نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص المضلعات المتشابهة لإيجاد قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع المجهولة ومعاملات التشابه والمحيط. أولًا، نحن نتذكر أن المضلع هو شكل مغلق له أضلاع مستقيمة. فعلى سبيل المثال، المثلث والمربع والشكل السداسي كلها أمثلة على المضلعات، بينما الدائرة ليست كذلك لأن حوافها ليست مستقيمة. يقال إن المضلعين يكونان متشابهين رياضيًا إذا كان أحدهما صورة مكبرة للآخر. وهذا يعني أن هناك أمرين أساسيين يتحققان هنا.
أولًا، الزوايا المتناظرة في المضلعين المتشابهين تكون متطابقة أو متساوية في القياس. ثانيًا، أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة. هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي القول إن جميع أزواج الأضلاع المتناظرة لها النسبة نفسها. إذن في المثال لدينا، طول الضلع ﺃﺏ مقسومًا على طول الضلع المناظر ﻫﻑ يساوي النتيجة نفسها لو قسمنا ﺏﺟ على ﻑﻁ، وإذا قسمنا ﺟﺩ على ﻁﺣ، وإذا قسمنا ﺩﺃ على ﺣﻫ.
إذا كان المضلعان متشابهين، فبإمكاننا التعبير عن ذلك باستخدام الرمز الموضح على الشاشة. ولاحظ أن ترتيب الحروف مهم. فإذا قلت إن ﺃﺏﺟﺩ يشبه ﻫﻑﻁﺣ، فهذا يعني أن الزاوية ﺃ تناظر الزاوية ﻫ. والضلع ﺟﺩ يناظر الضلع ﻁﺣ. وإذا كان هناك مضلعان متشابهان، يمكننا حساب معامل التشابه بينهما. إنه النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة، وتكون دائمًا مضاعفًا. وهو القيمة التي نحصل عليها بضرب طول أحد أضلاع مضلع لإيجاد طول الضلع المناظر في مضلع آخر. يمكننا حساب معامل التشابه في أي من الاتجاهين.
على سبيل المثال، إذا أردنا ضرب أطوال أضلاع ﺃﺏﺟﺩ في معامل التشابه لإيجاد أطوال الأضلاع المناظرة في ﻫﻑﻁﺣ، وأردنا عكس الأمر، فعلينا ضرب أطوال أضلاع ﻫﻑﻁﺣ في واحد على معامل التشابه لنحصل على أطوال الأضلاع المناظرة في ﺃﺏﺟﺩ. ومن المهم ملاحظة أن معامل التشابه يكون دائمًا مضاعفًا. فحسابيًا، قد نفكر في الانتقال من المضلع الأكبر إلى المضلع الأصغر بالقسمة على معامل التشابه. لكن معامل التشابه لدينا سيكون المضاعف واحد على معامل التشابه. دعونا الآن نتناول سؤالًا حيث علينا حساب معامل التشابه بين مضلعين متشابهين، ثم تحديد طول أحد الأضلاع.
إذا كان المستطيلان الموضحان متشابهين، فما قيمة ﺱ؟
أخبرنا السؤال أن هذين المستطيلين متشابهان رياضيًا، ما يعني أن هناك أمرين يتحققان هنا. أولًا، جميع أزواج الزوايا المتناظرة بين المستطيلين متطابقة. وبالطبع هذا ينطبق على أي مستطيلين، حتى على المستطيلات غير المتشابهة؛ لأن جميع الزوايا الداخلية في أي مستطيل قياساتها ٩٠ درجة. ثانيًا، وأهم من ذلك، جميع أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة.
إننا نريد إيجاد قيمة ﺱ التي تمثل طول أحد الأضلاع في المستطيل الأكبر. علينا إذن معرفة معامل التشابه، وهو المضاعف الذي ينقلنا من المستطيل الأصغر إلى المستطيل الأكبر. يمكننا استخدام أي ضلعين متناظرين لإيجاد معامل التشابه. وهو يساوي الطول الجديد مقسومًا على الطول الأصلي. من الشكل لدينا، نلاحظ أن هناك ضلعين متناظرين طول أحدهما ٢٩ سنتيمترًا في المستطيل الأصغر، وطول الآخر ٥٨ سنتيمترًا في المستطيل الأكبر. إذن، سنقسم الطول الجديد، وهو ٥٨، على الطول الأصلي، وهو ٢٩، لنحصل على معامل تشابه يساوي ٥٨ على ٢٩، وهو ما يمكن تبسيطه إلى اثنين.
تذكر أن معامل التشابه يكون دائمًا مضاعفًا. إذن، نفهم من ذلك أن أطوال أضلاع المستطيل الأكبر جميعها تساوي ضعف أطوال الأضلاع المناظرة لها في المستطيل الأصغر. ولإيجاد قيمة ﺱ، علينا ضرب طول الضلع المناظر في المستطيل الأصغر، وهو ٢٦، في معامل التشابه اثنين، وهو ما يعطينا ٥٢. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ. إذا كنا نريد حساب طول ضلع في المستطيل الأصغر بدلًا من ضلع في المستطيل الأكبر، كان بإمكاننا استخدام معامل التشابه نصف. وهو مقلوب اثنين. ومن الممكن إيجاد ذلك المقلوب عن طريق قسمة طول الضلع، وهو ٢٩ سنتيمترًا، على طول الضلع المناظر، وهو ٥٨ سنتيمترًا.
يمكننا التحقق من قيمة ﺱ بضربها في نصف، أي ٥٢ مضروبًا في نصف أو نصف العدد ٥٢، وهو ما يساوي بالفعل ٢٦. حسابيًا، قد نفكر في ذلك بأنه عملية قسمة على اثنين. لكن تذكر أن معامل التشابه يكون دائمًا مضاعفًا، لذا نستخدم المضاعف نصفًا.
لنلق نظرة على مثال آخر.
إذا كان المضلعان التاليان متشابهين، فأوجد قيمة ﺱ.
علمنا أن هذين المضلعين متشابهان رياضيًا، وهذا يعني أن هناك أمرين أساسيين يتحققان هنا. أولًا، أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة. وثانيًا، أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة أو النسب بينها متساوية. ونحن نريد حساب هذه النسبة أو معامل التشابه. في هذه الحالة، بما أن ﺱ يمثل طول ضلع في المضلع الأصغر، فإننا سنتحرك في هذا الاتجاه. يمكن حساب معامل التشابه من أي ضلعين متناظرين بقسمة الطول الجديد على الطول الأصلي.
لدينا هنا ضلعان متناظران طول أحدهما هو ٣٤ سنتيمترًا وطول الآخر هو ٨٥ سنتيمترًا. إذن بقسمة الطول الجديد — وهو طول الضلع في المضلع الذي نريد أن نحسب طول ضلع به — على الطول الأصلي، يكون لدينا عامل التشابه ٣٤ على ٨٥. ويمكن تبسيط ذلك عن طريق قسمة كل من البسط والمقام على ١٧ لنحصل على خمسين. لاحظ أن هذه القيمة تبدو صحيحة. فإننا ننتقل من المضلع الأكبر إلى المضلع الأصغر. وبالتالي، يجب أن يكون الطول أصغر.
ومعامل التشابه لدينا هو قيمة كسرية أقل من واحد. وعندما نضرب عددًا في قيمة كسرية أقل من واحد، مثل خمسين، يصبح أصغر. إذن، لحساب قيمة ﺱ، علينا ضرب طول الضلع المناظر في المضلع الأكبر، والذي يساوي ٧٥ سنتيمترًا، في معامل التشابه لدينا، وهو خمسان. يمكننا تبسيط هذه العملية الحسابية من خلال حذف العامل خمسة من البسط والمقام لنحصل على ﺱ يساوي ١٥ مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ٣٠ بالطبع. بذلك نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ.
ويمكننا التحقق من إجابتنا بالتأكد من أن النسبة بين الضلعين المتناظرين هي نفسها بالفعل. لدينا ٣٠ على ٧٥، و٣٤ على ٨٥. كلا الكسرين يمكن بالفعل تبسيطهما لمعامل التشابه خمسين. وهذا يؤكد أن إجابتنا صحيحة.
في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا اختبار ما إذا كان المضلعان متشابهين أم لا.
هل المضلع ﺃﺏﺟﺩ مشابه للمضلع ﻁﻑﻫﺱ؟
من الشكل لدينا، نلاحظ أن المضلعين المعطيين كلاهما متوازي أضلاع. لذا كبداية، يمكننا استنتاج أن هذين الشكلين على الأقل ينتميان للنوع نفسه من الأشكال. لتحديد ما إذا كانا متشابهين أو لا، علينا اختبار أمرين. أولًا، علينا اختبار ما إذا كانت أزواج زواياهما المتناظرة متطابقة أو لا. وثانيًا، علينا اختبار ما إذا كانت أزواج أضلاعهما المتناظرة متناسبة أو النسب بينها متساوية.
والآن، من المهم أن نتذكر أنه عند التعامل مع المضلعات المتشابهة، يكون ترتيب الحروف مهمًا. فإذا كان هذان المضلعان متشابهين، فإن الزاوية ﺃ ستناظر الزاوية ﻁ. والزاوية ﺏ ستناظر الزاوية ﻑ، وهكذا. يمكننا هنا استنتاج أن المضلعين مرسومان في الاتجاه نفسه.
لننظر إلى الزوايا أولًا. في المضلع ﻁﻑﻫﺱ، لدينا زاوية محددة قياسها ١١٠ درجات. وفي المضلع ﺃﺏﺟﺩ، لدينا زاوية محددة قياسها ٧٠ درجة. هناك أمر نعرفه عن متوازيات الأضلاع، وهو أن الزاويتين المتقابلتين متساويتان في القياس. إذن في متوازي الأضلاع ﻁﻑﻫﺱ، قياس الزاوية ﺱ يساوي ١١٠ درجات. وفي متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ، قياس الزاوية ﺟ يساوي ٧٠ درجة.
لننظر إلى الزاوية ﻁ في المضلع ﻁﻑﻫﺱ. بمد المستقيم ﻑﻁ، نلاحظ أن لدينا مستقيمين متوازيين وهما ﺱﻁ وﻫﻑ، ومستقيمًا قاطعًا ﻁﻑ. نحن نعلم أن الزاويتين المتناظرتين لمستقيمين متوازيين متساويتان في القياس، ما يعني أن الزاوية أعلى المستقيم ﺱﻁ تساوي الزاوية أعلى المستقيم ﻫﻑ. أي تساوي ١١٠ درجات. ونعرف أيضًا أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، ما يعني أن الزاوية أسفل ﺱﻁ تساوي ١٨٠ ناقص ١١٠. أي تساوي ٧٠ درجة. وهذا يوضح لنا أن قياس الزاوية ﻁ في المضلع ﻁﻑﻫﺱ يساوي قياس الزاوية ﺃ في المضلع ﺃﺏﺟﺩ.
وذكرنا من قبل أن الزاويتين المتقابلتين في متوازيات الأضلاع متساويتان في القياس. إذن، قياس الزاوية ﻫ يساوي ٧٠ درجة أيضًا، وهو ما يساوي قياس الزاوية ﺟ في المضلع ﺃﺏﺟﺩ. يمكننا استخدام المنطق نفسه في متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ لتوضيح أن قياس كل من الزاويتين ﺏ وﺩ يساوي ١١٠ درجات، وهو ما يساوي قياسي الزاويتين ﻑ وﺱ في المضلع الأكبر. بهذا نكون قد أوضحنا أن جميع أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة بالفعل. إذن إجابتنا عن سؤال التحقق الأول هي نعم.
لنر الآن ما إذا كانت أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة. أولًا، نلاحظ من الشكل أن لدينا طول الضلع ﺃﺏ؛ وهو ١٣ سنتيمترًا. وإذا كان المضلعان متشابهين، فسيناظر الضلع ﻁﻑ. ليس لدينا طول الضلع ﻁﻑ. لكننا نعلم أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية في الطول. وبالتالي، فهو مساو لطول الضلع ﺱﻫ. وبحساب النسبة بين هذين الضلعين، نجد أن ﺃﺏ على ﻁﻑ يساوي ١٣ على ٢٦، وهو ما يمكن تبسيطه إلى نصف.
الضلعان الآخران من الأضلاع التي قد تكون متناظرة هما ﺏﺟ وﻫﻑ. النسبة هنا هي ١١٫٥ على ٢٣، وهو ما يمكن تبسيطه مرة أخرى إلى نصف. حسنًا، لقد كتبت هنا ﻫﻑ. لكن في الواقع، إذا أردنا الالتزام بترتيب الحروف، فعلينا كتابة ﻑﻫ؛ إذ إن النقطة ﻑ تناظر النقطة ﺏ والنقطة ﻫ تناظر النقطة ﺟ. لكن عند حساب النسبة، يكون طول الضلع ﻫﻑ هو نفسه طول الضلع ﻑﻫ بالطبع. إذن، لا يوجد فرق فعلي هنا.
وبالتالي، فإن نسبة كل ضلعين متناظرين من هذه الأضلاع متساوية. وبما أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية في الطول، فسينطبق الأمر نفسه على زوجي الأضلاع المتناظرة المتبقية. إذن، إجابة سؤال التحقق الثاني حول ما إذا كانت أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة، هي نعم أيضًا. بذلك نكون قد استوفينا كلا المعيارين اللازمين لتحقيق تشابه هذين المضلعين. ويمكننا الإجابة بأن المضلع ﺃﺏﺟﺩ مشابه للمضلع ﻁﻑﻫﺱ.
لنتناول الآن مثالًا آخر نثبت فيه تشابه مضلعين.
هل هذان المضلعان متشابهان؟ إذا كانا كذلك، فأوجد معامل التشابه من ﺱﺹﻉﻝ إلى ﺃﺏﺟﺩ.
لتحديد إذا ما كان هذان المضلعان متشابهين، علينا التفكير في سؤالين. أولًا، هل أزواج زواياهما المتناظرة متطابقة؟ وثانيًا، هل أزواج أضلاعهما المتناظرة متناسبة؟ تذكر أن ترتيب الحروف مهم. فإذا كان هذان المضلعان متشابهين، فإن الزاوية ﺱ ستناظر الزاوية ﺃ. وعلى سبيل المثال، الضلع ﻉﻝ سيناظر الضلع ﺟﺩ.
دعونا ننظر إلى الزوايا أولًا. بالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة أن هناك ثلاث زوايا في كل مضلع عليها علامات مختلفة. تشير العلامة الواحدة عند الزاوية ﻝ والزاوية ﺩ إلى أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس. وتشير العلامتان عند الزاوية ﺱ والزاوية ﺃ إلى أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس. وبالطريقة نفسها، تشير ثلاث العلامات عند الزاوية ﻉ والزاوية ﺟ إلى أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس. لكن ماذا عن الزاوية الأخيرة بكل مضلع؟ حسنًا، كل مضلع من هذين المضلعين له أربعة أضلاع. فهمًا من الأشكال الرباعية. ونحن نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي شكل رباعي يساوي ٣٦٠ درجة.
إذا كانت قياسات الزوايا الثلاث الأخرى في الشكلين الرباعيين متساوية، فسيكون لدينا في كل مضلع المقدار نفسه المتبقي من المجموع الكلي ٣٦٠ درجة لتكوين الزاوية الأخيرة. وبالتالي، يمكننا القول أيضًا إن الزاوية ﺹ تساوي الزاوية ﺏ. بذلك نكون قد عرفنا أن جميع أزواج الزوايا المتناظرة بين المضلعين متطابقة بالفعل. إذن، إجابة سؤال التحقق الأول هي نعم.
دعونا ننظر الآن إلى الأضلاع. علينا التأكد مما إذا كانت أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة أم لا. بمعنى، هل نحصل على القيمة نفسها عند قسمة طول كل ضلع بأحد المضلعين على طول الضلع المناظر له بالمضلع الآخر أم لا؟ لدينا هنا جميع أطوال الأضلاع التي نحتاجها. إذن، يمكننا التعويض بها وإيجاد ناتج تبسيط كل من هذه النسب. في الواقع، النسب جميعها تساوي أربعة أخماس أو ٠٫٨. إذن، أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة بالفعل. وبما أننا أجبنا بنعم عن السؤالين، يمكننا استنتاج أن المضلعين متشابهان بالفعل.
مطلوب منا الآن إيجاد معامل التشابه من ﺱﺹﻉﻝ إلى ﺃﺏﺟﺩ. أي إننا سنتحرك في هذا الاتجاه. تذكر أن معامل التشابه هو القيمة التي نضرب فيها أطوال أضلاع المضلع الأول للحصول على أطوال الأضلاع المناظرة في المضلع الثاني. وفي الواقع، لقد أوجدنا هذه القيمة بالفعل. إنها القيمة التي نحصل عليها عندما نقسم الطول الجديد، وهو طول الضلع في المضلع الذي ننتقل إليه، على الطول الأصلي. وهو طول الضلع المناظر في المضلع الذي ننتقل منه.
لقد رأينا بالفعل أنه عند قسمة طول كل ضلع بالمضلع ﺃﺏﺟﺩ على طول الضلع المناظر له بالمضلع ﺱﺹﻉﻝ، نحصل على القيمة أربعة أخماس. إذن، هذا هو معامل التشابه لدينا. لاحظ أن هذه القيمة منطقية. إذ إن أطوال أضلاع المضلع ﺃﺏﺟﺩ أصغر من أطوال أضلاع المضلع ﺱﺹﻉﻝ. لذلك يجب أن يكون معامل التشابه لدينا قيمة كسرية أقل من واحد. بذلك نكون قد أكملنا حل المسألة. لقد وجدنا أن هذين المضلعين متشابهان. ومعامل التشابه من ﺱﺹﻉﻝ إلى ﺃﺏﺟﺩ، أي من المضلع الأكبر إلى المضلع الأصغر، في صورة عدد عشري هو ٠٫٨.
للتذكير، إذا كنا سنتحرك في الاتجاه المعاكس، لإيجاد معامل التشابه من ﺃﺏﺟﺩ إلى ﺱﺹﻉﻝ، فسنحصل على مقلوب الكسر. يمكن إيجاد مقلوب أي كسر بقلبه، أي بتبديل البسط والمقام معًا. إذن، سيكون معامل التشابه عند التحرك في الاتجاه الآخر هو المضاعف خمسة على أربعة. مرة أخرى، هذا منطقي. ذلك لأن خمسة على أربعة أكبر قليلًا من واحد. فهو، في صورة عدد عشري، يساوي ١٫٢٥. فنحن نضرب أطوال أضلاع المضلع ﺃﺏﺟﺩ في عدد أكبر من واحد، مما يعطينا قيمًا أكبر لأطوال الأضلاع المناظرة في المضلع ﺱﺹﻉﻝ.
دعونا الآن نلخص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، يتشابه مضلعان إذا كانت أزواج زواياهما المتناظرة متطابقة وأزواج أضلاعهما المتناظرة متناسبة. لحساب معامل التشابه بين مضلعين متشابهين، يمكننا استخدام طولي أي ضلعين متناظرين. ونقسم الطول الجديد، أي طول الضلع بالمضلع الذي ننتقل إليه، على طول الضلع المناظر له بالمضلع الأصلي. أي المضلع الذي ننتقل منه.
تذكر أن معامل التشابه يكون دائمًا مضاعفًا. عندما ننتقل من الشكل الأصغر إلى الشكل الأكبر، يكون لدينا دائمًا معامل تشابه أكبر من واحد. وعندما ننتقل في الاتجاه المعاكس، أي من الشكل الأكبر إلى الشكل الأصغر، يكون معامل التشابه هو مقلوب معامل التشابه الذي حصلنا عليه في الاتجاه الآخر. أي يكون واحدًا على معامل التشابه. وفي هذه الحالة، يكون معامل التشابه أصغر من واحد. حسابيًا، قد نفكر في هذا بأنه عملية قسمة على معامل التشابه السابق. لكن معامل التشابه لدينا يجب أن يكون مضاعفًا.
بمجرد معرفة أن المضلعين متشابهان، يمكننا حساب قياسات أي زوايا ناقصة. ويمكننا استخدام معاملات التشابه لحساب أطوال أي أضلاع ناقصة، بشرط أن يكون لدينا معلومات عن الأضلاع المناظرة في المضلع الآخر.
