نسخة الفيديو النصية
أوجد المتتابعة الحسابية التي فيها مجموع الحدين الخامس والعاشر سالب ٢٩٧، وحدها السابع هو أربعة أمثال حدها الرابع.
في البداية، علينا التفكير فيما نعرفه عن المتتابعات الحسابية. إذا افترضنا أن الحد الأول في متتابعة حسابية هو ﺡ واحد، فسيكون الحد الثاني هو الحد الأول زائد الفرق المشترك (أساس المتتابعة الحسابية)، أي ﺩ، وسيكون الحد الثالث هو الحد الثاني زائد الفرق المشترك ﺩ. يستمر هذا النمط وصولًا إلى ﺡﻥ. وعندما نقول ﺡﻥ، فإننا نعني ببساطة أي حد ﻥ في المتتابعة.
رياضيًّا، إذا أردنا إيجاد أي حد في المتتابعة، فعلينا معرفة أمرين؛ الحد الأول، والفرق المشترك ﺩ. لم يذكر السؤال الحد الأول أو الفرق المشترك، لذا دعونا نفكر أولًا فيما لدينا بالفعل من معطيات لنبدأ الحل. نعلم من السؤال أن مجموع الحدين الخامس والعاشر يساوي سالب ٢٩٧. وسنكتب هذا على الصورة ﺡ خمسة زائد ﺡ١٠ يساوي سالب ٢٩٧. نعلم أيضًا أن الحد السابع يساوي أربعة أمثال الحد الرابع. ومن ثم، يمكننا القول إن ﺡ سبعة يساوي أربعة في ﺡ أربعة.
لكن لدينا في هاتين المعادلتين أربعة متغيرات مختلفة. وبما أن لدينا معادلتين فقط، فلا يمكننا الحل لإيجاد أربعة متغيرات مختلفة. لذا، علينا محاولة صياغة هاتين المعادلتين بحدود مختلفة. وفي الواقع، نحن نريد إعادة كتابة هاتين المعادلتين بدلالة الحد الأول والفرق المشترك. على سبيل المثال، نعرف أن ﺡ خمسة يساوي ﺡ واحد زائد أربعة في ﺩ. وبما أننا نتعامل مع الحد الخامس، فسنضرب الفرق المشترك في أربعة.
ﺡ١٠ يساوي ﺡ واحد زائد تسعة ﺩ. ﺡ سبعة يساوي ﺡ واحد زائد ستة ﺩ. وﺡ أربعة يساوي ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ. نريد الآن التعويض بهذه القيم الجديدة بدلًا عن المتغيرات الأربعة. في المعادلة الأولى، سيكون لدينا ﺡ واحد زائد أربعة ﺩ زائد ﺡ واحد زائد تسعة ﺩ يساوي سالب ٢٩٧. يمكننا هنا تجميع الحدود المتشابهة. اثنان ﺡ واحد زائد ١٣ﺩ يساوي سالب ٢٩٧. وفي المعادلة الثانية، لدينا ﺡ واحد زائد ستة ﺩ يساوي أربعة في ﺡ واحد زائد ثلاثة ﺩ. علينا توزيع العدد أربعة، وهو ما يعطينا أربعة ﺡ واحد زائد ١٢ﺩ.
في هذه المعادلة، قد نرغب في أن يكون حدا ﺡ واحد في طرف، والمتغير ﺩ في الطرف الآخر. لذا، سنطرح ستة ﺩ من كلا الطرفين. يصبح لدينا ﺡ واحد يساوي أربعة ﺡ واحد زائد ستة ﺩ. بعد ذلك، يمكننا طرح أربعة ﺡ واحد من كلا الطرفين، ما يعطينا سالب ثلاثة ﺡ واحد يساوي ستة ﺩ. نقسم طرفي المعادلة على سالب ثلاثة. ونجد أن ﺡ واحد، وهو الحد الأول، يساوي سالب اثنين ﺩ.
علينا الآن التعويض بسالب اثنين ﺩ عن ﺡ واحد في المعادلة الأولى، فيصبح لدينا اثنان في سالب اثنين ﺩ زائد ١٣ﺩ يساوي سالب ٢٩٧، أي سالب أربعة ﺩ زائد ١٣ﺩ يساوي سالب ٢٩٧. مرة أخرى، عند تجميع الحدود المتشابهة، يصبح لدينا تسعة ﺩ. ولإيجاد قيمة ﺩ، علينا قسمة طرفي المعادلة على تسعة. وهذا يعني أن ﺩ، أي الفرق المشترك، يساوي سالب ٣٣.
تذكر أننا قلنا إن علينا معرفة أمرين لإيجاد كل حد في المتتابعة. أصبحنا الآن نعرف الفرق المشترك، ويمكننا استخدامه لإيجاد الحد الأول. نعلم أن الحد الأول يساوي سالب اثنين مضروبًا في الفرق المشترك. وهذا يعني أن الحد الأول يساوي سالب اثنين في سالب ٣٣. وعليه، فإن الحد الأول هنا يساوي ٦٦.
بعد أن توصلنا إلى هاتين المعلومتين، أصبحنا الآن مستعدين لإيجاد المتتابعة. الحد الأول يساوي ٦٦، والحد الثاني سيساوي الحد الأول زائد الفرق المشترك. ٦٦ زائد سالب ٣٣ يساوي موجب ٣٣. والحد الثالث سيساوي الحد الثاني زائد الفرق المشترك. ٣٣ زائد سالب ٣٣ يساوي صفرًا. وستستمر المتتابعة على هذا النمط.
