فيديو السؤال: إيجاد مقدار القوة المؤثرة على جسم ذي كتلة متغيرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

جسم كتلته تسعة جرامات. تقل كتلة هذا الجسم بمعدل جرام واحد لكل ثانية. تعطى السرعة المتجهة للجسم بالعلاقة ﻉ يساوي ثلاثة ﻥ زائد ١٠ ﺱ سنتيمتر لكل ثانية. أوجد مقدار القوة المؤثرة على هذا الجسم عند ﻥ يساوي اثنين؛ حيث ﻥ هو الزمن بالثواني.

بداية، لدينا معلومات عن كتلة الجسم وحقيقة أن كتلته تقل بمرور الزمن. عادة ما نبحث عن مقدار قوة ما بمعلومية كتلتها وعجلتها؛ حيث إن القوة تساوي الكتلة في العجلة. لكن في حالة جسم ذي كتلة متغيرة، فإننا نستخدم صيغة بديلة. هذا يعني أنه بالنسبة إلى جسم كتلته ﻙ وسرعته ﻉ، تعطى القوة من خلال التعبير ﻙ في ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ في ﺩﻙ على ﺩﻥ.

يعطينا السؤال تعبيرًا لـ ﻉ عند الزمن ﻥ. لذا يمكننا بسهولة حساب قيمة ﺩﻉ على ﺩﻥ. لكن كيف نحسب ﻙ وﺩﻙ على ﺩﻥ؟ بما أن كتلة الجسم تقل بمعدل جرام واحد لكل ثانية، يمكننا القول إن التغير في الكتلة بالنسبة إلى الزمن؛ أي ﺩﻙ على ﺩﻥ، يساوي سالب واحد. يمكننا بعد ذلك إيجاد تكامل هذا التعبير بالنسبة إلى ﻥ وإيجاد قيمة ثابت التكامل لإيجاد تعبير لـ ﻙ. بعبارة أخرى: ﻙ يساوي التكامل غير المحدد لسالب واحد بالنسبة إلى ﻥ.

تكامل ثابت هو حاصل ضرب قيمة هذا الثابت في المتغير. إذن تكامل سالب واحد هنا هو سالب ﻥ. إذن ﻙ يساوي سالب ﻥ زائد ثابت التكامل ﺙ. لكن في الحقيقة لدينا معلومات عن الكتلة الابتدائية للجسم. عند ﻥ يساوي صفرًا، فإن كتلة الجسم تساوي تسعة جرامات. إذن يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالتعويض بهذه القيم، كما هو موضح. ومن ثم، فإن ﺙ يساوي تسعة. إذن المقدار الذي يعبر عن كتلة الجسم عند الزمن ﻥ هو ﻙ يساوي سالب ﻥ زائد تسعة.

قد نلاحظ في هذه المرحلة أن علينا حصر مجال هذه الدالة. يمكن أن يأخذ ﻥ قيمًا أقل من أو تساوي تسعة. هذا لأننا إذا عوضنا بأي قيمة أكبر من تسعة في التعبير، فسنحصل على قيمة سالبة للكتلة. في الواقع، هذا لا يهم لأننا نوجد مقدار القوة عند ﻥ يساوي اثنين. ومع ذلك، فهو شيء يجب الانتباه إليه. لدينا الآن تعبير لـ ﻙ وﺩﻙ على ﺩﻥ. ثم لدينا معادلة متجهة لـ ﻉ. ‏ﻉ يساوي ثلاثة ﻥ زائد ١٠ ﺱ.

من المفيد في هذه المرحلة ملاحظة أنه بما أن ثلاثة ﻥ زائد ١٠ هي المركبة ﺱ لهذا المتجه، فإن سرعة الجسم المتجهة تؤثر فقط في خط مستقيم. ومن ثم، يمكننا تحديد أن مقدار السرعة المتجهة سيكون ثلاثة ﻥ زائد ١٠ لقيمة ﻥ المعطاة. بعد ذلك، علينا حساب تعبير لـ ﺩﻉ على ﺩﻥ. مشتقة ثلاثة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ هي ثلاثة، ومشتقة ١٠ هي صفر. إذن ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي ثلاثة. هذا يخبرنا بالأساس أن عجلة الجسم ثابتة. ويتسارع بمعدل ثلاثة سنتيمترات لكل ثانية مربعة.

يمكننا الآن التعويض بكل ما نعرفه عن الجسم في الصيغة المعطاة. لدينا ﻕ يساوي سالب ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ثلاثة زائد ثلاثة ﻥ زائد ١٠ مضروبًا في سالب واحد. وبتوزيع القوسين، نحصل على سالب ثلاثة ﻥ زائد ٢٧ ناقص ثلاثة ﻥ ناقص ١٠، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ستة ﻥ زائد ١٧. لدينا الآن تعبير لمقدار القوة عند زمن محدد ﻥ.

يطلب منا السؤال إيجاد مقدار القوة عند ﻥ يساوي اثنين. إذن ﻕ يساوي سالب ستة مضروبًا في اثنين زائد ١٧. سالب ستة في اثنين يساوي سالب ١٢. بإضافة ١٧، نحصل على خمسة. وبما أننا نستخدم وحدات الجرام والسنتيمتر والثواني، فإن وحدة مقدار القوة هي الداين. مقدار القوة المؤثرة على الجسم عند ﻥ يساوي اثنين هو خمسة داين.

تجدر الإشارة هنا إلى أننا حسبنا السرعة المتجهة بدلالة مقدارها. وقد تمكنا من ذلك لأن الجسم يتحرك في خط مستقيم. كان بإمكاننا بدلًا من ذلك استخدام الصورة المتجهة للسرعة واشتقاقها بالنسبة إلى ﻥ. هذا من شأنه أن يعطينا مشتقة المتجه ﻉ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ثلاثة ﺱ، ونتيجة لذلك، نحصل على التعبير المتجه لـ ﻕ، الذي يمكننا من خلاله حساب مقدار القوة. في كلتا الحالتين، نحصل على الإجابة النهائية ﻕ تساوي خمسة داين.