فيديو السؤال: إيجاد معادلة قطع ناقص بمعلومية بؤرتيه وطول محوره الأكبر الرياضيات

استنتج معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه عند النقطتين (١‎، ٣)، (٦‎، ٣) وطول محوره الأكبر ١٥.

١٠:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

استنتج معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه عند النقطتين واحد، ثلاثة؛ وستة، ثلاثة، وطول محوره الأكبر ١٥.

لنحاول أولًا رسم القطع الناقص قبل إيجاد معادلته. ونبدأ بإنشاء المستوى الإحداثي. ونحدد البؤرتين: النقطة واحد، ثلاثة، التي سنعطيها الرمز ﺏ واحد، والنقطة ستة، ثلاثة، التي سنعطيها الرمز ﺏ اثنين. نحدد كذلك المحور الأكبر، الذي نعلم أن طوله ١٥ وحدة طول.

بالاستعانة بهذا المحور الأكبر، يمكننا محاولة رسم الشكل الذي سيكون عليه هذا القطع الناقص. ولا يهم أن يكون الرسم دقيقًا للغاية في هذه المرحلة. ويقابل المحور الأكبر القطع الناقص عند الرأسين، ﺭ واحد وﺭ اثنين، ويمكننا الاستفادة من حقيقة أن المحور الأكبر طوله ١٥ وحدة لإيجاد إحداثيات هذين الرأسين.

نوجد أولًا إحداثيي النقطة ﻡ، وهي مركز القطع الناقص. لا يمثل مركز القطع الناقص هذا النقطة التي تتوسط المسافة بين رأسي القطع الناقص وحسب، وإنما يمثل أيضًا النقطة التي تتوسط المسافة بين البؤرتين. إذن باستخدام هذه الحقيقة وصيغة نقطة المنتصف، يمكننا معرفة أن إحداثييها هما ٣٫٥، ثلاثة. الآن، بما أن المركز ﻡ هو نقطة المنتصف للمحور الأكبر، الذي طوله ١٥، فإن إحدى نهايتي المحور الأكبر، وهي ﺭ اثنين، لا بد وأن تبعد بمقدار ٧٫٥ وحدات، ومن ثم يكون إحداثياها ١١، ثلاثة.

ينطبق الأمر نفسه بالتأكيد على النهاية ﺭ واحد، إذ تبعد كذلك بمقدار ٧٫٥ وحدات، ولكن هذه المرة في اتجاه ﺱ السالب. ومن ثم، يكون إحداثياها سالب أربعة، ثلاثة. ربما تعلم بوجود معادلة للقطع الناقص الذي يوازي محوره الأكبر المحور ﺱ، وأن هذه المعادلة تشمل ﻫ وﻙ، وهما إحداثيا المركز اللذان أوجدناهما. وتشمل أيضًا ﺃ، وهو نصف طول المحور الأكبر، والذي أوجدناه هو الآخر، وﺏ، وهو نصف طول المحور الأصغر، والذي لم نوجده بعد ولكن يمكننا بسهولة إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس.

ولكن بدلًا من استخدام هذه الصيغة العامة، سنستنتج معادلة القطع الناقص من المبادئ الأولية باستخدام تعريف القطع الناقص. فلنحذف بعض الأجزاء التي لا نريدها، ونتابع الحل. لدينا الآن شكل أوضح. حيث لدينا فقط القطع الناقص والرأسان والبؤرتان. تذكر أن تعريف القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط التي مجموع بعديها عن بؤرتيه ثابت.

إذن بأخذ نقطة عامة ﻥ على القطع الناقص، نعلم أن ﺏ واحد ﻥ، وهي المسافة من ﺏ واحد إلى ﻥ، زائد ﺏ اثنين ﻥ، وهي المسافة من ﺏ اثنين إلى ﻥ، يساوي الثابت ﺙ. فما هذا الثابت ﺙ؟ حسنًا، يمكننا إيجاده لأن ذلك ينطبق على أي نقطة ﻥ على القطع الناقص، بما في ذلك الرأسان ﺭ واحد وﺭ اثنين. على سبيل المثال، باختيار ﺭ اثنين، يمكننا ملاحظة أن المسافة من ﺏ واحد إلى ﺭ اثنين زائد المسافة من ﺏ اثنين إلى ﺭ اثنين لا بد وأن تساوي هذا الثابت ﺙ.

وبالنظر إلى إحداثيات ﺏ واحد وﺭ اثنين، نلاحظ أن المسافة بينهما هي ١١ ناقص واحد، أي ١٠. يمكننا الآن فعل الشيء نفسه مع ﺏ اثنين، ﺭ اثنين. بالنظر إلى إحداثيات ﺏ اثنين وﺭ اثنين، نلاحظ أن المسافة بينهما هي ١١ ناقص ستة، أي خمسة. ومن ثم، ففي الطرف الأيمن، لدينا ١٠ زائد خمسة، وهو ما يساوي ١٥، وبالتالي فإن ﺙ يساوي ١٥.

يمكننا التعويض بهذه القيمة لإثبات أنه لأي نقطة ﻥ على القطع الناقص، تكون المسافة من ﺏ واحد إلى ﻥ زائد المسافة من ﺏ اثنين إلى ﻥ تساوي ١٥. يمكننا الآن حذف بعض الأشياء والتركيز على المعادلة ﺏ واحد ﻥ زائد ﺏ اثنين ﻥ يساوي ١٥. هذه معادلة جيدة جدًّا للقطع الناقص الذي لدينا في المسألة، ولكننا نريد بدلًا من ذلك معادلة بدلالة إحداثيي ﻥ، وهما ﺱ وﺹ. فكيف سنعيد التعبير عن هذه المسافة من ﺏ واحد إلى ﻥ بدلالة ﺱ وﺹ؟ حسنًا، سنستخدم صيغة المسافة.

المسافة من ﺱ واحد، ﺹ واحد إلى ﺱ اثنين، ﺹ اثنين تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين الكل تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين الكل تربيع. إذن بالنظر إلى إحداثيات ﺏ واحد وﻥ، نلاحظ أن المسافة من ﺏ واحد إلى ﻥ هي الجذر التربيعي لواحد ناقص ﺱ الكل تربيع زائد ثلاثة ناقص ﺹ الكل تربيع. وبالطريقة نفسها، نوجد المسافة من ﺏ اثنين إلى ﻥ. باستخدام هذه المقادير في حالة ﺏ واحد ﻥ وﺏ اثنين ﻥ، يصبح لدينا معادلة للقطع الناقص بدلالة ﺱ وﺹ، ومن ثم لم نعد بحاجة إلى الرسم؛ لقد استفدنا منه كثيرًا وانتهى دوره الآن.

فيما تبقى من الفيديو، كل ما سنفعله هو إعادة صياغة المعادلة التي لدينا لجعلها أبسط. إذن لنكتب معادلة القطع الناقص باستخدام هذين المقدارين اللذين حصلنا عليهما. وبالتعويض عن هذين المقدارين، نحصل على: الجذر التربيعي لواحد ناقص ﺱ الكل تربيع زائد ثلاثة ناقص ﺹ الكل تربيع زائد الجذر التربيعي لستة ناقص ﺱ الكل تربيع زائد ثلاثة ناقص ﺹ الكل تربيع يساوي ١٥. لنر ما إذا كان بإمكاننا الحصول على صيغة مبسطة من هذه المعادلة بحيث لا تتضمن جذورًا تربيعية. لنقم أولًا بتربيع كلا الطرفين.

في الطرف الأيمن، نحصل على تربيع الحد الأول، مما يحذف علامة الجذر التربيعي، زائد اثنين في حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني، الأمر الذي لن يخلصنا للأسف من الجذر، زائد تربيع الحد الثاني، وفي الطرف الأيسر، نحصل على ١٥ تربيع، وهو ما يساوي ٢٢٥. يمكننا أن نلاحظ وجود حدين يمكننا تجميعهما، وسأعيد كذلك ترتيب الحدود بحيث تكون فقط الحدود التي تشتمل على جذور تربيعية في الطرف الأيسر.

والآن بعدما أصبحت الجذور التربيعية معزولة في الطرف الأيسر، يمكننا التربيع مرة أخرى دون الحصول على أي جذور جديدة. في الطرف الأيمن، لدينا فوضى عارمة؛ في الطرف الأيسر التأثير الرئيسي هو حذف الجذور التربيعية. بالطبع، يمكننا أيضًا فك هذه الأقواس. وبفعل ذلك، نلاحظ وجود بعض الحدود في الطرف الأيسر والطرف الأيمن في الوقت نفسه، ومن ثم يمكننا حذفها معًا. هاك أحد هذه الحدود، وهاك حد آخر، وهذا الحد أيضًا نحذفه، وأخيرًا نلاحظ زوجًا من الحدود المتشابهة لا نحذفه بل نقوم بتجميعه.

حسنًا، بالتنظيم ونقل جميع الحدود إلى الطرف الأيمن، سيكون هذا المقدار يساوي صفرًا. ويتضح أنه بفك الأقواس وتبسيط كل الحدود التي تشتمل على ﺱ، نحصل على شيء مبسط إلى حد ما: سالب ٨٠٠ﺱ تربيع زائد ٥٦٠٠ﺱ ناقص ١٥٤٢٥. وبإكمال المربع في هذه المعادلة التربيعية في المتغير ﺱ، نحصل على سالب ٢٠٠ في اثنين ﺱ ناقص سبعة تربيع ناقص ٥٦٢٥. إذن نستخدم صيغة المربع الكامل هذه ونكتب الحدين الآخرين لنحصل على هذه المعادلة.

بتجميع الحدين الثابتين، وإعادة الترتيب بحيث يصبحان في الطرف الأيسر، ثم ضرب كلا الطرفين في سالب واحد، نحصل على ٢٠٠ في اثنين ﺱ ناقص سبعة تربيع زائد ٩٠٠ في ثلاثة ناقص ﺹ تربيع يساوي ٤٥٠٠٠. وبقسمة كلا الطرفين على ٤٥٠٠٠ بحيث يصبح في الطرف الأيسر واحد فقط كالمعتاد، نحصل على اثنين ﺱ ناقص سبعة تربيع على ٢٢٥ زائد ﺹ ناقص ثلاثة تربيع على ٥٠ يساوي واحدًا.

لاحظ كذلك أننا أعدنا كتابة ثلاثة ناقص ﺹ تربيع لتصبح ﺹ ناقص ثلاثة تربيع لوضع المتغير أولًا كما هي متعارف عليه. استغرق الأمر العديد من العمليات الجبرية، ولكننا انتهينا إلى معادلة مبسطة قدر الإمكان وليست بها جذور تربيعية.

بعد خوض هذه العمليات المعقدة، علينا التأكد من أننا لن نخوضها مجددًا. ومن ثم، فمن المنطقي استنتاج معادلة عامة لقطع ناقص يمكننا التعويض فيها بالقيم بدلًا من إجراء هذه العملية في كل مرة نريد فيها إيجاد معادلة قطع ناقص.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.