نسخة الفيديو النصية
تتحرك دراجة نارية بسرعة متجهة 20 مترًا لكل ثانية على طول طريق، وتمر برقعة طينية تمتد مسافة خمسة أمتار وتقلل السرعة المتجهة للدراجة النارية باستمرار أثناء مرورها بها. السرعة المتجهة للدراجة النارية عندما عبرت الرقعة الطينية بالكامل كانت 15 مترًا لكل ثانية. ما العجلة المتوسطة للدراجة النارية أثناء عبورها الرقعة الطينية؟
في هذا السؤال، نعلم أن لدينا دراجة نارية تسير في البداية على طول طريق. حسنًا، هذا هو الطريق، وهذا ما يفترض أن يكون الدراجة النارية. علمنا من المعطيات أن هذه الدراجة تمر برقعة طينية. هذه هي الرقعة الطينية. وعلمنا كذلك أن طول هذه الرقعة خمسة أمتار. ومن المفترض أن الطريق يستمر بعد هذه الرقعة.
علمنا كذلك من المعطيات أنه قبل دخول الرقعة الطينية، كانت الدراجة النارية تسير بسرعة متجهة تبلغ 20 مترًا لكل ثانية. سنقول إن الدراجة تسير ناحية اليمين، لأنها يجب أن تمر بالرقعة الطينية. وقد رسمنا هذه الرقعة يمين الطريق الذي كانت تسير عليه الدراجة النارية في البداية. والآن، دعونا نسم السرعة المتجهة الابتدائية للدراجة النارية 𝑢. و𝑢 تساوي 20 مترًا لكل ثانية.
بمجرد دخول الدراجة النارية إلى الرقعة الطينية، تتحرك بعجلة بسبب وجود الطين. قد يبدو ذلك محيرًا بعض الشيء. لماذا تتحرك الدراجة النارية بعجلة؟ حسنًا، يرجع السبب في ذلك إلى أن مصطلح «العجلة» لا يعني بالضرورة زيادة السرعة. وإنما قد يعني أيضًا تناقص السرعة. فطالما أن هناك تغيرًا في السرعة المتجهة، يمكننا أن نسمي هذا التغير عجلة. لكن العجلة التي تتناقص فيها سرعة الجسم، على وجه التحديد، يمكن أن تسمى معدل التباطؤ أو العجلة السالبة.
يتسبب الطين في تحرك الدراجة النارية بعجلة. لكنها عجلة سالبة؛ إذ يمكننا ملاحظة أنه بعد عبور الدراجة للرقعة الطينية، أصبحت سرعتها المتجهة 15 مترًا لكل ثانية. هذا ما علمناه من السؤال. دعونا نسم هذه السرعة المتجهة الجديدة 𝑣.
لنلخص إذن ما حدث: كانت الدراجة النارية تسير بسرعة 20 مترًا لكل ثانية. وبمجرد وصولها الرقعة الطينية، بدأت تتباطأ، أي تقل سرعتها، حتى بلغت نهاية الرقعة. وعند هذه النقطة، واصلت سيرها بسرعتها المتجهة الجديدة التي تبلغ 15 مترًا لكل ثانية. إذن تغيرت السرعة من 20 مترًا لكل ثانية هنا إلى 15 مترًا لكل ثانية هنا. وما علينا فعله هو إيجاد العجلة المتوسطة للدراجة النارية.
والسبب وراء الحاجة إلى إيجاد العجلة المتوسطة هو أنه أثناء سير الدراجة عبر الرقعة الطينية، ليس بالضرورة أن يكون معدل تباطؤها متساويًا في كل جزء من هذه الرقعة. فربما كانت هناك بعض الكتل والأجزاء غير المستوية التي تسببت في زيادة أو انخفاض عجلة الدراجة بشكل طفيف. لكن هذه ليست مشكلة. يمكننا أن نفترض أن معدل التباطؤ كان ثابتًا عبر الرقعة الطينية كلها. وعلينا إيجاد قيمة هذه العجلة الثابتة التي أدت إلى تغير سرعة الدراجة من 20 مترًا لكل ثانية إلى 15 مترًا لكل ثانية عبر الرقعة التي طولها خمسة أمتار. دعونا نسم هذه العجلة المتوسطة الثابتة 𝑎، وعلينا إيجاد قيمتها.
لفعل ذلك، يمكننا استخدام إحدى معادلات الحركة. علينا استخدام هذه المعادلة تحديدًا. توضح لنا هذه المعادلة أن مربع السرعة المتجهة النهائية للجسم، وهو الدراجة النارية في هذه الحالة، يساوي سرعته المتجهة الابتدائية تربيع زائد اثنين في عجلته في المسافة التي يتحرك خلالها الجسم بعجلة. نعرف بالفعل قيم 𝑣، و𝑢، و𝑠. فتذكر أن 𝑠 يساوي خمسة أمتار. وهو طول الرقعة الطينية التي تحركت خلالها الدراجة النارية بعجلة. ومن ثم، فإن الكمية الوحيدة التي نجهلها في هذه المعادلة هي 𝑎. وهي بالضبط ما نحاول إيجاده.
لنضع في اعتبارنا، قبل أن نفعل أي شيء آخر، أنه نظرًا لتباطؤ الدراجة النارية، أي إنها بدأت بسرعة أكبر من التي انتهت بها، نتوقع أن تكون قيمة 𝑎 سالبة. وذلك لأن الطين تسبب بشكل أساسي في تحرك الدراجة النارية بعجلة في هذا الاتجاه، أي في الاتجاه المعاكس لحركتها. وهذا ما أدى إلى تناقص سرعة الدراجة النارية.
يرتبط هذا بالفكرة العامة بأن العجلة في الواقع كمية متجهة. هذا يعني أنها ليس لها مقدار أو قيمة فحسب، بل لها اتجاه أيضًا. وتوقعنا بأن تكون قيمة العجلة سالبة يبين لنا هذا الاتجاه. فيوضح لنا أن عجلة الدراجة في الاتجاه المعاكس لسرعتها. وذلك لافتراضنا أن السرعة في هذا الاتجاه تكون في الاتجاه الموجب.
لإيجاد قيمة 𝑎 باستخدام هذه المعادلة، علينا إعادة ترتيبها أولًا. دعونا نبدأ بطرح 𝑢 تربيع من الطرفين. وبذلك يصبح لدينا في الطرف الأيمن 𝑢 تربيع ناقص 𝑢 تربيع، فيحذفان معًا. ومن ثم، يتبقى لدينا 𝑣 تربيع ناقص 𝑢 تربيع في الطرف الأيسر، واثنان 𝑎𝑠 فقط في الطرف الأيمن.
بعد ذلك، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على اثنين 𝑠، وبذلك يحذف اثنان في الطرف الأيمن، وكذلك يحذف 𝑠. فيتبقى لدينا 𝑣 تربيع ناقص 𝑢 تربيع على اثنين 𝑠 في الطرف الأيسر، والعجلة 𝑎 فقط في الطرف الأيمن. بذلك نكون قد أعدنا ترتيب المعادلة كما نريد، ويمكننا التعويض بالقيم الآن.
يمكننا القول إذن إن عجلة الدراجة النارية 𝑎 تساوي 𝑣 تربيع، أي السرعة المتجهة النهائية تربيع، وهو ما يساوي 15 مترًا لكل ثانية الكل تربيع، ناقص 𝑢 تربيع، أي السرعة المتجهة الابتدائية الكل تربيع، على اثنين في 𝑠 أو اثنين في خمسة أمتار. 𝑠 هو طول الرقعة الطينية التي تتباطأ خلالها الدراجة النارية.
والآن يمكننا البدء بتبسيط كل ما في البسط. فنجد أن 15 تربيع يساوي 225. ومتر لكل ثانية الكل تربيع يساوي مترًا مربعًا على ثانية تربيع. إذن، لدينا في هذا الحد، 225 مترًا مربعًا لكل ثانية تربيع. وفي الحد الثاني، لدينا 20 تربيع، وهو ما يساوي 400. ومجددًا، وحدة القياس هي متر مربع لكل ثانية تربيع. وهذا بالضبط ما سنكتبه في الحد الثاني.
بما أن حدي البسط لهما نفس وحدة القياس، وهي المتر المربع لكل ثانية تربيع، فيمكننا طرح 400 من 225. ويمكننا دمج الحدين في حد واحد، وهو سالب 175 مترًا مربعًا لكل ثانية تربيع. وبالنظر إلى المقام، نجد أن اثنين في خمسة أمتار يساوي 10 أمتار. فنكتب ذلك في المقام. بعد ذلك، يمكننا قسمة سالب 175 على 10، وقسمة وحدة المتر المربع لكل ثانية تربيع على المتر.
بالنظر إلى الوحدات الآن، نلاحظ أن تربيع المتر في البسط يحذف مع المتر في المقام، وبذلك يتبقى لدينا متر لكل ثانية تربيع، وهو وحدة القياس الإجمالية. هذا ما نريده بالضبط لأننا نسعى إلى إيجاد قيمة العجلة الموجودة في الطرف الأيسر. ووحدة العجلة هي المتر لكل ثانية تربيع.
إذن، كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة سالب 175 على 10، وهو ما يساوي سالب 17.5. والوحدة، كما ذكرنا من قبل، هي المتر لكل ثانية تربيع. وبما أن المطلوب منا هو إيجاد العجلة المتوسطة للدراجة النارية أثناء مرورها بالرقعة الطينية، نكون بذلك قد توصلنا إلى الإجابة النهائية. وهي أن هذه العجلة تساوي سالب 17.5 مترًا لكل ثانية تربيع.