فيديو السؤال: حساب طرح متجهين في الصورة المركبة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل الآتي المتجهين ‪𝐀‬‏، ‪𝐁‬‏. احسب ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏ في الصورة المركبة.

معطى لدينا في هذا السؤال متجهان في الصورة البيانية، ومطلوب منا إيجاد قيمة طرح المتجهين ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏ في الصورة المركبة. ثمة خطوتان مطلوبتان للوصول إلى الإجابة. علينا طرح المتجه ‪𝐁‬‏ من المتجه ‪𝐀‬‏. وعلينا تحويل الناتج إلى الصورة المركبة بدلًا من الصورة البيانية.

ثمة طريقتان مختلفتان لحل هذه المسألة؛ حيث يمكننا إجراء هاتين الخطوتين بأي ترتيب. يمكننا اختيار طرح المتجهين باستخدام طريقة بيانية ثم تحويل الناتج إلى الصورة المركبة. أو يمكننا تحويل المتجهين ‪𝐀‬‏، ‪𝐁‬‏ إلى الصورة المركبة ثم طرح هذين المتجهين جبريًّا. هاتان الطريقتان متكافئتان تمامًا، ومن ثم ستعطينا كلتاهما نتيجة واحدة.

في هذا الفيديو، سنستخدم الطريقة الأولى. نبدأ بطرح المتجه ‪𝐁‬‏ من المتجه ‪𝐀‬‏ باستخدام طريقة بيانية، ثم نحول الناتج إلى الصورة المركبة. مطلوب منا إيجاد ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏، وهو ما يماثل إضافة سالب المتجه ‪𝐁‬‏ إلى المتجه ‪𝐀‬‏. يمكننا كتابة ذلك في صورة ‪𝐀‬‏ زائد سالب ‪𝐁‬‏. للحصول على سالب متجه، نأخذ ببساطة هذا المتجه ونقوم بتدويره بزاوية قدرها 180 درجة حول موضع بدايته. لنرسم إذن المتجه سالب ‪𝐁‬‏ على هذا الشكل. نلاحظ أن المتجه سالب ‪𝐁‬‏ هو متجه له طول المتجه ‪𝐁‬‏ ويبدأ من النقطة نفسها، لكن تم تدويره بزاوية قدرها 180 درجة بحيث يشير إلى الاتجاه المعاكس.

الآن، علينا إيجاد مجموع ‪𝐀‬‏ وسالب ‪𝐁‬‏. لجمع متجهين بيانيًّا، يمكننا استخدام طريقة الرأس للذيل. في طريقة الرأس للذيل، ننقل أحد المتجهين بحيث يقع ذيله على رأس المتجه الآخر. إذن، مجموع هذين المتجهين هو المتجه المرسوم من ذيل المتجه الذي لم ينقل إلى رأس المتجه المنقول. دعونا إذن نطبق ذلك على المتجهين ‪𝐀‬‏ وسالب ‪𝐁‬‏. نبدأ بنقل المتجه سالب ‪𝐁‬‏ بحيث يقع ذيله عند رأس المتجه ‪𝐀‬‏. الآن، يمكننا رسم المتجه الذي يساوي مجموع ‪𝐀‬‏ وسالب ‪𝐁‬‏. هذا يبدأ من ذيل المتجه الذي لم ينقل، وهو في هذه الحالة المتجه ‪𝐀‬‏. أي إن المتجه يبدأ من هنا. ثم يمتد إلى رأس المتجه المنقول، وهو في هذه الحالة المتجه سالب ‪𝐁‬‏. أي عند هذا الموضع هنا. إذن، مجموع المتجهين ‪𝐀‬‏ زائد سالب ‪𝐁‬‏ يساوي هذا السهم البرتقالي هنا.

بذلك، نحصل على تمثيل بياني للمتجه ‪𝐀‬‏ زائد سالب ‪𝐁‬‏. ونحن نعلم أن هذا يساوي المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏، وهو المطلوب منا إيجاده. لقد تمكنا من طرح المتجهين بيانيًّا، ويمكننا التحقق من الخطوة الأولى. كل ما علينا فعله هو تحويل هذه النتيجة إلى الصورة المركبة. لفعل ذلك، علينا قراءة عدد الوحدات التي يمتد بها المتجه في كل من الاتجاهين ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏. إذا نظرنا إلى السهم البرتقالي في الشكل، فسنلاحظ أنه يمتد في الاتجاه ‪𝑥‬‏ بمقدار وحدة واحدة، وحدتين، ثلاث، أربع، خمس، ست، سبع وحدات. ويمتد في الاتجاه ‪𝑦‬‏ بمقدار وحدة واحدة، وحدتين في الاتجاه السالب ‪𝑦‬‏.

لنتذكر كيف يمكننا كتابة المتجه العام، الذي سنرمز إليه بحرف ‪𝐕‬‏ الكبير إشارة إلى المتجه في الصورة المركبة. لدينا ‪𝑉‬‏ يساوي المركبة ‪𝑥‬‏؛ أي ‪𝑉𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝐢‬‏ هات؛ أي متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏، زائد المركبة ‪𝑦‬‏؛ أي ‪𝑉𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝐣‬‏ هات؛ أي متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏. المركبة ‪𝑥‬‏ هي ببساطة عدد الوحدات التي يمتد بها المتجه في الاتجاه ‪𝑥‬‏. والمركبة ‪𝑦‬‏ هي عدد الوحدات التي يمتد بها المتجه في الاتجاه ‪𝑦‬‏.

المتجه الذي نحاول كتابته في الصورة المركبة هو المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏. لقد وجدنا أن هذا المتجه يمتد بمقدار سبع وحدات في الاتجاه ‪𝑥‬‏. إذن، المركبة ‪𝑥‬‏ لهذا المتجه هي سبعة. ثم نضرب في متجه الوحدة ‪𝐢‬‏ هات. وجدنا أيضًا أن المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏ يمتد بمقدار سالب وحدتين في الاتجاه ‪𝑦‬‏. إذن، المركبة ‪𝑦‬‏ تساوي سالب اثنين، مضروبًا في متجه الوحدة ‪𝐣‬‏ هات.

إذن، تمكنا من تحويل الناتج إلى الصورة المركبة. ووجدنا أن المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏ يساوي سبعة ‪𝐢‬‏ هات زائد سالب اثنين ‪𝐣‬‏ هات، وهو ما يمكننا تبسيطه إلى سبعة ‪𝐢‬‏ هات ناقص اثنين ‪𝐣‬‏ هات. إذن، الإجابة عن السؤال هي أن طرح المتجهين ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏ يساوي سبعة ‪𝐢‬‏ هات ناقص اثنين ‪𝐣‬‏ هات.