نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ إذا كان ﺹ يساوي خمسة على ثمانية مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة ﺱ.
في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺹ بدلالة ﺱ، ومطلوب منا إيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، علينا اشتقاق الدالة ثلاث مرات بالنسبة إلى ﺱ. لنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة خمسة على ثمانية في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لنفعل ذلك، نتذكر أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. ويمكننا استخدام ذلك لاشتقاق هذه الدالة بإخراج العامل الثابت خمسة على ثمانية أولًا من المشتقة. وعليه، نحصل على خمسة على ثمانية مضروبًا في واحد على ﺱ، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح لدينا خمسة على ثمانية ﺱ. ويمكننا الآن إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ باشتقاق خمسة على ثمانية ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
وسنفعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. أولًا، سنعيد كتابة خمسة مقسومًا على ثمانية ﺱ على الصورة: خمسة على ثمانية مضروبًا في ﺱ أس سالب واحد. وهذا يتيح لنا اشتقاق هذا المقدار باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق التي تنص على أنه بالنسبة إلى أي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، فإن مشتقة ﺃ في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب ذلك في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس.
وفي هذه الحالة، أس ﺱ لدينا هو سالب واحد. وعليه، نضرب ذلك في أس ﺱ، وهو سالب واحد، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعطينا سالب خمسة على ثمانية مضروبًا في ﺱ أس سالب اثنين. والآن نحن مستعدون لإيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لنفعل ذلك، علينا اشتقاق المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، علينا اشتقاق سالب خمسة على ثمانية في ﺱ أس سالب اثنين بالنسبة إلى ﺱ.
ومرة أخرى، يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب ذلك في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وعليه، نحصل على سالب اثنين في سالب خمسة على ثمانية مضروبًا في ﺱ أس سالب ثلاثة. ويمكننا تبسيط ذلك. لدينا سالب مضروب في سالب، وهذا يعطينا موجبًا، ويمكننا حذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام. وهذا يعطينا خمسة على أربعة في ﺱ أس سالب ثلاثة، والذي يمكننا إعادة كتابته باستخدام قوانين الأسس. ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. وهذا يعطينا خمسة مقسومًا على أربعة ﺱ تكعيب، وهذه هي الإجابة النهائية.
إذن، استطعنا توضيح أنه إذا كان ﺹ يساوي خمسة مقسومًا على ثمانية مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لأربعة ﺱ، فإن المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي خمسة مقسومًا على أربعة ﺱ تكعيب.
