فيديو السؤال: إيجاد قوة التصادم لجسم يسقط رأسيًّا على أرضية أفقية ويرتد مرة أخرى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

سقطت كرة كتلتها ٨٣ جرامًا رأسيًّا من السكون من ارتفاع ٨٫١ أمتار على أرضية أفقية. ارتدت الكرة لأعلى حتى وصلت إلى ارتفاع ٣٫٦ أمتار. إذا كانت مدة التصادم ٠٫٤٢ ثانية، وعجلة الجاذبية الأرضية ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، فأوجد متوسط قوة التصادم لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن في هذا السؤال، سنتناول كرة تسقط على الأرض من ارتفاع ٨٫١ أمتار. نعرف من المعطيات أن الكرة ترتد لأعلى مرة أخرى إلى ارتفاع جديد يبلغ ٣٫٦ أمتار. ونعرف أيضًا من المعطيات كتلة الكرة، ومدة التصادم، وعجلة الجاذبية الأرضية، ومطلوب منا حساب متوسط قوة التصادم. الآن، عند التفكير في قوة التصادم، فإننا نفكر بوجه عام في القوة التي يؤثر بها جسم يتحرك على الشيء الذي يصطدم به. ومن ثم، في هذا السؤال، يمكننا التفكير في قوة التصادم باعتبارها القوة التي تؤثر بها الكرة على الأرض خلال الفترة الزمنية القصيرة التي يتلامسان فيها.

ومع ذلك، يخبرنا قانون نيوتن الثالث بأن لكل فعل رد فعل مساويًا له في المقدار ومضادًّا له في الاتجاه، وهو ما يعني أنه عندما تؤثر الكرة بقوة ما على الأرض، فإن الأرض تؤثر على الكرة بقوة مساوية في المقدار لقوة الكرة ومضادة لها في الاتجاه. وفي هذا السؤال، هذه هي القوة التي سنتناولها باعتبارها قوة التصادم. نعرف من معطيات السؤال أن مدة التصادم ٠٫٤٢ ثانية، ومن ثم نعرف أنه توجد قوة تصادم تستمر لمدة ٠٫٤٢ ثانية، وأن هذه القوة كافية لتغيير حركة الكرة من الحركة لأسفل إلى الحركة لأعلى. تحديدًا، نريد إيجاد متوسط قيمة هذه القوة خلال الـ٠٫٤٢ ثانية.

هذا السؤال معقد إلى حد ما؛ لأن حركة الكرة تتغير باستمرار. في البداية، الكرة تسقط؛ لذا تخضع لعجلة الجاذبية الأرضية الثابتة. بعد ذلك، تصطدم بالأرض، خلال الوقت الذي تؤثر عليها فيه قوة غير معلومة لمدة ٠٫٤٢ ثانية. وأخيرًا، ترتد الكرة، وهو ما يعني أنها تتسارع مرة أخرى لأسفل بفعل الجاذبية الأرضية. لم نحصل هذه المرة إلا على السرعة المتجهة لأعلى. والآن، على الرغم من الحركة المعقدة نسبيًّا للكرة، فإن إجابتنا على هذا السؤال ستعتمد على معادلة واحدة بسيطة للغاية، وهي ﺩ يساوي ﻕ في Δﻥ. بعبارة أخرى، الدفع ﺩ الذي يتعرض له جسم ما يساوي القوة ﻕ التي تؤثر على هذا الجسم مضروبة في الزمن Δﻥ الذي تؤثر خلاله هذه القوة.

والآن، بما أن ما يعنينا هو إيجاد القوة التي تؤثر على الكرة، فيمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل ﻕ هو المتغير التابع بقسمة الطرفين على Δﻥ، وهو ما يعطينا ﻕ يساوي ﺩ على Δﻥ. تذكر أن الدفع يكافئ التغير في كمية الحركة. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير لتصبح المعادلة على الصورة ﻕ يساوي Δﻣ على Δﻥ؛ حيث يمثل Δﻣ التغير في كمية حركة الكرة. تشكل هذه المعادلة أساس إجابتنا. إذا استطعنا إيجاد التغير في كمية حركة الكرة أثناء ارتدادها وقسمناه على مدة التصادم، فسيخبرنا هذا بمتوسط القوة التي تؤثر على الكرة أثناء التصادم. وبما أن لدينا في المعطيات Δﻥ، وهو زمن التصادم، فكل ما علينا فعله هو إيجاد Δﻣ.

الآن، وللتوضيح فقط، بما أننا معنيون بمتوسط القوة التي تؤثر على الكرة أثناء التصادم، فهذا يعني أن التغير في كمية الحركة Δﻣ الذي يعنينا هو التغير في كمية حركة الكرة التي تحدث خلال التصادم. وهذا يعني أن ما يعنينا هو التغير في كمية الحركة الذي يحدث بين اللحظة التي يصطدم فيها الجسم بالأرض، أي اللحظة التي يتحرك فيها لأسفل، واللحظة التي يرتد فيها الجسم بعد التصادم بالأرض، أي اللحظة التي يتحرك فيها لأعلى. لذا، إذا قلنا إنه عندما تصطدم الكرة بالأرض، تكون كمية حركتها معطاة بدلالة ﻣ الذي يمثل الاصطدام، وعندما ترتد عن الأرض، تكون كمية حركتها معطاة بدلالة ﻣ الذي يمثل الارتداد، فيمكننا القول إن التغير في كمية الحركة Δﻣ يساوي ﻣ الارتداد ناقص ﻣ الاصطدام.

وحيث إن كمية حركة جسم ما ﻣ تساوي كتلته ﻙ مضروبة في سرعته المتجهة ﻉ، ونعرف من معطيات السؤال كتلة الكرة؛ فمن ثم، لحساب كمية حركة الكرة أثناء اصطدامها بالأرض وعند ارتدادها، علينا حساب سرعتها المتجهة عند هاتين اللحظتين. لحسن الحظ، من الممكن حساب هاتين السرعتين المتجهتين باستخدام معادلة حركة واحدة؛ ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. وهذا يخبرنا أنه لأي جسم يتحرك بعجلة ثابتة ﺟ، فإن مربع سرعته المتجهة النهائية يساوي مربع سرعته المتجهة الابتدائية زائد اثنين مضروبًا في عجلته مضروبة في إزاحته. سنطبق هذه المعادلة مرتين؛ مرة لإيجاد السرعة المتجهة للكرة أثناء اصطدامها بالأرض، وسنسميها ﻉ الاصطدام، ومرة أخرى لحساب سرعتها المتجهة عندما ترتد من الأرض، وسنسميها ﻉ الارتداد.

في هذه المرحلة، علينا ملاحظة أن معظم الكميات التي نتعامل معها في هذا السؤال هي كميات متجهة. وهذا يتضمن كمية الحركة، والقوة، والسرعة المتجهة النهائية، والسرعة المتجهة الابتدائية، والعجلة، والإزاحة. وبما أن كل هذه الكميات متجهات، فهذا يعني أنها يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة أو سالبة بناء على اتجاه تأثيرها. لذا علينا الاهتمام بتحديد أي اتجاه هو الاتجاه الموجب، وأي اتجاه هو الاتجاه السالب. لذا، في هذا السؤال، لنفترض أن أي متجه يشير إلى أعلى يكون موجبًا، وأي متجه يشير إلى أسفل يكون سالبًا.

حسنًا، الآن هيا نستخدم هذه المعادلة لحساب السرعة المتجهة للجسم عند اصطدامه بالأرض. لفعل ذلك، علينا التفكير في الجزء الأول من حركة الكرة، أي عندما تسقط على الأرض من ارتفاع ٨٫١ أمتار. بالتفكير في هذا الجزء من حركة الكرة، دعونا نتناول القيم التي تأخذها هذه المتغيرات. ‏ﻉ هو السرعة المتجهة النهائية للجسم. لذا في هذه الحالة، هذه هي السرعة المتجهة للكرة عند اصطدامها بالأرض. وهي الكمية التي نحاول إيجادها، وقد أطلقنا عليها ﻉ الاصطدام. بعد ذلك، لدينا ﻉ صفر. وهي السرعة المتجهة الابتدائية للجسم. وهي، في هذه الحالة، تساوي صفرًا من الأمتار لكل ثانية؛ لأننا نفترض أن الكرة تسقط من السكون.

بعد ذلك، لدينا عجلة الجسم ﺟ. بما أن الجسم يسقط تحت تأثير الجاذبية الأرضية، والعجلة الناتجة عن الجاذبية الأرضية في السؤال تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية تربيع، فإن ﺟ يأخذ القيمة سالب ٩٫٨ أمتار لكل ثانية تربيع؛ لأن هذه العجلة تؤثر في الاتجاه السالب. وأخيرًا، ﻑ هو إزاحة الكرة خلال هذا السقوط. وبما أن الكرة تسقط من ارتفاع ٨٫١ أمتار إلى الأرض، فإنها أزيحت ٨٫١ أمتار في الاتجاه السالب. وعليه، فإن ﻑ يأخذ قيمة مقدارها سالب ٨٫١ أمتار. والتعويض بكل هذه القيم في المعادلة، يعطينا المعادلة ﻉ الاصطدام تربيع يساوي صفرًا تربيع زائد اثنين في سالب ٩٫٨ في سالب ٨٫١، وهو ما يساوي ١٥٨٫٧٦. وبما أن هذه هي قيمة ﻉ الاصطدام تربيع، فإننا نعرف أن ﻉ الاصطدام يساوي الجذر التربيعي لـ١٥٨٫٧٦، وهو ما يساوي .٦١٢.

أحد الأشياء التي يجب أن ننتبه إليها هنا هو أنه عند أخذ الجذر التربيعي لعدد ما، تكون له إجابتان في الواقع، على صورة الجذر التربيعي الموجب والجذر التربيعي السالب. إذن، يمكننا القول إن الجذر التربيعي لـ١٥٨٫٧٦ هو موجب .٦١٢ أو سالب .٦١٢. والآن، عندما نتعامل مع مسائل مادية، مثل الكرة التي ترتد بعد الاصطدام بالأرض، غالبًا ما نجد أن علينا اختيار إما الحل الموجب أو السالب، بناء على ما يتضح لنا في المسألة. في هذه الحالة، نعرف أن ﻉ الاصطدام يؤثر لأسفل؛ لأن الكرة تسقط. ولأننا قررنا بالفعل أن أي متجه يؤثر لأسفل تكون قيمته سالبة، فهذا يعني أننا نعلم أن ﻉ الاصطدام تكون قيمته سالبة. ومن ثم، في هذه الحالة، نختار الجذر التربيعي السالب. وبناء عليه، فإن ﻉ الاصطدام يساوي سالب .٦١٢ مترًا لكل ثانية.

والآن بعد أن أوجدنا السرعة المتجهة للجسم بمجرد اصطدامه بالأرض، يمكننا حساب كمية حركته عند هذه النقطة، أي ﻣ الاصطدام، بضرب ﻉ الاصطدام في كتلة الكرة ﻙ. ونعرف من معطيات السؤال أن كتلة الكرة تساوي ٨٣ جرامًا، وهو ما يساوي ٠٫٠٨٣ كيلوجرام بالوحدات القياسية. وهذا يعني أن ﻣ الاصطدام يساوي ٠٫٠٨٣ في سالب ٦٫١٢، وهو ما يعطينا كمية الحركة تساوي سالب ١٫٠٤٥٨ كيلوجرام متر لكل ثانية. لندون ذلك كملاحظة هنا. والآن دعونا نستخدم معادلة الحركة نفسها لحساب السرعة المتجهة للكرة أثناء ارتدادها عن الأرض. هذه المرة، ما يعنينا هو القيم التي تأخذها هذه المتغيرات خلال حركة الكرة لأعلى من الأرض إلى الارتفاع ٣٫٦ أمتار.

في هذه الحالة، ﻉ، وهي السرعة المتجهة النهائية للكرة، تساوي صفرًا من الأمتار لكل ثانية. وهذا لأن السرعة المتجهة للكرة تساوي صفرًا لحظيًّا عندما تصل إلى أقصى ارتفاع لها. السرعة المتجهة الابتدائية للكرة ﻉ صفر خلال هذه الحركة هي السرعة المتجهة التي تترك عندها الكرة الأرض، وقد عرفناها بأنها ﻉ الارتداد. عجلة الكرة هي نفسها التي كانت من قبل. ومع أن الكرة هذه المرة تتحرك لأعلى، فإنها لا تزال تتسارع لأسفل بسبب الجاذبية الأرضية. لذا، مرة أخرى، ﺟ تأخذ قيمة سالب ٩٫٨ أمتار لكل ثانية تربيع. وأخيرًا، بما أن الجسم يتحرك لأعلى من الأرض إلى ارتفاع ٣٫٦ أمتار، فإن الإزاحة ﻑ تساوي موجب ٣٫٦ أمتار. التعويض بهذه القيم في المعادلة مرة أخرى، يعطينا المعادلة: صفر تربيع يساوي ﻉ الارتداد تربيع زائد اثنين في سالب ٩٫٨ في ٣٫٦.

والآن نحاول إيجاد قيمة ﻉ الارتداد. إذن، يمكننا البدء بحساب قيمة اثنين في سالب ٩٫٨ في ٣٫٦، وهو ما يساوي سالب ٧٠٫٥٦. ثم نضيف ٧٠٫٥٦ إلى كلا طرفي المعادلة لنحصل على ﻉ الارتداد تربيع يساوي ٧٠٫٥٦. بعد ذلك، يمكننا أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، وهو ما يخبرنا أن ﻉ الارتداد يساوي الجذر التربيعي لـ ٧٠٫٥٦، وهو ما يساوي ٨٫٤. مرة أخرى، بما أننا حصلنا على هذه السرعة المتجهة بأخذ الجذر التربيعي لعدد ما، فيمكننا اختيار القيمة الموجبة أو السالبة بناء على ما نعرفه عن السؤال. في هذه الحالة، بما أننا نعرف أن ﻉ الارتداد هو سرعة متجهة في الاتجاه الموجب، فإننا نختار الحل موجب ٨٫٤، ووحدة قياسها هي أمتار لكل ثانية.

أصبح لدينا الآن السرعة المتجهة للكرة عند هذه النقطة، ويمكننا حساب كمية الحركة المناظرة بضرب السرعة المتجهة التي مقدارها ٨٫٤ أمتار لكل ثانية في كتلة الكرة، وهي ٠٫٠٨٣ كيلوجرام، وهو ما يعطينا قيمة كمية حركة الكرة بعد ارتدادها مباشرة تساوي ٠٫٦٩٧٢ كيلوجرام متر لكل ثانية. حسنًا، أوجدنا الآن كمية حركة الكرة قبل اصطدامها بالأرض وبعد ارتدادها من الأرض. ويمكننا الآن حساب التغير في كمية الحركة Δﻣ التي حدثت أثناء التصادم. ‏ﻣ الارتداد ناقص ﻣ الاصطدام يساوي ٠٫٦٩٧٢ ناقص سالب ١٫٠٤٥٨، وهو ما يعطينا تغيرًا إجماليًّا في كمية الحركة يساوي ١٫٧٤٣ كيلوجرام متر لكل ثانية. وهنا يمكننا أن نلاحظ سبب أهمية متابعة المتجهات الموجبة والسالبة. كان من الممكن أن نحصل بسهولة على إجابة مختلفة إذا كانت إشارة أي من هاتين القيمتين خاطئة.

على أي حال، بما أننا أوجدنا الآن التغير في كمية حركة الكرة أثناء التصادم، فيمكننا التعويض بهذه القيمة في هذه المعادلة بالإضافة إلى مدة التصادم Δﻥ لنحصل على متوسط قوة التصادم. ‏١٫٧٤٣ كيلوجرام متر لكل ثانية مقسومًا على ٠٫٤٢ ثانية يعطينا الإجابة النهائية ٤٫١٥ نيوتن. وبالتحقق من السؤال مجددًا، يمكننا ملاحظة أننا قد توصلنا بالفعل إلى الإجابة لأقرب عدد صحيح من المنازل العشرية. وبناء عليه، إذا سقطت كرة كتلتها ٨٣ جرامًا رأسيًّا من ارتفاع ٨٫١ أمتار، ثم ارتدت لتصل إلى ارتفاع ٣٫٦ أمتار، فإذا كانت مدة التصادم ٠٫٤٢ ثانية، يمكننا حساب أن متوسط قوة التصادم يساوي ٤٫١٥ نيوتن.