نسخة الفيديو النصية
أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة دﺱ يساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا، وﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من صفر على الفترة المغلقة من سالب خمسة إلى ١٣.
لإيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة، علينا التفكير في عدد من الأمور. لكننا سنبحث أولًا عن النقاط الحرجة للدالة. وهي النقاط التي تكون عندها قيمة المشتقة الأولى تساوي صفرًا. ويمكن أن تشير إلى قيم عظمى محلية وقيم صغرى محلية. إذا أردنا إيجاد نقطة قيمة قصوى مطلقة، فعلينا أيضًا التفكير في طرفي الفترة لهذه الدالة. حسنًا، سنبدأ باشتقاق الدالة بالنسبة إلى ﺱ.
الدالة لدينا متعددة التعريف. لذا، سنشتق كلا الجزأين. لنبدأ باشتقاق ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. مشتقة ﺱ تكعيب تساوي ثلاثة ﺱ تربيع. وعند اشتقاق ثلاثة ﺱ تربيع، نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. إذن، نحصل على اثنين في ثلاثة ﺱ، وهو ما يساوي ستة ﺱ. وبذلك، عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي صفرًا، فإن المشتقة تساوي ثلاثة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ.
سنشتق الآن ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. مشتقة ﺱ تربيع تساوي اثنين ﺱ، ومشتقة سالب ستة ﺱ تساوي سالب ستة. وبذلك، نكون قد أوجدنا المشتقة الأولى. علينا الآن أن نساوي كل جزء من هذه الدالة بصفر، ونوجد قيمة ﺱ. لنجعل ثلاثة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ يساوي صفرًا. سنحلل هذا التعبير الموجود في الطرف الأيمن. لكن عندما نفعل ذلك، نجد أن ثلاثة ﺱ في ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. ولكي يكون هذا المقدار صحيحًا، فإما أن ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺱ يجب أن يساوي صفرًا، وإما أن ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺱ يجب أن يساوي سالب اثنين.
لنجعل الجزء الآخر من المشتقة يساوي صفرًا. لدينا اثنين ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا. وهذه المرة، سنوجد الحل بإضافة ستة إلى كلا الطرفين. بعد ذلك، نقسم الطرفين على اثنين. نجد أن ﺱ يساوي ثلاثة هو موضع النقطة الحرجة الثالثة. نحن نريد إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة. إذن، سنحسب قيمة الدالة عند كل نقطة من النقاط الحرجة الثلاث وعند طرفي الفترة. لذا، لدينا القيم الحرجة ﺱ يساوي صفرًا وسالب اثنين وثلاثة، وطرفا الفترة هما ﺱ يساوي سالب خمسة وﺱ يساوي ١٣.
علينا الانتباه جيدًا إلى الجزء الذي نستخدمه من الدالة. تذكر أنها دالة متعددة التعريف. ومن ثم، فإن للدالة جزأين مختلفين حسب قيمة ﺱ المستخدمة. فعند ﺱ يساوي صفرًا، تكون الدالة التي نستخدمها هي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع. إذن، د لصفر يساوي صفر تكعيب زائد ثلاثة في صفر تربيع، وهو ما يساوي صفرًا. وبالمثل، عندما يكون ﺱ أقل من صفر، نستخدم الدالة نفسها. ﺱ هنا يساوي سالب اثنين. وبذلك، نحصل على سالب اثنين تكعيب زائد ثلاثة في سالب اثنين تربيع، وهو ما يساوي أربعة. عند القيمة الحرجة الثالثة، فإن ﺱ يساوي ثلاثة. وهذا أكبر من صفر. لذا نستخدم الجزء الثاني من الدالة متعددة التعريف. فنحصل على ثلاثة تربيع ناقص ستة في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب تسعة.
نعود إلى الدالة الأولى، حيث ﺱ يساوي سالب خمسة. نعوض بذلك في ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع، ونجد أن د لسالب خمسة يساوي سالب ٥٠. القيمة الأخيرة التي علينا التأكد منها هي ﺱ يساوي ١٣. مرة أخرى، هذه القيمة أكبر من صفر. إذن، نعوض بذلك في ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ. وهذا يعطينا ٩١.
قلنا إن القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ستقع إما عند النقاط الحرجة أو عند طرفي الفترة. حسنًا، نلاحظ هنا أن القيمة الصغرى المطلقة تساوي سالب ٥٠. وهذا يحدث عندما يكون ﺱ يساوي سالب خمسة، في حين أن القيمة العظمى المطلقة تساوي ٩١.
إذن، القيمة الصغرى المطلقة تساوي سالب ٥٠، والقيمة العظمى المطلقة للدالة تساوي ٩١.
