فيديو السؤال: إيجاد مقدار القوة المؤثرة على جسم ذي كتلة متغيرة الرياضيات

جسم كتلته ٩ جم. تقل كتلة هذا الجسم بمعدل ١ جم‏/‏ث. نحصل على سرعة هذا الجسم من العلاقة ﻉ = (٣ﻥ+١٠) ﺱ سم‏/‏ث. أوجد مقدار القوة المؤثرة على هذا الجسم عند ﻥ = ٢.

٠٥:١١

‏نسخة الفيديو النصية

جسم كتلته تسعة جرامات. تقل كتلة هذا الجسم بمعدل جرام واحد لكل ثانية. نحصل على سرعة هذا الجسم من العلاقة ﻉ يساوي ثلاثة ﻥ زائد ١٠ﺱ سنتيمتر لكل ثانية. أوجد مقدار القوة المؤثرة على هذا الجسم عند ﻥ يساوي اثنين.

في البداية، لدينا معطيات عن كتلة الجسم ولدينا حقيقة تفيد بأن كتلة هذا الجسم تقل بمرور الزمن. عادة ما نوجد مقدار أي قوة بمعلومية كتلتها وعجلتها، حيث القوة تساوي الكتلة في العجلة. لكن عندما يكون لدينا جسم كتلته متغيرة، فإننا نستخدم صيغة بديلة. وهي تنص على أنه لأي جسم كتلته ﻙ وسرعته ﻉ، فإننا نحصل على القوة من العلاقة ﻙ في ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ في ﺩﻙ على ﺩﻥ.

يعطينا السؤال تعبيرًا يدل على ﻉ عند الزمن ﻥ. لذا، يمكننا بسهولة حساب قيمة ﺩﻉ على ﺩﻥ. لكن كيف نحسب قيمتي ﻙ وﺩﻙ على ﺩﻥ؟ حسنًا، بما أن كتلة الجسم تقل بمعدل جرام واحد لكل ثانية، يمكننا القول إن التغير في الكتلة بالنسبة إلى الزمن، أي ﺩﻙ على ﺩﻥ، يساوي سالب واحد. بعد ذلك، يمكننا إجراء التكامل لهذا التعبير بالنسبة إلى ﻥ والحل لإيجاد ثابت التكامل لكتابة تعبير يدل على ﻙ. بعبارة أخرى، ﻙ يساوي التكامل غير المحدد لسالب واحد بالنسبة إلى ﻥ.

تكامل أي ثابت هو قيمة هذا الثابت مضروبة في المتغير. إذن، تكامل سالب واحد هنا هو سالب ﻥ. لذا، فإن ﻙ يساوي سالب ﻥ زائد ثابت التكامل ﺙ. لكن لدينا معطيات عن الكتلة الابتدائية للجسم. فعند ﻥ يساوي صفرًا، تكون كتلة الجسم تسعة جرامات. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة المعادلة لدينا بالتعويض بهاتين القيمتين. هذا يعني أن تسعة يساوي سالب صفر زائد ﺙ، أي إن ﺙ يساوي تسعة. وعليه، فإن التعبير الدال على كتلة الجسم عند الزمن ﻥ هو ﻙ يساوي سالب ﻥ زائد تسعة.

ربما نلاحظ أن علينا تقييد مجال هذه الدالة. فيجب أن تكون قيم ﻥ أقل من أو تساوي تسعة. وهذا لأننا إذا عوضنا في التعبير بأي قيمة أكبر من تسعة، فسنحصل في النهاية على قيمة سالبة للكتلة. وفي الواقع، هذا لا يهم. نحن نريد إيجاد مقدار القوة عند ﻥ يساوي اثنين، لكن من المهم أن نضع ذلك في اعتبارنا. إذن، لدينا تعبير يدل على ﻙ وآخر يدل على ﺩﻙ على ﺩﻥ. لدينا بعد ذلك معادلة متجهة لـ ﻉ. وهي ﻉ يساوي ثلاثة ﻥ زائد ١٠ﺱ.

من المفيد جدًّا ملاحظة أنه بما أن ثلاثة ﻥ زائد ١٠ هي المركبة ﺱ لهذا المتجه، فإن سرعة الجسم تؤثر في خط مستقيم فقط. وبذلك، يمكننا تعريف مقدار السرعة على أنه يساوي ثلاثة ﻥ زائد ١٠ عند الزمن ﻥ. بعد ذلك، علينا حساب قيمة تعبير يدل على ﺩﻉ على ﺩﻥ. حسنًا، مشتقة ثلاثة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ثلاثة، ومشتقة ١٠ تساوي صفرًا. إذن ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي ثلاثة. ونستنتج من ذلك أن عجلة الجسم ثابتة. وتزداد سرعته بمعدل ثلاثة سنتيمترات لكل ثانية كل ثانية.

والآن، يمكننا التعويض بكل القيم التي نعرفها عن الجسم في الصيغة المعطاة. لدينا ﻕ يساوي ﻙ، أي سالب ﻥ زائد تسعة، في ﺩﻉ على ﺩﻥ، أي ثلاثة، زائد ﻉ، أي ثلاثة ﻥ زائد ١٠، في ﺩﻙ على ﺩﻥ، أي سالب واحد. دعونا نفك الأقواس. هذا يعطينا ﻕ يساوي سالب ثلاثة ﻥ زائد ٢٧ ناقص ثلاثة ﻥ ناقص ١٠، وهو ما يساوي سالب ستة ﻥ زائد ١٧. بذلك، أصبح لدينا تعبير يدل على مقدار القوة عند زمن معين ﻥ.

يطلب منا السؤال إيجاد مقدار القوة عند ﻥ يساوي اثنين. إذن لدينا ﻕ يساوي سالب ستة في اثنين زائد ١٧. وهذا يعطينا سالب ١٢ زائد ١٧، وهو ما يساوي خمسة. وبما أننا نستخدم هنا وحدات الجرام والسنتيمتر والثانية، فإن وحدة مقدار القوة هي الداين. إذن، مقدار القوة المؤثرة على الجسم عند ﻥ يساوي اثنين هو خمسة داين.

تجدر الإشارة هنا إلى أننا حسبنا السرعة بدلالة مقدارها. وتمكنا من فعل ذلك؛ لأن الجسم يتحرك في خط مستقيم. وكان بإمكاننا استخدام الصورة المتجهة للسرعة بدلًا من ذلك. وأيضًا اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﻥ. وسنجد عندئذ أن مشتقة المتجه ﻉ بالنسبة إلى ﻥ هي ثلاثة ﺱ. وهو ما يعطينا في النهاية تعبيرًا متجهًا لـ ﻕ يمكننا من خلاله حساب مقدار القوة. وفي كلتا الحالتين، نحصل على ﻕ يساوي خمسة داين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.