فيديو السؤال: تبسيط الدوال الكسرية وتحديد مجالها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بسط الدالة د في المتغير ﺱ يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ على ﺱ تربيع ناقص أربعة، وأوجد مجالها.

الدالة د في المتغير ﺱ هي دالة كسرية، ومن ثم، فإن المقدار الموجود في الطرف الأيسر كسر جبري. ولتبسيط هذا الكسر، علينا البحث عن عوامل مشتركة بين البسط والمقام لنتمكن من اختصارها معًا. إذن مهمتنا الأولى هي تحليل كل من البسط والمقام إلى عوامله الأولية. بدءًا بالبسط، نلاحظ أن الحدين، ﺱ تربيع واثنين ﺱ، لهما عامل مشترك وهو ﺱ. وﺱ تربيع يساوي ﺱ في ﺱ واثنان ﺱ يساوي ﺱ في اثنين. ومن ثم، فإنهما معًا يساويان ﺱ في ﺱ زائد اثنين؛ حيث طبقنا هنا خاصية التوزيع.

ننتقل الآن إلى المقام، وهو ﺱ تربيع ناقص أربعة، ونلاحظ أنه فرق بين مربعين. وهذا يساوي ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد اثنين. الآن وقد حللنا البسط والمقام تحليلًا كاملًا، يمكننا أن نلاحظ أن لهما العامل المشترك ﺱ زائد اثنين. يمكننا الآن اختصار هذين معًا. وهكذا يتضح أن الصيغة المبسطة للدالة د في المتغير ﺱ هي ﺱ على ﺱ ناقص اثنين، وأننا لا يمكننا تبسيطها أكثر من ذلك.

هكذا فقد بسطنا الدالة، ونريد الآن إيجاد مجالها. مجال الدالة الكسرية هو مجموعة القيم التي تجعل مقامها ليس صفرًا. بعبارة أخرى، هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص مجموعة القيم التي تجعل مقام الدالة يساوي صفرًا. إذا نظرنا إلى الدالة المبسطة، فقد نعتقد أن قيمة ﺱ الوحيدة التي تجعل المقام يساوي صفرًا هي ﺱ يساوي اثنين. لكن مقام الدالة الأصلية، كما هي معرفة، هو ﺱ تربيع ناقص أربعة وليس ﺱ ناقص اثنين. وإذا نظرنا إلى الصيغة المحللة لهذا المقام، فسنلاحظ بسهولة وجود قيمتين لـ ﺱ تجعلان المقام يساوي صفرًا، وهما اثنان وسالب اثنين. ومن ثم، فإن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب اثنين واثنين.

إذن إجابتنا هي: لكل قيمة ﺱ في مجال الدالة المعطاة، تكون الدالة د في المتغير ﺱ تساوي ﺱ على ﺱ ناقص اثنين. ولكن مجال الدالة هو الأعداد الحقيقية ناقص سالب اثنين واثنان. ولو كانت الدالة قد عرفت في الأصل بالحد ﺱ على ﺱ ناقص اثنين، لكان المجال سيكون أكبر من ذلك. إذ سيكون المجال هو الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على اثنين. وهكذا إذا كانت الدالة معرفة في الأصل بالحد ﺱ على ﺱ ناقص اثنين، لكان المجال بالتأكيد الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على اثنين. ولو لم نستبعد سالب اثنين من المجال، فلن يكون بإمكاننا حذف ﺱ زائد اثنين من البسط والمقام لأنه لا يمكننا القسمة على صفر في كل من البسط والمقام.

إذن، على الرغم من أنه يمكننا عادة تبسيط الدالة الكسرية، فإن عملية التبسيط لا تغير مجال الدالة. ومن ثم، عند الحديث عن مجال الدالة، ينبغي ملاحظة الصيغة الأصلية للدالة، أي، التعريف الأصلي لها، وليس الصورة المبسطة لها التي حصلنا عليها بعد التبسيط.