𝜋 على ثلاثة. ونعلم أن جتا𝜋 على ثلاثة يساوي نصفًا. إذن، يمكننا حساب هذا التعبير لنحصل على سبعة 𝜋 على ستة.

لكننا لا نحتاج في الواقع إلى تقسيم هذه النهاية إلى حاصل ضرب نهايتين. نعلم أنه إذا كان بإمكاننا إيجاد نهاية الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر عندما يقترب ﺱ من قيمة ما لـ ﺃ، فسيكون بإمكاننا أيضًا إيجاد حاصل ضربهما باستخدام طريقة التعويض المباشر. لذا، لاستخدام ذلك في النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لسبعة ﺱ في جتا ﺱ، مثلما فعلنا من قبل، فنحن نعلم أنه يمكننا إيجاد النهاية سبعة ﺱ ونهاية جتا ﺱ عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة باستخدام طريقة التعويض المباشر. لأن سبعة ﺱ هي دالة كثيرة الحدود، وجتا ﺱ هي دالة مثلثية.

لذا، يمكننا محاولة إيجاد هذا التعبير بالتعويض عن ﺱ بـ 𝜋 على ثلاثة. لذلك، بالتعويض عن ﺱ بـ 𝜋 على ثلاثة، نحصل على سبعة في 𝜋 على ثلاثة في جتا𝜋 على ثلاثة. ومرة أخرى، يمكننا إيجاد هذا التعبير لنحصل على سبعة 𝜋 على ستة. بذلك نكون قد أثبتنا باستخدام طريقة التعويض المباشر أن النهاية، عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ثلاثة لسبعة ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ، تساوي سبعة 𝜋 على ستة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.