فيديو: تساوي مساحتي مثلثين

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد المثلثات التي لها المساحة نفسها، عندما تكون قواعدها متساوية في الطول والرءوس المقابلة لهذه القواعد تقع على مستقيم مواز لها.

١٦:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد المثلثات التي لها المساحة نفسها، عندما تكون قواعدها متساوية في الطول والرءوس المقابلة لهذه القواعد تقع على مستقيم مواز لها. دعونا نبدأ بتذكر الصيغة التي تساعدنا في حساب مساحة المثلث.

إذا كان لدينا مثلث طول قاعدته هو ‪𝑏‬‏ من الوحدات وارتفاعه العمودي هو ‪ℎ‬‏ من الوحدات، فإن مساحته تساوي نصف ‪𝑏ℎ‬‏ أو ‪𝑏ℎ‬‏ على اثنين. وحدات المساحة هي وحدات مربعة، مثل السنتيمتر المربع والمتر المربع. لكن عليك معرفة أن بعد الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة. في أي مثلث، قد يكون لدينا قياس لا نحتاج إليه مثل ‪𝑙‬‏ من الوحدات. للوهلة الأولى، قد يبدو أنه الارتفاع. لكنه ليس عموديًا على قاعدة المثلث. وبالتالي، فإن هذا القياس لا يهمنا. بالاستعانة بهذه المعلومات، كيف يمكننا استنتاج متى يكون المثلثان متساويين في المساحة؟ هيا نلق نظرة على مثال سيساعدنا في ذلك.

أي مما يلي مساحته تساوي مساحة المثلث ‪𝑁𝑀𝐾‬‏؟ (أ) المثلث ‪𝐻𝑁𝑍‬‏. أم (ب) المثلث ‪𝐶𝑁𝐻‬‏. أم (ج) الشكل ‪𝑍𝑂𝑋𝐻‬‏. أم (د) الشكل ‪𝐻𝑁𝐾𝐶‬‏. أم (هـ) المثلث ‪𝐶𝑍𝐻‬‏.

لنبدأ بتحديد الشكل الذي نتحدث عنه. المثلث ‪𝑁𝑀𝐾‬‏ محدد هنا. ونريد إيجاد شكل له المساحة نفسها. دعونا إذن نسترجع كيفية إيجاد مساحة المثلث. في المثلث الذي طول قاعدته يساوي ‪𝑏‬‏ من الوحدات وارتفاعه العمودي يساوي ‪ℎ‬‏ من الوحدات، مساحته تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. لدينا أيضًا أشكال مختلفة هنا، لكننا سنتناولها بعد قليل.

سنبدأ الآن بإيجاد شكل آخر له مساحة المثلث نفسها. نحن نتذكر أن القاعدة ليس بالضرورة أن تكون في أسفل المثلث. فهي تعتمد على اتجاهه إلى حد كبير. لنفترض أن طول القاعدة يساوي طول القطعة المستقيمة ‪𝑀𝑁‬‏. إذن، الارتفاع هو المسافة العمودية بين القطعة المستقيمة ‪𝑀𝑁‬‏ والمستقيم الذي تقع عليه النقطة ‪𝐾‬‏.

والمستقيمان اللذين يمران بالنقاط ‪𝑀𝑁𝐻𝑋‬‏ و‪𝐾𝐶𝑍𝑂𝐷‬‏ متوازيان. هذا يعني أن المسافة العمودية بين المستقيمين تساوي دائمًا ‪ℎ‬‏ من الوحدات. فلا يهم المكان الذي ننظر إليه على المستقيم. وهذا مفيد جدًا لأننا أصبحنا نعرف أن الارتفاع العمودي لأي من المثلثات لدينا هو ‪ℎ‬‏.

هناك مثلثان سنلقي نظرة عليهما بالإضافة إلى عدد من الأشكال الأخرى. دعونا نلق نظرة على المثلثين ‪𝐶𝑍𝐻‬‏ و‪𝑋𝐷𝑂‬‏. يرسم هذان المثلثان عن طريق توصيل نقطتين على أحد المستقيمين المتوازيين بنقطة ثالثة أو برأس ثالث على المستقيم الموازي الثاني. وهذا يعني كما لاحظنا أن لهما الارتفاع نفسه، وهو ‪ℎ‬‏ من الوحدات.

لا يتوقف الأمر عند ذلك فقط. فهناك شرطات على ‪𝑀𝑁‬‏ و‪𝐶𝑍‬‏ و‪𝑂𝐷‬‏. توضح لنا هذه الشرطات أن هذه المستقيمات متطابقة. فهي متساوية في الطول. وبذلك يمكننا القول إن قاعدة كل مثلث من المثلثات الثلاثة تساوي ‪𝑏‬‏ من الوحدات.

تذكر أننا وضحنا أن القطعة المستقيمة ‪𝑀𝑁‬‏ أنها تساوي ‪𝑏‬‏ من الوحدات. كما عرفنا أن ‪𝐶𝑍‬‏ و‪𝑂𝐷‬‏ متساويان في الطول. إذن، مساحة كل مثلث من المثلثات يجب أن تساوي نصف ‪𝑏ℎ‬‏. وبذلك نكون قد أوضحنا أن هذه المثلثات الثلاثة متساوية في المساحة. لكن ماذا عن الأشكال الأخرى لدينا؟

ما يعنينا تحديدًا هو الشكلان الرباعيان ‪𝑍𝑂𝑋𝐻‬‏ و‪𝐻𝑁𝐾𝐶‬‏. هذا هو ‪𝑍𝑂𝑋𝐻‬‏ وهذا هو ‪𝐻𝑁𝐾𝐶‬‏. لدينا شكلان رباعيان، لكل منهما زوج من الأضلاع المتوازية. وبالتالي، فكل منهما شبه منحرف. ويمكننا تذكر أن مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع طولي الضلعين المتوازيين في الارتفاع العمودي بينهما.

لكي تكون مساحة المثلث ‪𝑁𝑀𝐾‬‏ مساوية لمساحة أي من شبهي المنحرف، علينا أن نثبت أن طول القاعدة ‪𝑏‬‏ يساوي مجموع طولي الضلعين المتوازيين في أي من شبهي المنحرف. ليس هناك ما يشير إلى أن هذه هي الحالة لدينا. وقد تكون الحالة كذلك بالفعل، لكن لا يمكننا التأكد. لذا، فإن كل ما نحن متأكدين منه هو أن مساحة المثلث ‪𝑁𝑀𝐾‬‏ تساوي مساحتي المثلثين الآخرين اللذين أشرنا إليهما. من هذه القائمة، نجد أن الإجابة هي (هـ)؛ أي المثلث ‪𝐶𝑍𝐻‬‏.

يوجد مثلثان آخران في القائمة. وهما ‪𝐻𝑁𝑍‬‏ و‪𝐶𝑁𝐻‬‏. في كل من هذين المثلثين، لدينا الارتفاع العمودي نفسه. لكننا لا نعرف أي شيء عن قاعدتي هذين المثلثين. لذا لا يمكننا استنتاج ما إذا كانت مساحتيهما تساوي مساحة المثلث ‪𝑁𝑀𝐾‬‏ أم لا. إذن، الإجابة هي (هـ).

يمكننا الآن تعميم ما عرفناه هنا. تعتمد هذه المفاهيم على استخدام أزواج من الأضلاع المتوازية. تنص القاعدة الأولى على أنه إذا اشترك مثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز للقاعدة، يكون هذان المثلثان متساويين في المساحة. دعونا نتصور ذلك بالنظر إلى مستقيمين متوازيين. يشترك المثلثان في القاعدة نفسها.

لم يحدث هذا في المثال السابق. لكننا لاحظنا أن القاعدتين متساويتان في الطول وتقعان على هذين المستقيمين المتوازيين. قاعدة المثلثين هي القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏. لدينا الرأس ‪𝐶‬‏ الذي يقع على الخط المستقيم الموازي للقاعدة، ولدينا الرأس ‪𝐷‬‏ الذي يقع أيضًا على الخط المستقيم نفسه؛ ما يعني أنه من المؤكد أن مساحة المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ تساوي مساحة المثلث ‪𝐴𝐵𝐷‬‏.

لكن، انتبه. هذا لا يعني أن المثلثين متطابقان. لكنه يعني أن قاعدتيهما وارتفاعيهما العموديين متساويان في الطول؛ ومن ثم تتساوى مساحتاهما. يمكننا القول أيضًا إنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، فيجب أن يكون المثلثان متساويين في الارتفاع. كما يجب أن تتساوى مساحتاهما أيضًا.

للتوضيح، سنبدأ بالرأس ‪𝐴‬‏. هذا هو الرأس المشترك. يمكننا إضافة الرأسين ‪𝐵‬‏ و‪𝐶‬‏ على هذا المستقيم. ويمكننا أيضًا إضافة الرأسين ‪𝐷‬‏ و‪𝐸‬‏ على هذا المستقيم. بما أن القطعتين المستقيمتين ‪𝐵𝐶‬‏ و‪𝐷𝐸‬‏ متساويتان في الطول، إذن يمكننا القول إن مساحة المثلث ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ تساوي مساحة المثلث ‪𝐴𝐷𝐸‬‏. والآن، بعد أن أصبح لدينا تعريف رسمي لتساوي مساحتي مثلثين، دعونا نتناول مثالًا يستخدم هذا التعريف.

أي مما يلي له نفس مساحة المثلث ‪𝐷𝐸𝐵‬‏؟ (أ) المثلث ‪𝐹𝐵𝐶‬‏. أم (ب) المثلث ‪𝐸𝐷𝐶‬‏، أم (ج) المثلث ‪𝐸𝐹𝐶‬‏. أم (د) الشكل ‪𝐴𝐷𝐹𝐸‬‏. أم (هـ) الشكل ‪𝐷𝐵𝐶𝐸‬‏.

لنبدأ بتحديد المثلث ‪𝐷𝐸𝐵‬‏ في الشكل. هذا هو المثلث ‪𝐷𝐸𝐵‬‏. علينا إيجاد الشكل الذي له المساحة نفسها. حسنًا، نحن، نتذكر أنه إذا اشترك مثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز لهذه القاعدة، يكون المثلثان متساويين في المساحة. يوجد بالفعل زوج من المستقيمات المتوازية في الشكل. المستقيم ‪𝐷𝐸‬‏ يوازي المستقيم ‪𝐵𝐶‬‏. وبالتالي، يمكننا اعتبار المستقيم ‪𝐷𝐸‬‏ قاعدة المثلث.

يقع رأس هذا المثلث بالفعل على المستقيم الموازي الآخر؛ وهو الرأس ‪𝐵‬‏. وهناك رأس آخر يقع على هذا المستقيم؛ وهو ‪𝐶‬‏. يمكننا توصيل النقطة ‪𝐶‬‏ بالقطعة المستقيمة ‪𝐷𝐸‬‏ لتكوين مثلث ثان. يشترك هذان المثلثان في القاعدة نفسها. حيث يشتركان في القاعدة ‪𝐷𝐸‬‏. ويقع رأسا كل منهما، وهما ‪𝐵‬‏ و‪𝐶‬‏، على خط مستقيم مواز لهذه القاعدة. وهو ما يعني أن مساحة المثلث ‪𝐷𝐸𝐵‬‏ يجب أن تساوي مساحة المثلث ‪𝐸𝐷𝐶‬‏. إذن، الإجابة الصحيحة في هذا المثال هي المثلث ‪𝐸𝐷𝐶‬‏.

لنتناول مثالًا آخر.

أي مثلث مساحته تساوي مساحة المثلث ‪𝐿𝐵𝐶‬‏؟

نبدأ بتحديد المثلث ‪𝐿𝐵𝐶‬‏ في الشكل ونتذكر ما نعرفه عن تساوي مساحتي مثلثين. هذا هو المثلث ‪𝐿𝐵𝐶‬‏. القاعدة التي سنستخدمها هي أنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، يكون المثلثان متساويين في المساحة.

لننظر إلى الرأس ‪𝐿‬‏. الرأس ‪𝐿‬‏ هو رأس لعدة مثلثات في هذا الشكل. هناك ثلاثة مثلثات تحديدًا تشترك في الرأس ‪𝐿‬‏، وتقع قاعدة كل منها على المستقيم نفسه. أحد هذه المثلثات هو المثلث الذي حددناه. والمثلثان الآخران هما المثلث ‪𝐿𝐶𝐷‬‏ والمثلث ‪𝐿𝐷𝑋‬‏. لقد أوضحنا أن هذه المثلثات الثلاثة تشترك في الرأس نفسه وتقع قاعدة كل منها على المستقيم نفسه. علينا إيجاد القواعد المتساوية في الطول. وهذا واضح تمامًا. حيث يمكننا ملاحظة أن الشرطتين الصغيرتين على القطعتين المستقيمتين ‪𝐵𝐶‬‏ و‪𝐷𝑋‬‏ تشيران إلى أنهما متساويتان في الطول. وبالتالي، يشير ما أوضحناه إلى أن المثلثين ‪𝐿𝐵𝐶‬‏ و‪𝐿𝐷𝑋‬‏ متساويان في طول القاعدة والارتفاع العمودي. إذن، يجب أن تكون مساحتاهما متساويتين تمامًا. إذن، المثلث الذي مساحته تساوي مساحة المثلث ‪𝐿𝐵𝐶‬‏ هو المثلث ‪𝐿𝐷𝑋‬‏.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية استخدام عكس هذين التعريفين.

إذا كانت مساحة المثلث ‪𝐿𝑁𝐴‬‏ تساوي مساحة المثلث ‪𝑌𝐴𝐺‬‏، فأي الاختيارات الأتية صواب؟ (أ) ‪𝑌𝐿‬‏ يساوي ‪𝑁𝐺‬‏. أم (ب) القطعة المستقيمة ‪𝑌𝐿‬‏ توازي القطعة المستقيمة ‪𝑁𝐺‬‏. أم (ج) ‪𝐴𝑁‬‏ يساوي ‪𝐴𝐺‬‏. أم (د) ‪𝑌𝐺‬‏ يساوي ‪𝑁𝐿‬‏. أم (هـ) القطعة المستقيمة ‪𝑌𝐺‬‏ توازي القطعة المستقيمة ‪𝑁𝐿‬‏.

حسنًا، انتبه جيدًا هنا. فكل مستقيم من هذه المستقيمات مرسوم على مستوى ثنائي الأبعاد. هذا ليس شكلًا ثلاثي الأبعاد. فهو يبدو مثل هرم مربع القاعدة، لكنه ليس كذلك بالتأكيد. نحن نعلم أن مساحة المثلث ‪𝐿𝑁𝐴‬‏ تساوي مساحة المثلث ‪𝑌𝐴𝐺‬‏. دعونا نحدد هذين المثلثين باللونين الوردي والأصفر، على الترتيب. هذا هو المثلث ‪𝐿𝑁𝐴‬‏ وهذا هو المثلث ‪𝑌𝐴𝐺‬‏.

لنسترجع إذن ما نعرفه عن تساوي مساحتي مثلثين. إننا نعلم أن مساحتي مثلثين تكونان متساويتين إذا اشترك هذان المثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز للقاعدة، أو إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. لذا، ما سنفعله لاستخدام أحد هذين التعريفين هو تقسيم المثلثين.

إذا قسمنا المثلثين ‪𝐿𝑁𝐴‬‏ و‪𝑌𝐴𝐺‬‏، كما هو موضح، بإضافة القطعتين المستقيمتين ‪𝐷𝑁‬‏ و‪𝐺𝐸‬‏ على الترتيب، فسيكون بإمكاننا اعتبار الرأس ‪𝐴‬‏ الرأس المشترك. وهذا يتفق مع التعريف الثاني. وهو أن هذين المثلثين يشتركان في الرأس نفسه. وبالتالي، يمكننا القول إن مساحة المثلث ‪𝐴𝐺𝐸‬‏ تساوي مساحة المثلث ‪𝐴𝐷𝑁‬‏ إذا كانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. تشير الشرطتان على القطعتين المستقيمتين ‪𝐺𝐸‬‏ و‪𝐷𝑁‬‏ إلى أنهما متساويتان في الطول. ويمكننا أن نلاحظ بوضوح من الصورة أنهما تقعان على المستقيم نفسه. وهذا يعني أن مساحة المثلث ‪𝐴𝐺𝐸‬‏ تساوي مساحة المثلث ‪𝐴𝐷𝑁‬‏.

بما أن مساحتي المثلثين الكبيرين متساويتان، فهذا يعني أن مساحة المثلث ‪𝐺𝐸𝑌‬‏ يجب أن تساوي مساحة المثلث ‪𝐷𝑁𝐿‬‏. لا يشترك هذان المثلثان في الرأس نفسه. لكن قاعدتيهما متساويتان في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. وهما ‪𝐺𝐸‬‏ و‪𝐷𝑁‬‏. ومن ثم، يمكننا استخدام التعريف الأول.

لا يهم إذا كانت ‪𝐺𝐸‬‏ و‪𝐷𝑁‬‏ قطعتين مستقيمتين مختلفتين. فحقيقة أنهما تقعان على المستقيم نفسه وتتساويان في الطول تكفي للقول إن لهما القاعدة نفسها. وبالتالي، يمكننا القول إنه لكي تكون مساحة المثلث ‪𝐺𝐸𝑌‬‏ مساوية لمساحة المثلث ‪𝐷𝑁𝐿‬‏، فإن الرأسين ‪𝑌‬‏ و‪𝐿 ‬‏— وهما هذان الرأسان — يجب أن يقعا على مستقيم مواز للقاعدة. وبالتالي، يجب أن يكون المستقيمان اللذين يمران بالنقاط ‪𝐺𝐸𝐷𝑁‬‏ و‪𝑌𝐿‬‏ متوازيين. إذا انتقلنا إلى الاختيارات الموجودة لدينا، فسنجد أن ذلك يتطابق مع الخيار (ب). القطعة المستقيمة ‪𝑌𝐿‬‏ توازي القطعة المستقيمة ‪𝑁𝐺‬‏. إذن، الإجابة هي (ب).

في المثال الأخير، سنتناول تطبيق هذين التعريفين لمساعدتنا في حساب المساحة.

إذا كانت مساحة الشكل ‪𝐷𝑀𝑌𝐶‬‏ تساوي ‪68‬‏ سنتيمترًا مربعًا و‪𝐵𝑋‬‏ تساوي ‪𝐶𝑌‬‏، فأوجد مساحة الشكل ‪𝐴𝑀𝑋𝐵‬‏.

لدينا هنا معلومات عن مساحة الشكل الرباعي داخل هذا الشكل. لنبدأ بتحديد الشكل الرباعي. إنه هذا الشكل. مطلوب منا إيجاد مساحة ‪𝐴𝑀𝑋𝐵‬‏، وهو ذلك الشكل. لنبدأ بالنظر إلى الشكل لدينا. إنه شكل رباعي له زوج من الأضلاع المتوازية. هذا يعني أنه شبه منحرف. قد نلاحظ أيضًا أن القطعتين المستقيمتين ‪𝐴𝐶‬‏ و‪𝐵𝐷‬‏ هما قطرا شبه المنحرف هذا.

ما يحدث هو أنه عند تقسيم شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات باستخدام قطريه، تتساوى مساحتا المثلثين المتقابلين، واللذين لا تكون قاعدتاهما هما الضلعين المتوازيين. بعبارة أخرى، مساحة المثلث ‪𝐷𝑀𝐶‬‏ يجب أن تساوي مساحة المثلث ‪𝐴𝑀𝐵‬‏. لكن هذا ليس كافيًا. فما يزال لدينا مثلث متبق في الشكل ‪𝐷𝑀𝑌𝐶‬‏. حسنًا، نحن نتذكر أنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، فيجب أن تكون مساحتاهما متساويتين.

إذا نظرنا إلى الرأس ‪𝑀‬‏ في منتصف المثلث، يمكننا ملاحظة أن هناك مثلثين رأساهما ‪𝑀‬‏ وقاعدتاهما متساويتان في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. تتكون هاتان القاعدتان من القطعتين المستقيمتين ‪𝐶𝑌‬‏ و‪𝑋𝐵‬‏. وهذا يعني أن مساحة المثلث ‪𝐶𝑀𝑌‬‏ تساوي مساحة المثلث ‪𝑋𝑀𝐵‬‏. يمكننا الآن أن نفكر في حقيقة أن الشكل الرباعي ‪𝐷𝑀𝑌𝐶‬‏ يتكون من المثلثين ‪𝐷𝑀𝐶‬‏ و‪𝐶𝑀𝑌‬‏. مساحة الشكل ‪𝐷𝑀𝑌𝐶‬‏ تساوي ‪68‬‏ سنتيمترًا مربعًا. إذن مجموع مساحتي المثلثين ‪𝐷𝑀𝐶‬‏ و‪𝐶𝑀𝑌‬‏ يساوي أيضًا ‪68‬‏ سنتيمترًا مربعًا.

إذا عوضنا عن قيمة مساحة المثلث ‪𝐷𝑀𝐶‬‏ بقيمة مساحة المثلث ‪𝐴𝑀𝐵‬‏؛ لأننا قلنا إنهما متساويتان، وعوضنا أيضًا عن قيمة مساحة المثلث ‪𝐶𝑀𝑌‬‏ بقيمة مساحة المثلث ‪𝑋𝑀𝐵‬‏؛ فسنجد أن مجموع مساحتي المثلثين ‪𝐴𝑀𝐵‬‏ و‪𝑋𝑀𝐵‬‏ يساوي أيضًا ‪68‬‏ سنتيمترًا مربعًا. لكننا قلنا أيضًا إن ‪𝐴𝑀𝑋𝐵‬‏، وهو الشكل الرباعي الذي حددناه مسبقًا، يتكون من هذين المثلثين. بذلك تكون مساحة ‪𝐴𝑀𝑋𝐵‬‏ هي نفسها مساحة ‪𝐷𝑀𝑌𝐶‬‏. وهي تساوي ‪68‬‏ سنتيمترًا مربعًا.

في هذا الفيديو، استخدمنا صيغة مساحة المثلث لتعميم تعريف تساوي مساحتي مثلثين. وقلنا إنه إذا اشترك مثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز للقاعدة، يكون المثلثان متساويين في المساحة. عرفنا أيضًا أنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، فيجب أن يكون المثلثان متساويين في الارتفاع، كما يجب أن تتساوى مساحتاهما أيضًا. كذلك عرفنا كيف يمكننا عكس هذين التعريفين لنستخدم حقيقة أن مساحتي المثلثين متساويتان في استنتاج خصائص المستقيمات المتوازية والأطوال المتساوية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.