فيديو الدرس: الأوتار والمماسات المتوازية في الدائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الأوتار المتوازية في دائرة والمماسات والأوتار المتوازية لاستنتاج قياسات الأقواس المتساوية المحصورة بينها، ونوجد أطوالًا أو زوايا ناقصة. دعونا نبدأ بمراجعة بعض المصطلحات الرئيسية للدوائر. انظر إلى هذه الدائرة التي مركزها عند النقطة ﻡ. الوتر هو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على محيط الدائرة. في هذا الشكل، القطعة المستقيمة ﺃﺏ، الممثلة بقطعة مستقيمة فوق الحرفين ﺃﺏ، هي وتر في الدائرة. أما مماس الدائرة فهو مستقيم يقطع الدائرة مرة واحدة فقط. في الشكل الموضح أمامنا، المستقيم ﺟﺩ، الممثل بسهم له رأسان فوق ﺟﺩ، هو مماس للدائرة عند النقطة ﻝ.

عند إضافة المستقيمين إلى دائرة، فإن النقاط التي يقطعان عندها الدائرة تقسم محيطها إلى عدد من الأقواس. على سبيل المثال، يوجد قوسان بين النقطتين ﺃ وﺏ. يعرف القوس القصير بالقوس الأصغر ﺃﺏ. وهو القوس الذي قياسه أقل من ١٨٠ درجة. ونستخدم رمز القوس فوق الحرفين ﺃﺏ لتمثيله. بالانتقال من ﺃ إلى ﺏ في الاتجاه المعاكس، يكون قياس القوس أكبر من ١٨٠ درجة، ويسمى بالقوس الأكبر. إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها التمييز بين القوس الأصغر والقوس الأكبر هي تضمين النقطة ﻝ عند تمثيل القوس الأكبر. يمكننا كتابة هذا القوس الأكبر على صورة القوس ﺃﻝﺏ.

مع وضع هذه التعريفات في الاعتبار، يمكننا تعريف نظرية تربط بين الأوتار المتوازية والأقواس في الدائرة. تخبرنا هذه النظرية أن قياسات الأقواس المحصورة بين أوتار متوازية في دائرة تكون متساوية. في هذا الشكل، بما أن ﺃﺏ يوازي القطعة المستقيمة ﺩﺟ، فإن قياس القوس ﺃﺟ، الموجود هنا، يساوي قياس القوس ﺏﺩ. هذا يعني أيضًا أن هذين القوسين متطابقان. ويعد ذلك مفيدًا جدًّا في حل المسائل.

على الرغم من أن إثبات هذه النظرية خارج نطاق هذا الفيديو، فمن خلال معرفتنا بالزوايا والمستقيمات المتوازية والقاطع لها والزوايا المحيطية في الدائرة، يمكننا إثباتها باتباع عدة خطوات. دعونا نطبق هذه النظرية إلى جانب بعض الخواص الأخرى للأوتار لإيجاد قياس قوس.

في الشكل المعطى، إذا كان قياس القوس ﺏﺩ يساوي ٦٥ درجة، فأوجد قياس القوس ﺟﺩ.

في الشكل الموضح أمامنا، نلاحظ أن لدينا وترين متوازيين. بعبارة أخرى، القطعة المستقيمة ﺃﺏ توازي القطعة المستقيمة ﺟﺩ. ونتذكر كذلك أن القوسين الناتجين عن وترين متوازيين متطابقان. إذن، القوس ﺃﺟ والقوس ﺏﺩ متطابقان، وهو ما يعني أن قياسي هذين القوسين يجب أن يكونا متساويين. وعليه، نجد أن قياس القوس ﺃﺟ يساوي ٦٥ درجة.

بعد ذلك، نرى أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ تمر بمركز الدائرة. لذا، لا بد أنها تمثل قطر الدائرة. هذا يعني أنها تقسم هذه الدائرة إلى نصفين بالضبط. وهكذا، نقول إن قياس كلا القوسين ﺃﺏ يساوي ١٨٠ درجة. ما يعنينا هنا هو جزء الدائرة الذي يمر بالنقطتين ﺟ وﺩ. ونسمي ذلك قياس القوس ﺃﺟﺩﺏ. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد قياس القوس ﺟﺩ. نعرف الآن أن قياس جميع الأقواس المحصورة بين ﺃ وﺏ هو ١٨٠ درجة. ومن ثم، يمكننا القول إن مجموع قياس القوس ﺃﺟ، وقياس القوس ﺟﺩ، وقياس القوس ﺩﺏ يساوي ١٨٠. لكن تذكر أننا قلنا إن القوسين ﺃﺟ وﺩﺏ متطابقان، وقياس كل منهما يساوي ٦٥ درجة. إذن، تصبح المعادلة التي لدينا هي ٦٥ درجة زائد قياس القوس ﺟﺩ زائد ٦٥ درجة أخرى يساوي ١٨٠. بعد ذلك، نبسط الطرف الأيمن.

نحل الآن هذه المعادلة لإيجاد قياس القوس ﺟﺩ بطرح ١٣٠ من كلا الطرفين. فنحصل على ١٨٠ ناقص ١٣٠، وهو ما يساوي ٥٠. إذن، قياس القوس ﺟﺩ يساوي ٥٠ درجة.

والآن، بعد أن عرضنا هذه النظرية، توجد خاصية أخرى تنطبق على الأوتار المتوازية ذات الأطوال المتساوية. تخبرنا هذه النظرية أنه إذا كان وتران متوازيين ومتساويين في الطول، فإن القوسين المحصورين بين طرفي كل من هذين الوترين يكونان متساويين في القياس. في الشكل الموضح، الوتران ﺃﺏ وﺟﺩ متوازيان ومتساويان في الطول. لذا، فمن البديهي أن يكون قياس القوس ﺃﺏ مساويًا لقياس القوس ﺟﺩ. في المثال الآتي، سنوضح كيف يمكننا تطبيق هذه الخاصية.

في الشكل المعطى، قياس القوس ﺃﺏ يساوي ٦٢ درجة، وقياس القوس ﺏﺟ يساوي ١١٠ درجات، وقياس القوس ﺃﺩ يساوي ١٢٦ درجة. ما الذي يمكننا استنتاجه عن القطعتين المستقيمتين ﺃﺩ وﺏﺟ؟ (أ) أنهما متوازيتان. (ب) أنهما غير متوازيتين ولا متعامدتين. (ج) أنهما متعامدتان. (د) أنهما متساويتان في الطول. (هـ) أنهما متوازيتان ومتساويتان في الطول.

دعونا نبدأ بإضافة قياس كل قوس إلى الشكل. عرفنا من السؤال أن قياس القوس ﺃﺏ يساوي ٦٢ درجة، وقياس القوس ﺏﺟ يساوي ١١٠ درجات، وقياس القوس ﺃﺩ يساوي ١٢٦ درجة. بما أن قياس كل قوس يساوي الزاوية التي يصنعها القوس عند مركز الدائرة، فإن مجموع كل قياسات الأقواس التي تتكون منها هذه الدائرة يساوي ٣٦٠ درجة. يعد هذا مفيدًا للغاية؛ لأنه سيمكننا من حساب قياس القوس ﺟﺩ.

نقول إن مجموع قياسات الأقواس يساوي ٣٦٠ درجة. بعد ذلك، يمكننا التعويض عن قياسات الأقواس المختلفة بقيمها. قياس القوس ﺃﺏ يساوي ٦٢، وقياس القوس ﺏﺟ يساوي ١١٠، وهكذا. نبسط هذا الطرف الأيمن إلى ٢٩٨ درجة زائد قياس القوس ﺟﺩ. نوجد بعد ذلك قياس القوس ﺟﺩ بطرح ٢٩٨ من كلا الطرفين. فنحصل على ٣٦٠ ناقص ٢٩٨، وهو ما يساوي ٦٢ درجة.

لكن ما أهمية ذلك؟ حسنًا، نعلم أن قياسات الأقواس المحصورة بين الأوتار المتوازية في الدائرة تكون متساوية، والعكس صحيح. هذا يعني أنه إذا كان قياسا قوسين بين وترين مختلفين متساويين، فلا بد أن يكون هذان الوتران متوازيين. في هذه المسألة، قياس القوس ﺃﺏ يساوي قياس القوس ﺟﺩ. هذا يعني أن القطعتين المستقيمتين ﺃﺩ وﺏﺟ متوازيتان. إذن، نستبعد الاختيارات (ب) و(ج) و(د). وبذلك، علينا الاختيار بين الخيارين (أ) و(هـ)، حيث يشير الخيار (أ) إلى أنهما متوازيتان، ويشير الخيار (هـ) إلى أنهما متوازيتان ومتساويتان في الطول.

إذا كانت الأوتار متوازية ولها الطول نفسه، فإن الأقواس المحصورة بين طرفي كل من هذه الأوتار تكون متساوية في القياس. لكننا نلاحظ أن قياس القوس ﺏﺟ لا يساوي قياس القوس ﺃﺩ. قياساهما ١١٠ درجات و١٢٦ درجة، على الترتيب. لذا، ﺏﺟ وﺃﺩ لا يمكن أن يكون لهما الطول نفسه. إذن، الإجابة هي الخيار (أ). أنهما متوازيتان.

في هذا المثال، أوضحنا أن عكس النظرية السابقة يتحقق بالفعل. إذا كان قياسا القوسين بين وترين مختلفين متساويين، فيجب أن يكون الوتران نفساهما متوازيين. سنوسع الآن فكرتنا عن الأوتار المتوازية لتشمل الوتر والمماس المتوازيين.

تنص النظرية الآتية على أن قياسي القوسين المحصورين بين وتر ومماس متوازيين يكونان متساويين. في هذا الشكل، القطعة المستقيمة أو الوتر ﺃﺏ يوازي المماس عند ﺟ. وبذلك، يمكننا القول إن قياس القوس ﺃﺟ يجب أن يساوي قياس القوس ﺏﺟ. بعد أن ذكرنا ما تنص عليه هذه النظرية، دعونا نوضح تطبيقها.

‏ﻡ دائرة، فيها‎ القطعة المستقيمة ﺃﺏ وتر، والمستقيم ﺟﺩ مماس. إذا كان ﺃﺏ يوازي ﺟﺩ، وقياس القوس ﺃﺏ يساوي ٧٢ درجة، فأوجد قياس القوس ﺏﺟ.

بما أن ﺃﺏ يوازي ﺟﺩ، حيث ﺃﺏ وتر وﺟﺩ مماس، فلدينا نظرية يمكننا استخدامها. سنستخدم النظرية التي تخبرنا أن قياسي القوسين المحصورين بين وتر ومماس متوازيين يكونان متساويين. لذا، نقول إن قياس القوس ﺃﺟ يجب أن يساوي قياس القوس ﺏﺟ. يخبرنا السؤال أن قياس القوس ﺃﺏ يساوي ٧٢ درجة. يمكننا كذلك استخدام حقيقة أن مجموع قياسات كل الأقواس التي تتكون منها الدائرة يساوي ٣٦٠ درجة. وهذا يعني أن قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺃﺏ، وهو٧٢ درجة، زائد قياس القوس ﺏﺟ يساوي ٣٦٠. بعد ذلك، نطرح ٧٢ درجة من كلا الطرفين. فنجد أن قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺟ يساوي ٢٨٨ درجة.

لكننا ذكرنا من قبل أن قياس القوس ﺃﺟ يساوي قياس القوس ﺏﺟ. وعليه، نقول إن اثنين في قياس القوس ﺏﺟ يساوي ٢٨٨ درجة. نقسم بعد ذلك كلا طرفي هذه المعادلة على اثنين. وهكذا، فإن قياس القوس ﺏﺟ يساوي ٢٨٨ مقسومًا على اثنين، وهو ما يعطينا ١٤٤ درجة. إذن، قياس القوس ﺏﺟ يساوي ١٤٤ درجة.

في الأمثلة التي تناولناها حتى الآن، طبقنا نظريات الأوتار والمماسات المتوازية في الدائرة لإيجاد القيم الناقصة بمعلومية بعض المعطيات عن الأوتار والمماسات. من المفيد الآن أن نتذكر أنه يمكننا تطبيق هذه الخواص إلى جانب الخواص الهندسية للمضلعات لمساعدتنا في إيجاد القيم الناقصة. دعونا نوضح ذلك.

في الشكل الآتي، المستطيل ﺃﺏﺟﺩ مرسوم داخل دائرة، حيث قياس القوس ﺃﺏ يساوي ٧١ درجة. أوجد قياس القوس ﺃﺩ.

سنستخدم معلومة أن ﺃﺏﺟﺩ مستطيل. هذا يعني أن القطعة المستقيمة أو الوتر ﺃﺏ يوازي الوتر ﺩﺟ. وبالمثل، القطعة المستقيمة ﺩﺃ توازي القطعة المستقيمة ﺏﺟ. هذا يوضح أنه يمكننا استخدام النظرية التي تخبرنا أن قياسات الأقواس المحصورة بين الأوتار المتوازية في الدائرة تكون متساوية. بما أن القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺩﺟ متوازيتان، فإن قياس القوس ﺃﺩ لا بد أن يساوي قياس القوس ﺏﺟ. وبالمثل، قياس القوس ﺃﺏ لا بد أن يساوي قياس القوس ﺩﺟ. لكننا نعلم من المعطيات أن قياس القوس ﺃﺏ يساوي ٧١ درجة.

بما أن مجموع كل قياسات الأقواس التي تتكون من الدائرة يساوي ٣٦٠ درجة، يمكننا تكوين معادلة وحلها. نحن نعلم أن قياس القوس ﺃﺏ وقياس القوس ﺩﺟ هو٧١. وبذلك، فإن المعادلة هي قياس القوس ﺃﺩ زائد قياس القوس ﺏﺟ زائد ٧١ زائد ٧١ يساوي ٣٦٠. بما أن ﺃﺩ وﺏﺟ قوسان متطابقان، يمكننا تبسيط المعادلة أكثر من ذلك. اثنان في قياس القوس ﺃﺩ زائد ١٤٢ درجة يساوي ٣٦٠ درجة. بعد ذلك، نطرح ١٤٢ درجة من كلا الطرفين، والمرحلة الأخيرة هي قسمة الطرفين على اثنين. وهكذا، فإن قياس القوس ﺃﺩ يساوي ٢١٨ مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي ١٠٩ أو ١٠٩ درجات. إذن، قياس القوس ﺃﺩ يساوي ١٠٩ درجات.

في المثال الأخير، سنوضح كيفية تطبيق نظريات الأوتار والمماسات المتوازية حتى نتمكن من حل المسائل التي تتضمن مقادير جبرية لقياسات أقواس.

في الشكل التالي، ﺃﺏ وﻫﻭ وتران متساويان. ‏ﺏﺟ وﻭﻫ وتران متوازيان. إذا كان قياس القوس ﺃﺟ يساوي ١٢٠ درجة، فأوجد قياس القوس ﺟﻫ.

دعونا نبدأ باستخدام معلومة أن القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﻫﻭ وتران متساويان. بما أنهما متساويان في الطول، نستنتج أن قياسي قوسيهما لا بد أن يكونا متساويين أيضًا. إذن، قياس القوس ﺃﺏ لا بد أن يساوي قياس القوس ﻫﻭ. نعلم من الشكل أنه يساوي ﺱ درجة. بعد ذلك، نستخدم المعطيات عن ﺏﺟ وﻭﻫ، التي تخبرنا أنهما وتران متوازيان. هذا يعني أن قياسي القوسين المحصورين بين هذين الوترين متساويان. بعبارة أخرى، قياس القوس ﺟﻫ يجب أن يساوي قياس القوس ﺏﻭ. هذه المرة، نعلم من الشكل أيضًا أنه يساوي ﺱ زائد ٣٠ درجة.

باستخدام هذه المعطيات إلى جانب قياس القوس ﺃﺟ، نعلم أن مجموع قياسات الأقواس كلها يساوي ٣٦٠ درجة. لذا، يمكننا تكوين معادلة وحلها. مجموع قياسات الأقواس هو ﺱ زائد ﺱ زائد ٣٠ زائد ﺱ زائد ﺱ زائد ٣٠ زائد ١٢٠. وهذا يساوي ٣٦٠. نبسط بعد ذلك الطرف الأيمن إلى أربعة ﺱ زائد ١٨٠. أربعة ﺱ زائد ١٨٠ درجة يساوي ٣٦٠. وعليه، نقول إن أربعة ﺱ يجب أن يساوي ١٨٠. بعد ذلك، نحل المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ بالقسمة على أربعة. فنجد أن ﺱ درجة يساوي ٤٥ درجة. نريد إيجاد قياس القوس ﺟﻫ، وذكرنا أنه يساوي ﺱ زائد ٣٠. لذا قياس القوس ﺟﻫ يساوي ٤٥ زائد ٣٠، وهو ما يعطينا ٧٥ درجة. إذن، قياس القوس ﺟﻫ يساوي ٧٥ درجة.

دعونا نلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن قياسات الأقواس المحصورة بين الأوتار المتوازية في الدائرة تكون متساوية. تعلمنا أيضًا أنه إذا كان وتران متوازيين ومتساويين في الطول، فإن قياسي القوسين المحصورين بين طرفي كل وتر متساويان. وأخيرًا، عرفنا أن قياسي القوسين المحصورين بين وتر ومماس لدائرة متوازيين متساويان.