فيديو الدرس: زوايا الارتفاع والانخفاض الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل الواقعية التي تتضمن زوايا الارتفاع والانخفاض. قبل أن نبدأ، يجب أن نكون بالفعل على دراية باستخدام حساب المثلثات في المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد قياسات الزوايا والأضلاع المجهولة، وتطبيق قوانين الجيب وجيب التمام في المثلثات غير القائمة.

لنبدأ بمناقشة ما يعنيه هذان المصطلحان؛ زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض. افترض أنك تقف على حافة منحدر صخري. زاوية الارتفاع هي الزاوية التي تتشكل ما بين الخط الأفقي وخط رؤيتك أثناء النظر لأعلى باتجاه شيء ما. على سبيل المثال، إذا نظرت إلى أعلى باتجاه الشمس، فسوف تقع زاوية الارتفاع بين الأفق وخط الرؤية هنا. ومن ناحية أخرى، زاوية الانخفاض هي الزاوية التي تتشكل ما بين الخط الأفقي وخط رؤيتك عندما تنظر لأسفل إلى شيء ما. على سبيل المثال، إذا كنت تنظر لأسفل باتجاه زورق في البحر، فسوف تقع زاوية الانخفاض هنا. الأمر الأساسي الذي علينا تذكره هو أنه في كلتا الحالتين تتشكل الزاوية بين الخط الأفقي وخط الرؤية.

الآن، يمكن عادة حل المسائل التي تتضمن زوايا الارتفاع والانخفاض باستخدام المثلثات القائمة. إذا رسمنا خطًّا رأسيًّا، سيصبح لدينا مثلثان قائما الزاوية يتشكلان من الخطين الرأسي والأفقي وخط الرؤية. وهما هذان المثلثان. وزاوية الارتفاع أو زاوية الانخفاض هي إحدى زوايا هذا المثلث. لذا، فإن مهارات تطبيق حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية مفيدة جدًّا. في المسائل الأكثر تعقيدًا، قد نحتاج إلى تطبيق قانون الجيب أو قانون جيب التمام على مثلثات غير قائمة الزاوية كما سنرى في الأمثلة.

كل المسائل التي سنتناولها في هذا الفيديو ستكون مسائل عملية. وفي بعض الحالات، سنحتاج إلى رسم مخطط بأنفسنا بناء على وصف كلامي. هذه مهارة مهمة جدًّا. وكما هو الحال دائمًا، علينا التأكد من قراءة جميع المعلومات المعطاة في السؤال جيدًا. لكن المسألة الأولى تتضمن مخططًا مرسومًا بالفعل.

المسافة بين مبنيين تساوي ٤٠ مترًا. قمة المبنى ﺟﺩ لها زاوية ارتفاع قياسها ٣٠ درجة، مقيسة من قمة المبنى ﺃﺏ. إذا كان ارتفاع المبنى ﺃﺏ يساوي ٣٠ مترًا، وتقع قاعدتا المبنيين على نفس المستوى الأفقي، فإن الارتفاع ﺟﺩ لأقرب متر يساوي فراغ متر.

إذن لدينا مخطط معطى لنستخدمه جنبًا إلى جنب مع هذه المسألة. وجميع المعلومات المذكورة في السؤال موضحة على هذا المخطط. لدينا زاوية ارتفاع قياسها ٣٠ درجة بين الخط الأفقي وخط الرؤية أثناء النظر لأعلى من المبنى ﺃﺏ إلى المبنى ﺟﺩ. ونعرف أيضًا أن ارتفاع المبنى ﺃﺏ يساوي ٣٠ مترًا، والمسافة الأفقية بين المبنيين تساوي ٤٠ مترًا. نعرف من المعطيات أن المبنيين يقعان على المستوى الأفقي نفسه، ما يعني ببساطة أنه يمكننا افتراض أن الأرض بينهما مستوية.

ما نريد حسابه هو ارتفاع المبنى ﺟﺩ. من المخطط، يمكننا أن نلاحظ أن هذا الارتفاع يتكون من طولين، جزء يساوي نفس ارتفاع المبنى ﺃﺏ، أي يساوي ٣٠ مترًا، وجزء هو هذا الطول المجهول حاليًّا هنا، والذي يمكننا اعتباره ﺱ متر. كما يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن هذا الطول ﺱ يساوي طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية. وفي هذا المثلث، معلوم لدينا طول ضلع آخر وهو يساوي ٤٠ مترًا، وزاوية قياسها ٣٠ درجة. يمكننا إذن تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب ﺱ.

بتسمية أضلاع هذا المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة، يمكننا ملاحظة أننا نعرف طول الضلع المجاور، وعلينا حساب طول الضلع المقابل. إذن سنستخدم نسبة الظل. بتذكر أن ظا يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فإن ظا ٣٠ درجة يساوي ﺱ على ٤٠. بضرب طرفي هذه المعادلة في ٤٠، نحصل على ﺱ يساوي ٤٠ مضروبًا في ظا ٣٠ درجة. وبحساب ذلك على الآلة الحاسبة، والتأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات، نجد أن ﺱ يساوي ٢٣٫٠٩٤٠، مع توالي الأرقام.

لكننا لم ننته بعد، لأننا نحتاج إلى الارتفاع الكلي للمبنى ﺟﺩ. لذا، علينا إضافة طول إضافي يساوي ٣٠ مترًا. وبذلك نحصل على ٥٣٫٠٩٤٠. والمطلوب هو تقريب الإجابة لأقرب متر. وبما أن الرقم الموجود في المنزلة العشرية الأولى هو صفر، فإننا نقرب إلى العدد ٥٣. إذن، بتطبيق حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية المكون من المستويين الأفقي، والرأسي، وخط الرؤية، وجدنا أن ارتفاع المبنى ﺟﺩ لأقرب متر هو ٥٣ مترًا.

في المثال التالي، سنحتاج إلى رسم مخطط بأنفسنا من وصف كلامي لمسألة تتضمن زوايا ارتفاع وانخفاض.

مبنى ارتفاعه ثمانية أمتار. قياس زاوية الارتفاع من قمة المبنى إلى قمة شجرة ٤٤ درجة، وقياس زاوية الانخفاض من قمة المبنى إلى قاعدة الشجرة ٥٨ درجة. أوجد المسافة بين قاعدة المبنى وقاعدة الشجرة لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن لنبدأ برسم مخطط لهذه المسألة. أولًا، لدينا مبنى ارتفاعه ثمانية أمتار. عرفنا بعد ذلك من المعطيات زاوية ارتفاع من قمة هذا المبنى إلى قمة الشجرة. تذكر أن زاوية الارتفاع تقاس من المستوى الأفقي لأعلى نحو شيء ما. إذن، هذه الشجرة أطول من المبنى. إذن نضيف الشجرة، ونضيف زاوية الارتفاع التي قياسها ٤٤ درجة. بعد ذلك، نعرف من المعطيات أن قياس زاوية الانخفاض من أعلى المبنى إلى قاعدة الشجرة يساوي ٥٨ درجة. وعلينا أن ننتبه عند تحديد هذه الزاوية. تذكر أن زاوية الانخفاض تقاس من المستوى الأفقي لأسفل باتجاه شيء ما، لذا فإن الزاوية التي قياسها ٥٨ درجة هي هذه الزاوية هنا.

ما نريد حسابه هو المسافة بين قاعدة المبنى وقاعدة الشجرة، أي هذا الطول هنا. والآن بالنظر جيدًا إلى المخطط، يمكننا ملاحظة أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية. والطول الذي نريد حسابه، والذي سنسميه ﺹ متر، هو أحد الأضلاع. كما نعرف طول ضلع آخر. وهو ارتفاع المبنى، الذي يساوي ثمانية أمتار. يمكننا أيضًا إيجاد إحدى الزوايا داخل المثلث. إذا طرحنا زاوية الانخفاض التي قياسها ٥٨ درجة من زاوية قائمة قياسها ٩٠ درجة، يمكننا إيجاد الزاوية العليا في المثلث. وهي تساوي ٣٢ درجة. إذن، لدينا الآن مثلث قائم الزاوية نعرف طول أحد أضلاعه وقياس زاوية أخرى غير القائمة، ونريد حساب طول ضلع آخر.

بتحديد أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٣٢ درجة، نعرف طول الضلع المجاور، ونريد حساب طول الضلع المقابل. لذا سنستخدم نسبة الظل. تذكر أن نسبة الظل تساوي طول الضلع المقابل على الضلع المجاور، لذا فإن قيمة ظا ٣٢ درجة تساوي ﺹ على ثمانية. بضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ثمانية، نحصل على ﺹ يساوي ثمانية ظا ٣٢ درجة. بحساب هذه القيمة باستخدام الآلة الحاسبة، التي لا بد من أن تكون على وضع الدرجات، نحصل على ٤٫٩٩٨٩.

والمطلوب منا تقريب الناتج إلى أقرب منزلتين عشريتين. إذن بدءًا من العدد ثمانية في المنزلة العشرية الثالثة، وبالتقريب لأعلى، أصبح لدينا ٥٫٠٠ أمتار. وبذلك نكون قد أكملنا حل المسألة. إذن، المسافة بين قاعدة المبنى وقاعدة الشجرة لأقرب منزلتين عشريتين هي ٥٫٠٠ أمتار.

في الواقع، في هذه المسألة، لم نكن بحاجة إلى استخدام أول معلومة لدينا، وهي زاوية الارتفاع. حيث إن حساب المثلثات المستخدم كان مباشرًا للغاية. ما كانت تختبره هذه المسألة حقًّا هو فهمنا لزوايا الارتفاع والانخفاض، وإذا ما كان بإمكاننا رسم مخطط بناء على وصف كلامي.

في المثال التالي، سنطبق ما نعرفه عن زوايا الارتفاع والانخفاض على مسألة أكثر تعقيدًا.

يبحر زورق في خط مستقيم في اتجاه صخرة بسرعة منتظمة ٩٦ مترًا لكل دقيقة. عند إحدى النقاط، كان قياس زاوية ارتفاع قمة الصخرة ٣٩ درجة. وبعد مرور ثلاث دقائق، أصبح ٤٤ درجة. أوجد ارتفاع الصخرة لأقرب متر.

أولًا، علينا التفكير جيدًا في كيفية رسم مخطط لتمثيل هذه المسألة. لدينا صخرة وزورق، والذي سنبسطه في شكل نقطة وردية. في البداية، نعلم من المعطيات أن قياس زاوية الارتفاع إلى قمة الصخرة يساوي ٣٩ درجة. تذكر أن زاوية الارتفاع تقاس من الخط الأفقي إلى خط الرؤية عند النظر لأعلى باتجاه شيء ما. إذن هي الزاوية الموضحة هنا. يواصل الزورق بعد ذلك رحلته في خط مستقيم باتجاه الصخرة. وبعد ثلاث دقائق، يصبح قياس زاوية الارتفاع الجديدة ٤٤ درجة. إذن من الموضع الجديد للزورق، هي الزاوية الموضحة هنا.

يمكننا أن نلاحظ أن لدينا مثلثًا مكونًا من خطي الرؤية من الموضعين إلى أعلى الصخرة، والمسافة التي قطعها الزورق. يمكننا إيجاد هذه المسافة لأننا نعرف أن الزورق يبحر بسرعة منتظمة مقدارها ٩٦ مترًا لكل دقيقة، وتستغرق الرحلة ثلاث دقائق. إذا كان الزورق يقطع ٩٦ مترًا في كل دقيقة، فسيقطع ٩٦ مضروبًا في ثلاثة، أي ٢٨٨ مترًا، في ثلاث دقائق.

والآن، نريد إيجاد ارتفاع الصخرة. وهو هذا الطول هنا. وهو ليس ضلعًا في المثلث. لكنه طول ضلع في المثلث القائم الزاوية المتكون من الخطين الأفقي والرأسي، وخط الرؤية. ونعرف أن قياس إحدى زوايا هذا المثلث يساوي ٤٤ درجة. هذا الضلع المتكون من خط الرؤية مشترك مع المثلث الأول. إذن، تتمثل الطريقة التي سنتبعها هنا في استخدام المثلث الأول لمحاولة إيجاد طول هذا الضلع المشترك، ثم استخدام هذا الضلع المشترك والزاوية التي قياسها ٤٤ درجة في المثلث القائم الزاوية لحساب ارتفاع الصخرة.

دعونا نلق نظرة على هذا المثلث غير القائم الزاوية عن قرب. لدينا زاوية قياسها ٣٩ درجة، ويمكننا إيجاد قياس الزاويتين الأخريين. على سبيل المثال، تقع الزاوية المنفرجة على خط مستقيم مع زاوية الارتفاع التي قياسها ٤٤ درجة. إذن يمكننا حسابها عن طريق طرح ٤٤ من ١٨٠، وهو ما يعطينا ١٣٦ درجة. لحساب قياس الزاوية الأخيرة، يمكننا استخدام مجموع قياسات الزوايا في مثلث. ‏١٨٠ ناقص قياسي الزاويتين الأخريين، وهما ١٣٦، و٣٩، يعطينا خمسة. وبذلك يصبح لدينا قياسات الزوايا الثلاث في هذا المثلث.

إذا أردنا إيجاد طول ضلع في مثلث غير قائم الزاوية نعرف فيه قياسات جميع الزوايا الثلاث وطول ضلع آخر، فيمكننا تطبيق قانون الجيب، والذي ينص على أن النسبة بين طول ضلع وجيب زاويته المقابلة ثابتة في كل أجزاء المثلث. ‏ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ، وهو ما يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ، حيث تمثل الحروف الصغيرة الأضلاع والحروف الكبيرة تمثل الزوايا.

الضلع الذي نريد إيجاد طوله، وهو الضلع الملون باللون الوردي، والذي يمكننا تسميته ﺱ متر، مقابل للزاوية التي قياسها ٣٩ درجة. ونعرف أيضًا طول أحد الأضلاع ويساوي ٢٨٨ مترًا، وهو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها خمس درجات. إذن بتطبيق قانون الجيب، يصبح لدينا ﺱ على جا ٣٩ درجة يساوي ٢٨٨ على جا خمس درجات. لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا ضرب كلا الطرفين في جا ٣٩ درجة، فنحصل على ﺱ يساوي ٢٨٨ جا ٣٩ درجة على جا خمس درجات. باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٠٧٩٫٥٤٤. لكننا سنبقي القيمة دقيقة قدر الإمكان في الوقت الحالي.

والآن بعد أن عرفنا طول الضلع المشترك، يمكننا النظر إلى المثلث القائم الزاوية الذي يتضمن الارتفاع الذي نريد حساب طوله، والذي يمكننا أن نطلق عليه الآن ﺹ متر. بتحديد أضلاع هذا المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٤٤ درجة، نريد حساب طول الضلع المقابل. ونعرف طول الوتر. إنها نسبة الجيب التي نريد استخدامها. تذكر أن نسبة الجيب تساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. بالتعويض، يصبح لدينا جا ٤٤ درجة يساوي طول الضلع المقابل ﺹ على طول الوتر ﺱ، الذي وجدنا أنه يساوي ٢٠٧٩٫٥٤٤.

يمكننا بعد ذلك ضرب الطرفين في هذه القيمة ٢٠٧٩٫٥٤٤ لنحصل على ﺹ يساوي ٢٠٧٩٫٥٤٤ مضروبًا في جا ٤٤ درجة. بالطبع من المنطقي الآن أننا أبقينا تلك القيمة ٢٠٧٩٫٥٤٤ مع توالي الأرقام على شاشة الآلة الحاسبة، بعد ذلك ما علينا سوى أن نكتب «مضروبًا في جا ٤٤ درجة» للحصول على إجابة دقيقة قدر الإمكان. بحساب هذا القيمة، نجد أن الإجابة هي ١٤٤٤٫٥٧ مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب متر، لذا فإن العدد خمسة في المنزلة العشرية الأولى يعني أننا سنقرب لأعلى، فنحصل على ارتفاع ١٤٤٥ مترًا لأقرب متر.

في هذه المسألة، استخدمنا قانون الجيب في مثلث غير قائم الزاوية، وحساب المثلثات لمثلث قائم الزاوية لحساب هذا الطول الناقص. إحدى المهارات الأساسية في بداية المسألة كانت رسم مخطط لتمثيل المسألة.

لنتناول الآن مثالًا أخيرًا يتضمن هذه المرة زوايا الانخفاض.

قياس زاوية انخفاض سيارة متوقفة على الأرض من قمة تل ٤٨ درجة. تقع نقطة رؤية على بعد ١٤ مترًا رأسيًّا إلى أسفل من قمة التل، وقياس زاوية انخفاض السيارة ٢٥ درجة. أوجد ارتفاع التل لأقرب متر.

إذن، لدينا الكثير من المعلومات، لكن ليس لدينا مخطط. لذلك علينا أن نبدأ برسم مخطط. لدينا تل، ثم لدينا سيارة متوقفة على الأرض تبعد عنه بمسافة ما. نعلم أن قياس زاوية الانخفاض من أعلى التل إلى السيارة يساوي ٤٨ درجة. والآن، علينا أن ننتبه جيدًا. رسمنا خط الرؤية بين قمة التل والسيارة والخط الأفقي. وبعد ذلك، نتذكر أن زاوية الانخفاض تقاس من الخط الأفقي إلى خط الرؤية. إذن هي هذه الزاوية، التي قياسها ٤٨ درجة.

لدينا أيضًا نقطة رؤية على التل، وهي تبعد ١٤ مترًا رأسيًّا أسفل قمة التل. وقياس زاوية الانخفاض من هذه النقطة إلى السيارة يساوي ٢٥ درجة. مرة أخرى، علينا أن ننتبه. هذه الزاوية تقاس من الخط الأفقي إلى خط الرؤية. إنها إذن هذه الزاوية هنا. وهكذا، وضعنا كل المعطيات في السؤال على المخطط. والمطلوب منا حساب ارتفاع التل. وهو هذا الطول هنا، والذي يمكننا ملاحظة أنه يتكون من طولين، هما الطول الذي يساوي ١٤ مترًا بين قمة التل ونقطة الرؤية، ثم طول ثان، وهو الذي علينا حسابه.

والآن، الطول الثاني هو جزء من مثلث قائم الزاوية مكون من الخط الأفقي، والخط الرأسي، وخط الرؤية لزاوية الانخفاض الثانية. يمكننا إيجاد قياس إحدى زوايا هذا المثلث. بين الخطين الأفقي والرأسي، لدينا زاوية قائمة. إذن، قياس هذه الزاوية يساوي ٩٠ ناقص ٢٥ درجة، وهو ما يساوي ٦٥ درجة. نحن نريد حساب طول الضلع ﺱ، لكن لكي نفعل ذلك علينا أن نعرف طول أحد الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. دعونا ننظر بدلًا من ذلك إلى المثلث الأخضر، وهو مثلث غير قائم الزاوية، لكن يشترك في ضلع مع المثلث الذي نريده.

نعرف أن أحد أضلاع هذا المثلث طوله ١٤ مترًا. ويمكننا إيجاد بعض الزوايا الأخرى. عند قمة المثلث، الزاوية المحصورة بين الخطين الأفقي والرأسي تساوي ٩٠ درجة، إذن قياس الزاوية الداخلية في المثلث يساوي ٩٠ ناقص ٤٨، أي ٤٢ درجة. وأيضًا داخل المثلث، لدينا زاوية منفرجة مكونة من زاوية قائمة وزاوية انخفاض تساوي ٢٥ درجة، إذن إجمالي قياس هذه الزاوية يساوي ١١٥ درجة. ويمكننا حساب قياس الزاوية الأخيرة في هذا المثلث باستخدام مجموع قياسات الزوايا في مثلث. ‏١٨٠ ناقص ٤٢ درجة ناقص ١١٥ درجة يساوي ٢٣ درجة.

إذا عرفنا طول أحد الأضلاع وقياس زاويتين على الأقل من الزوايا في مثلث غير قائم، يمكننا تطبيق قانون الجيب لحساب طول ضلع آخر. والذي ينص على أن النسبة بين طول ضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة. والضلع الذي نريد حساب طوله، والذي يمكننا تسميته ﺹ متر، هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٤٢ درجة. ونعلم بعد ذلك أن طول أحد الأضلاع يساوي ١٤ مترًا، وهو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٢٣ درجة. إذن بتطبيق قانون الجيب، يمكننا القول إن ﺹ على جا ٤٢ درجة يساوي ١٤ على جا ٢٣ درجة. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في جا ٤٢ درجة فنحصل على ٢٣٫٩٧٥. وبذلك نكون قد أوجدنا طول الضلع المشترك.

بالعودة إلى المثلث القائم الزاوية، نعرف الآن زاوية أخرى قياسها ٦٥ درجة وطول الوتر الذي يساوي ٢٣٫٩٧٥. لذا يمكننا استخدام نسبة جيب التمام لحساب ﺱ. تذكر أن جيب التمام يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، إذن لدينا جتا ٦٥ درجة يساوي ﺱ على ٢٣٫٩٧٥. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا الطرفين في ٢٣٫٩٧٥ واستخدام الآلة الحاسبة لنحصل على ﺱ يساوي ١٠٫١٣٢. أخيرًا، علينا أن نتذكر أننا نريد حساب الارتفاع الكلي للتل. أي نريد حساب مجموع هذه القيمة والمسافة التي مقدارها ١٤ مترًا. وبإضافة ١٤ ثم التقريب لأقرب متر، نجد أن ارتفاع التل يساوي ٢٤ مترًا.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. زاوية الارتفاع هي الزاوية التي تتشكل بين الخط الأفقي وخط الرؤية عند النظر لأعلى باتجاه شيء ما، بينما زاوية الانخفاض هي الزاوية التي تتشكل بين الخط الأفقي وخط الرؤية عندما ننظر لأسفل. يمكن حل المسائل التي تتضمن زوايا الارتفاع والانخفاض باستخدام مهارات تتعلق بالمثلثات؛ إما حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية وإما حساب المثلثات للمثلثات غير قائمة الزاوية مثل قانون الجيب وقانون جيب التمام. وقد نحتاج إلى استخدام أكثر من واحدة من هذه المهارات في المسألة نفسها. إذا لم يكن لدينا مخطط معطى كجزء من السؤال، فعلينا أن نرسم واحدًا. وكما هو الحال دائمًا، يجب أن نتأكد من أننا قرأنا المعطيات الموجودة في السؤال جيدًا للتأكد من أن المخطط يعكس المسألة بدقة.