فيديو الدرس: تساوي مساحتي مثلثين الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد المثلثات التي لها المساحة نفسها، عندما تكون قواعدها متساوية في الطول والرءوس المقابلة لهذه القواعد تقع على مستقيم مواز لها.

٢٠:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد المثلثات التي لها المساحة نفسها، عندما تكون قواعدها متساوية في الطول والرءوس المقابلة لهذه القواعد تقع على مستقيم مواز لها. دعونا نبدأ بتذكر الصيغة التي تساعدنا في حساب مساحة المثلث.

إذا كان لدينا مثلث طول قاعدته هو ﺏ من الوحدات وارتفاعه العمودي هو ﻉ من الوحدات، فإن مساحته تساوي نصف ﺏﻉ أو ﺏﻉ على اثنين. وحدات المساحة هي وحدات مربعة، مثل السنتيمتر المربع والمتر المربع. لكن عليك معرفة أن بعد الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة. في أي مثلث، قد يكون لدينا قياس لا نحتاج إليه مثل ﻝ من الوحدات. للوهلة الأولى، قد يبدو أنه الارتفاع. لكنه ليس عموديًا على قاعدة المثلث. وبالتالي، فإن هذا القياس لا يهمنا. بالاستعانة بهذه المعلومات، كيف يمكننا استنتاج متى يكون المثلثان متساويين في المساحة؟ هيا نلق نظرة على مثال سيساعدنا في ذلك.

أي مما يلي مساحته تساوي مساحة المثلث ﻥﻡﻙ؟ (أ) المثلث ﺣﻥﻉ. أم (ب) المثلث ﺟﻥﺣ. أم (ج) الشكل ﻉﻭﺱﺣ. أم (د) الشكل ﺣﻥﻙﺟ. أم (هـ) المثلث ﺟﻉﺣ.

لنبدأ بتحديد الشكل الذي نتحدث عنه. المثلث ﻥﻡﻙ محدد هنا. ونريد إيجاد شكل له المساحة نفسها. دعونا إذن نسترجع كيفية إيجاد مساحة المثلث. في المثلث الذي طول قاعدته يساوي ﺏ من الوحدات وارتفاعه العمودي يساوي ﺯ من الوحدات، مساحته تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. لدينا أيضًا أشكال مختلفة هنا، لكننا سنتناولها بعد قليل.

سنبدأ الآن بإيجاد شكل آخر له مساحة المثلث نفسها. نحن نتذكر أن القاعدة ليس بالضرورة أن تكون في أسفل المثلث. فهي تعتمد على اتجاهه إلى حد كبير. لنفترض أن طول القاعدة يساوي طول القطعة المستقيمة ﻡﻥ. إذن، الارتفاع هو المسافة العمودية بين القطعة المستقيمة ﻡﻥ والمستقيم الذي تقع عليه النقطة ﻙ.

والمستقيمان اللذين يمران بالنقاط ﻡﻥﺣﺱ وﻙﺟﻉﻭﺩ متوازيان. هذا يعني أن المسافة العمودية بين المستقيمين تساوي دائمًا ﺯ من الوحدات. فلا يهم المكان الذي ننظر إليه على المستقيم. وهذا مفيد جدًا لأننا أصبحنا نعرف أن الارتفاع العمودي لأي من المثلثات لدينا هو ﺯ.

هناك مثلثان سنلقي نظرة عليهما بالإضافة إلى عدد من الأشكال الأخرى. دعونا نلق نظرة على المثلثين ﺟﻉﺣ وﺱﺩﻭ. يرسم هذان المثلثان عن طريق توصيل نقطتين على أحد المستقيمين المتوازيين بنقطة ثالثة أو برأس ثالث على المستقيم الموازي الثاني. وهذا يعني كما لاحظنا أن لهما الارتفاع نفسه، وهو ﺯ من الوحدات.

لا يتوقف الأمر عند ذلك فقط. فهناك شرطات على ﻡﻥ وﺟﻉ وﻭﺩ. توضح لنا هذه الشرطات أن هذه المستقيمات متطابقة. فهي متساوية في الطول. وبذلك يمكننا القول إن قاعدة كل مثلث من المثلثات الثلاثة تساوي ﺏ من الوحدات.

تذكر أننا وضحنا أن القطعة المستقيمة ﻥﻡ أنها تساوي ﺏ من الوحدات. كما عرفنا أن ﺟﻉ وﻭﺩ متساويان في الطول. إذن، مساحة كل مثلث من المثلثات يجب أن تساوي نصف ﺏﺯ. وبذلك نكون قد أوضحنا أن هذه المثلثات الثلاثة متساوية في المساحة. لكن ماذا عن الأشكال الأخرى لدينا؟

ما يعنينا تحديدًا هو الشكلان الرباعيان ﻉﻭﺱﺣ وﺣﻥﻙﺟ. هذا هو ﻉﻭﺱﺣ وهذا هو ﺣﻥﻙﺟ. لدينا شكلان رباعيان، لكل منهما زوج من الأضلاع المتوازية. وبالتالي، فكل منهما شبه منحرف. ويمكننا تذكر أن مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع طولي الضلعين المتوازيين في الارتفاع العمودي بينهما.

لكي تكون مساحة المثلث ﻥﻡﻙ مساوية لمساحة أي من شبهي المنحرف، علينا أن نثبت أن طول القاعدة ﺏ يساوي مجموع طولي الضلعين المتوازيين في أي من شبهي المنحرف. ليس هناك ما يشير إلى أن هذه هي الحالة لدينا. وقد تكون الحالة كذلك بالفعل، لكن لا يمكننا التأكد. لذا، فإن كل ما نحن متأكدين منه هو أن مساحة المثلث ﻥﻡﻙ تساوي مساحتي المثلثين الآخرين اللذين أشرنا إليهما. من هذه القائمة، نجد أن الإجابة هي (هـ)؛ أي المثلث ﺟﻉﺣ.

يوجد مثلثان آخران في القائمة. وهما ﺣﻥﻉ وﺟﻥﺣ. في كل من هذين المثلثين، لدينا الارتفاع العمودي نفسه. لكننا لا نعرف أي شيء عن قاعدتي هذين المثلثين. لذا لا يمكننا استنتاج ما إذا كانت مساحتيهما تساوي مساحة المثلث ﻥﻡﻙ أم لا. إذن، الإجابة هي (هـ).

يمكننا الآن تعميم ما عرفناه هنا. تعتمد هذه المفاهيم على استخدام أزواج من الأضلاع المتوازية. تنص القاعدة الأولى على أنه إذا اشترك مثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز للقاعدة، يكون هذان المثلثان متساويين في المساحة. دعونا نتصور ذلك بالنظر إلى مستقيمين متوازيين. يشترك المثلثان في القاعدة نفسها.

لم يحدث هذا في المثال السابق. لكننا لاحظنا أن القاعدتين متساويتان في الطول وتقعان على هذين المستقيمين المتوازيين. قاعدة المثلثين هي القطعة المستقيمة ﺃﺏ. لدينا الرأس ﺟ الذي يقع على الخط المستقيم الموازي للقاعدة، ولدينا الرأس ﺩ الذي يقع أيضًا على الخط المستقيم نفسه؛ ما يعني أنه من المؤكد أن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي مساحة المثلث ﺃﺏﺩ.

لكن، انتبه. هذا لا يعني أن المثلثين متطابقان. لكنه يعني أن قاعدتيهما وارتفاعيهما العموديين متساويان في الطول؛ ومن ثم تتساوى مساحتاهما. يمكننا القول أيضًا إنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، فيجب أن يكون المثلثان متساويين في الارتفاع. كما يجب أن تتساوى مساحتاهما أيضًا.

للتوضيح، سنبدأ بالرأس ﺃ. هذا هو الرأس المشترك. يمكننا إضافة الرأسين ﺏ وﺟ على هذا المستقيم. ويمكننا أيضًا إضافة الرأسين ﺩ وﻫ على هذا المستقيم. بما أن القطعتين المستقيمتين ﺏﺟ وﺩﻫ متساويتان في الطول، إذن يمكننا القول إن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي مساحة المثلث ﺃﺩﻫ. والآن، بعد أن أصبح لدينا تعريف رسمي لتساوي مساحتي مثلثين، دعونا نتناول مثالًا يستخدم هذا التعريف.

أي مما يلي له نفس مساحة المثلث ﺩﻫﺏ؟ (أ) المثلث ﻑﺏﺟ. أم (ب) المثلث ﻫﺩﺟ، أم (ج) المثلث ﻫﻑﺟ. أم (د) الشكل ﺃﺩﻑﻫ. أم (هـ) الشكل ﺩﺏﺟﻫ.

لنبدأ بتحديد المثلث ﺩﻫﺏ في الشكل. هذا هو المثلث ﺩﻫﺏ. علينا إيجاد الشكل الذي له المساحة نفسها. حسنًا، نحن، نتذكر أنه إذا اشترك مثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز لهذه القاعدة، يكون المثلثان متساويين في المساحة. يوجد بالفعل زوج من المستقيمات المتوازية في الشكل. المستقيم ﺩﻫ يوازي المستقيم ﺏﺟ. وبالتالي، يمكننا اعتبار المستقيم ﺩﻫ قاعدة المثلث.

يقع رأس هذا المثلث بالفعل على المستقيم الموازي الآخر؛ وهو الرأس ﺏ. وهناك رأس آخر يقع على هذا المستقيم؛ وهو ﺟ. يمكننا توصيل النقطة ﺟ بالقطعة المستقيمة ﺩﻫ لتكوين مثلث ثان. يشترك هذان المثلثان في القاعدة نفسها. حيث يشتركان في القاعدة ﺩﻫ. ويقع رأسا كل منهما، وهما ﺏ وﺟ، على خط مستقيم مواز لهذه القاعدة. وهو ما يعني أن مساحة المثلث ﺩﻫﺏ يجب أن تساوي مساحة المثلث ﻫﺩﺟ. إذن، الإجابة الصحيحة في هذا المثال هي المثلث ﻫﺩﺟ.

لنتناول مثالًا آخر.

أي مثلث مساحته تساوي مساحة المثلث ﻝﺏﺟ؟

نبدأ بتحديد المثلث ﻝﺏﺟ في الشكل ونتذكر ما نعرفه عن تساوي مساحتي مثلثين. هذا هو المثلث ﻝﺏﺟ. القاعدة التي سنستخدمها هي أنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، يكون المثلثان متساويين في المساحة.

لننظر إلى الرأس ﻝ. الرأس ﻝ هو رأس لعدة مثلثات في هذا الشكل. هناك ثلاثة مثلثات تحديدًا تشترك في الرأس ﻝ، وتقع قاعدة كل منها على المستقيم نفسه. أحد هذه المثلثات هو المثلث الذي حددناه. والمثلثان الآخران هما المثلث ﻝﺟﺩ والمثلث ﻝﺩﺱ. لقد أوضحنا أن هذه المثلثات الثلاثة تشترك في الرأس نفسه وتقع قاعدة كل منها على المستقيم نفسه. علينا إيجاد القواعد المتساوية في الطول. وهذا واضح تمامًا. حيث يمكننا ملاحظة أن الشرطتين الصغيرتين على القطعتين المستقيمتين ﺏﺟ وﺩﺱ تشيران إلى أنهما متساويتان في الطول. وبالتالي، يشير ما أوضحناه إلى أن المثلثين ﻝﺏﺟ وﻝﺩﺱ متساويان في طول القاعدة والارتفاع العمودي. إذن، يجب أن تكون مساحتاهما متساويتين تمامًا. إذن، المثلث الذي مساحته تساوي مساحة المثلث ﻝﺏﺟ هو المثلث ﻝﺩﺱ.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية استخدام عكس هذين التعريفين.

إذا كانت مساحة المثلث ﻝﻥﺃ تساوي مساحة المثلث ﺹﺃﺯ، فأي الاختيارات الأتية صواب؟ (أ) ﺹﻝ يساوي ﻥﺯ. أم (ب) القطعة المستقيمة ﺹﻝ توازي القطعة المستقيمة ﻥﺯ. أم (ج) ﺃﻥ يساوي ﺃﺯ. أم (د) ﺹﺯ يساوي ﻥﻝ. أم (هـ) القطعة المستقيمة ﺹﺯ توازي القطعة المستقيمة ﻥﻝ.

حسنًا، انتبه جيدًا هنا. فكل مستقيم من هذه المستقيمات مرسوم على مستوى ثنائي الأبعاد. هذا ليس شكلًا ثلاثي الأبعاد. فهو يبدو مثل هرم مربع القاعدة، لكنه ليس كذلك بالتأكيد. نحن نعلم أن مساحة المثلث ﻝﻥﺃ تساوي مساحة المثلث ﺹﺃﺯ. دعونا نحدد هذين المثلثين باللونين الوردي والأصفر، على الترتيب. هذا هو المثلث ﻝﻥﺃ وهذا هو المثلث ﺹﺃﺯ.

لنسترجع إذن ما نعرفه عن تساوي مساحتي مثلثين. إننا نعلم أن مساحتي مثلثين تكونان متساويتين إذا اشترك هذان المثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز للقاعدة، أو إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. لذا، ما سنفعله لاستخدام أحد هذين التعريفين هو تقسيم المثلثين.

إذا قسمنا المثلثين ﻝﻥﺃ وﺹﺃﺯ، كما هو موضح، بإضافة القطعتين المستقيمتين ﺩﻥ وﺯﻫ على الترتيب، فسيكون بإمكاننا اعتبار الرأس ﺃ الرأس المشترك. وهذا يتفق مع التعريف الثاني. وهو أن هذين المثلثين يشتركان في الرأس نفسه. وبالتالي، يمكننا القول إن مساحة المثلث ﺃﺯﻫ تساوي مساحة المثلث ﺃﺩﻥ إذا كانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. تشير الشرطتان على القطعتين المستقيمتين ﺯﻫ وﺩﻥ إلى أنهما متساويتان في الطول. ويمكننا أن نلاحظ بوضوح من الصورة أنهما تقعان على المستقيم نفسه. وهذا يعني أن مساحة المثلث ﺃﺯﻫ تساوي مساحة المثلث ﺃﺩﻥ.

بما أن مساحتي المثلثين الكبيرين متساويتان، فهذا يعني أن مساحة المثلث ﺯﻫﺹ يجب أن تساوي مساحة المثلث ﺩﻥﻝ. لا يشترك هذان المثلثان في الرأس نفسه. لكن قاعدتيهما متساويتان في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. وهما ﺯﻫ وﺩﻥ. ومن ثم، يمكننا استخدام التعريف الأول.

لا يهم إذا كانت ﺯﻫ وﺩﻥ قطعتين مستقيمتين مختلفتين. فحقيقة أنهما تقعان على المستقيم نفسه وتتساويان في الطول تكفي للقول إن لهما القاعدة نفسها. وبالتالي، يمكننا القول إنه لكي تكون مساحة المثلث ﺯﻫﺹ مساوية لمساحة المثلث ﺩﻥﻝ، فإن الرأسين ﺹ وﻝ — وهما هذان الرأسان — يجب أن يقعا على مستقيم مواز للقاعدة. وبالتالي، يجب أن يكون المستقيمان اللذين يمران بالنقاط ﺯﻫﺩﻥ وﺹﻝ متوازيين. إذا انتقلنا إلى الاختيارات الموجودة لدينا، فسنجد أن ذلك يتطابق مع الخيار (ب). القطعة المستقيمة ﺹﻝ توازي القطعة المستقيمة ﻥﺯ. إذن، الإجابة هي (ب).

في المثال الأخير، سنتناول تطبيق هذين التعريفين لمساعدتنا في حساب المساحة.

إذا كانت مساحة الشكل ﺩﻡﺹﺟ تساوي ٦٨ سنتيمترًا مربعًا وﺏﺱ تساوي ﺟﺹ، فأوجد مساحة الشكل ﺃﻡﺱﺏ.

لدينا هنا معلومات عن مساحة الشكل الرباعي داخل هذا الشكل. لنبدأ بتحديد الشكل الرباعي. إنه هذا الشكل. مطلوب منا إيجاد مساحة ﺃﻡﺱﺏ، وهو ذلك الشكل. لنبدأ بالنظر إلى الشكل لدينا. إنه شكل رباعي له زوج من الأضلاع المتوازية. هذا يعني أنه شبه منحرف. قد نلاحظ أيضًا أن القطعتين المستقيمتين ﺃﺟ وﺏﺩ هما قطرا شبه المنحرف هذا.

ما يحدث هو أنه عند تقسيم شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات باستخدام قطريه، تتساوى مساحتا المثلثين المتقابلين، واللذين لا تكون قاعدتاهما هما الضلعين المتوازيين. بعبارة أخرى، مساحة المثلث ﺩﻡﺟ يجب أن تساوي مساحة المثلث ﺃﻡﺏ. لكن هذا ليس كافيًا. فما يزال لدينا مثلث متبق في الشكل ﺩﻡﺹﺟ. حسنًا، نحن نتذكر أنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، فيجب أن تكون مساحتاهما متساويتين.

إذا نظرنا إلى الرأس ﻡ في منتصف المثلث، يمكننا ملاحظة أن هناك مثلثين رأساهما ﻡ وقاعدتاهما متساويتان في الطول وتقعان على المستقيم نفسه. تتكون هاتان القاعدتان من القطعتين المستقيمتين ﺟﺹ وﺱﺏ. وهذا يعني أن مساحة المثلث ﺟﻡﺹ تساوي مساحة المثلث ﺱﻡﺏ. يمكننا الآن أن نفكر في حقيقة أن الشكل الرباعي ﺩﻡﺹﺟ يتكون من المثلثين ﺩﻡﺟ وﺟﻡﺹ. مساحة الشكل ﺩﻡﺹﺟ تساوي ٦٨ سنتيمترًا مربعًا. إذن مجموع مساحتي المثلثين ﺩﻡﺟ وﺟﻡﺹ يساوي أيضًا ٦٨ سنتيمترًا مربعًا.

إذا عوضنا عن قيمة مساحة المثلث ﺩﻡﺟ بقيمة مساحة المثلث ﺃﻡﺏ؛ لأننا قلنا إنهما متساويتان، وعوضنا أيضًا عن قيمة مساحة المثلث ﺟﻡﺹ بقيمة مساحة المثلث ﺱﻡﺏ؛ فسنجد أن مجموع مساحتي المثلثين ﺃﻡﺏ وﺱﻡﺏ يساوي أيضًا ٦٨ سنتيمترًا مربعًا. لكننا قلنا أيضًا إن ﺃﻡﺱﺏ، وهو الشكل الرباعي الذي حددناه مسبقًا، يتكون من هذين المثلثين. بذلك تكون مساحة ﺃﻡﺱﺏ هي نفسها مساحة ﺩﻡﺹﺟ. وهي تساوي ٦٨ سنتيمترًا مربعًا.

في هذا الفيديو، استخدمنا صيغة مساحة المثلث لتعميم تعريف تساوي مساحتي مثلثين. وقلنا إنه إذا اشترك مثلثان في القاعدة نفسها ووقع رأساهما على خط مستقيم مواز للقاعدة، يكون المثلثان متساويين في المساحة. عرفنا أيضًا أنه إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما متساويتين في الطول وتقعان على المستقيم نفسه، فيجب أن يكون المثلثان متساويين في الارتفاع، كما يجب أن تتساوى مساحتاهما أيضًا. كذلك عرفنا كيف يمكننا عكس هذين التعريفين لنستخدم حقيقة أن مساحتي المثلثين متساويتان في استنتاج خصائص المستقيمات المتوازية والأطوال المتساوية.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.