فيديو السؤال: استخدام صيغة مركز الثقل للقضبان المنتظمة لإيجاد ظل الزاوية التي يصنعها سلك منثن مع الأفقي | نجوى فيديو السؤال: استخدام صيغة مركز الثقل للقضبان المنتظمة لإيجاد ظل الزاوية التي يصنعها سلك منثن مع الأفقي | نجوى

فيديو السؤال: استخدام صيغة مركز الثقل للقضبان المنتظمة لإيجاد ظل الزاوية التي يصنعها سلك منثن مع الأفقي الرياضيات

ﺃﺟ قضيب منتظم طوله ٣٦ سم، ثني من النقطة ﺏ؛ حيث ﺃﺏ = ٣٦‏/‏٥ سم، ق⦣ﺃﺏﺟ = ٩٠°. القضيب معلق تعليقًا حرًّا من الطرف ﺃ. أوجد ظل الزاوية التي يصنعها ﺏﺟ مع الأفقي.

٠٨:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺟ قضيب منتظم طوله ٣٦ سنتيمترًا، ثني من النقطة ﺏ؛ حيث ﺃﺏ يساوي ٣٦ على خمسة سنتيمترات، وقياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٩٠ درجة. القضيب معلق تعليقًا حرًّا من الطرف ﺃ. أوجد ظل الزاوية التي يصنعها ﺏﺟ مع الأفقي.

حسنًا، دعونا نبدأ برسم شكل يوضح هذه الحالة. لدينا قضيب، ﺃﺏﺟ، ثني من النقطة ﺏ. الزاوية ﺃﺏﺟ زاوية قائمة، والطول ﺃﺏ يساوي ٣٦ على خمسة سنتيمترات. بما أن الطول الكلي للقضيب يساوي ٣٦ سنتيمترًا، فإن الطول ﺏﺟ يساوي ٣٦ ناقص ٣٦ على خمسة سنتيمترات. ويبسط ذلك إلى ١٤٤ على خمسة سنتيمترات. يقع مركز ثقل القضيب عند النقطة ﻡ، ويمكننا تخمين أنها تقع هنا تقريبًا. عندما يعلق القضيب تعليقًا حرًّا من الطرف ﺃ، سيقع مركز ثقله تحتها مباشرة. ومن ثم، يصبح الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ وﻡ هو الرأسي. ويصبح الخط المستقيم العمودي على هذا الخط هو الأفقي.

مطلوب منا إيجاد ظل الزاوية التي يصنعها ﺏﺟ مع الأفقي، وهي هذه الزاوية هنا؛ 𝜃. وبما أن الأفقي عمودي على الرأسي، فهذه الزاوية هنا زاوية قائمة. ومجموع قياسات الزوايا الثلاثة فوق القطعة المستقيمة ﺏﺟ لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. إذن قياس هذه الزاوية هنا يساوي ٩٠ ناقص 𝜃. وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لهذا المثلث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة أيضًا، فقياس هذه الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي 𝜃.

حسنًا، دعونا نحدد نظامًا إحداثيًّا تكون فيه نقطة الأصل عند ﺃ، والجزء الموجب من ﺱ يتجه إلى اليمين، والجزء الموجب من ﺹ يتجه رأسيًّا لأسفل. على سبيل المثال، قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة ﺏ تساوي ٣٦ على خمسة. والآن، يمكننا الحصول على ظل الزاوية 𝜃 من خلال قسمة قيمة الإحداثي ﺱ لمركز الثقل، أي ﺱﻡ، على قيمة الإحداثي ﺹ لمركز الثقل؛ أي ﺹﻡ. إذن علينا إيجاد المسافة الأفقية من مركز الثقل إلى ﺃ والمسافة الرأسية من مركز الثقل إلى ﺃ. تذكر أن مركز الثقل لقضيب منتظم يقع عند نقطة منتصفه، ما يعني أن القضيب المنتظم الذي طوله ﻝ سيقع مركز ثقله على بعد ﻝ على اثنين من كلا طرفيه.

في حالتنا هذه، لدينا قضيب منتظم منثن، لكن يمكننا تمثيله على صورة قضيبين منتظمين منفصلين؛ ﺃﺏ وﺏﺟ. وسيقع مركز الثقل لكل من هذين القضيبين عند نقطة المنتصف. في هذا النظام الإحداثي، ﺃﺏ رأسي، ومن ثم فإن قيمة الإحداثي ﺱ لمركز ثقله تساوي صفرًا، ويقع الإحداثي ﺹ عند نقطة منتصف القضيب الذي طوله يساوي ٣٦ على خمسة؛ أي أن قيمة الإحداثي ﺹ تساوي ١٨ على خمسة. وبالمثل، فإن قيمة الإحداثي ﺹ لمركز ثقل القضيب ﺏﺟ لا بد أن تساوي ٣٦ على خمسة، والإحداثي ﺱ يقع عند نقطة منتصف القضيب؛ أي أن قيمته تساوي نصف ١٤٤ على خمسة، ما يساوي ٧٢ على خمسة.

يمكننا الآن التعامل مع هذين القضيبين المنتظمين على أنهما جسيمان موضعاهما عند مركزي ثقل القضيبين. تذكر أنه لأي مركز ثقل نظام من الجسيمات، قيمة الإحداثي ﺱ تساوي مجموع حواصل ضرب كل كتلة، ﻙﻥ، في قيمة الإحداثي ﺱ لها، ﺱﻥ، الكل مقسوم على الكتلة الكلية، وبالطريقة نفسها يمكننا الحصول على قيمة الإحداثي ﺹ. حسنًا، نحن لا نعلم كتلتي القضيبين حاليًّا، لكن بما أن هذين القضيبين منتظمان، فلهما كثافة منتظمة. إذن تتناسب كتلتاهما مع طوليهما. وبما أن القضيب منتظم، فإن وضع اتزانه لا يعتمد على كثافته. لذا دعونا نفترض أن كثافة القضيب تساوي كيلوجرامًا واحدًا لكل سنتيمتر. إذن، كتلة القضيب الأول ﺃﺏ تساوي ٣٦ على خمسة كيلوجرامات. وكتلة القضيب الثاني ﺏﺟ تساوي ١٤٤ على خمسة كيلوجرامات.

لدينا الآن كل ما نحتاجه لإيجاد مركز ثقل القضيب كله. بالنسبة إلى قيمة الإحداثي ﺱ لمركز الثقل، لدينا كتلة ﺃﺏ، وتساوي ٣٦ على خمسة كيلوجرامات، مضروبة في قيمة الإحداثي ﺱ لها، وتساوي صفرًا، ثم كتلة ﺏﺟ، وتساوي ١٤٤ على خمسة كيلوجرامات، مضروبة في قيمة الإحداثي ﺱ لها؛ أي ٧٢ على خمسة. بعد ذلك، نقسم هذا على الكتلة الكلية، والتي تساوي ٣٦ على خمسة زائد ١٤٤ على خمسة. ويبسط ذلك إلى ٢٨٨ على ٢٥، وهو ما يمكن أن نعوض به في صيغة ظا 𝜃 لدينا.

علينا الآن تكرار العملية مع الإحداثي ﺹ. نضرب كتلة القضيب الأول ﺃﺏ، والتي تساوي ٣٦ على خمسة، في قيمة الإحداثي ﺹ لمركز ثقله؛ أي ١٨ على خمسة. وبعد ذلك، نضرب كتلة القضيب الثاني ﺏﺟ، وتساوي ١٤٤ على خمسة، في قيمة الإحداثي ﺹ لمركز ثقله، وتساوي ٣٦ على خمسة، ثم نقسم على الكتلة الكلية، والتي تساوي ٣٦ على خمسة زائد ١٤٤ على خمسة. ويبسط ذلك إلى ١٦٢ على ٢٥. يمكننا التعويض بذلك في التعبير لدينا لـ ظا 𝜃، ما يعطينا ٢٨٨ على ٢٥ الكل مقسوم على ١٦٢ على ٢٥. يحذف العددان ٢٥ معًا، ونحصل بذلك على ٢٨٨ على ١٦٢. وبالتبسيط نحصل على الإجابة النهائية: ظل الزاوية التي يصنعها ﺏﺟ مع الأفقي يساوي ١٦ على تسعة.

حمِّل تطبيق Nagwa Classes

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق Nagwa Classes اليوم!

التحميل على الحاسوب

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.