فيديو الدرس: تمثيل الدالة التربيعية بيانيًّا الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل بيانيًّا أي دالة تربيعية باستخدام جدول قيم وفترة معطاة، ونحدد خواص التمثيل البياني.

١٦:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نمثل بيانيًّا أي دالة تربيعية معطاة بالصورة القياسية، وبصيغة رأس المنحنى، باستخدام التحويلات الهندسية للدالة ودراستها.

تستخدم المعادلات التربيعية في الحياة اليومية. فهي مستخدمة في مجالات العلوم والأعمال التجارية والهندسة. ويمكن أن تساعدنا في تمثيل مسارات الأجسام المتحركة، بدءًا من مسارات الكرات المرتدة إلى مسارات طيران النحل. وتستخدمها الشركات في توقع الإيرادات وتصميم عبوات التغليف لتقليل حجم المخلفات. كما يمكننا أيضًا استخدام المعادلات التربيعية لتحديد القيم العظمى والصغرى للعديد من المتغيرات المختلفة، بما في ذلك السرعة والتكلفة والمساحة.

دعونا نبدأ إذن بتذكر ما نعنيه بقولنا إن المعادلة تربيعية. المعادلة التربيعية هي معادلة يمكن كتابتها على الصورة ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. ومن المهم أن يكون ﺃ لا يساوي صفرًا، وأن يكون ﺃ وﺏ وﺟ كلها ثوابت حقيقية. في الواقع، تأتي كلمة «تربيعية» من كلمة «مربع». وفي جميع المعادلات التربيعية، يكون أعلى أس لـ ﺱ هو اثنين؛ أي تربيع. إذن، كيف نمثلها بيانيًّا؟ لنبدأ بتذكير أنفسنا بالشكل الذي يبدو عليه التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ تربيع. إنه على شكل القطع المكافئ المعتاد. ويمر بنقطة الأصل. وهذا هو موضع رأسه أو نقطة التحول.

يمكن إيجاد منحنى ﺹ يساوي سالب ﺱ تربيع عن طريق عكس هذا المنحنى حول المحور ﺱ. فيصبح إذن على شكل قطع مكافئ مقلوب رأسه عند النقطة نفسها تمامًا. لكن ماذا لو طبقنا المزيد من التحويلات؟ تخيل مثلًا أننا أردنا تمثيل ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة تربيع بيانيًّا. وهذا يمثل انتقالًا أفقيًّا. فالمنحنى سيتحرك بمقدار أربع وحدات إلى اليسار. ومن ثم، نجد أن رأس هذا المنحنى يقع عند سالب أربعة، صفر. ماذا إذن عن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة تربيع زائد اثنين؟ هذه المرة، سيحدث انتقال رأسي للمنحنى السابق لـ ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة تربيع. فهو سيتحرك بمقدار وحدتين لأعلى. ومن ثم، سيقع رأسه عند سالب أربعة، اثنين.

كيف سيساعدنا هذا؟ ليس علينا تطبيق مجموعة من التحويلات في كل مرة نرسم فيها تمثيلًا بيانيًّا. وهذا يعني أنه إذا تمكنا من إعادة كتابة المعادلة التربيعية على الصورة ﺃ في ﺱ زائد ﻙ الكل تربيع زائد ﻫ، حيث ﻙ وﻫ عددان حقيقيان، فيمكننا القول إن هذا المنحنى يقع رأسه عند النقطة سالب ﻙ، ﻫ. وهذا بالطبع في صورة مربع كامل. بالجمع بين هذا وما نعرفه عن رسم أي تمثيل بياني، يصبح لدينا دليل إرشادي سهل الاستخدام، لنبدأ إذن كما فعلنا من قبل. نتحقق ببساطة من شكل القطع المكافئ. إذا كان ﺃ أكبر من صفر، أو بعبارة أخرى إذا كان معامل ﺱ تربيع موجبًا، فسيكون لدينا شكل قطع مكافئ قياسي، حيث يكون رأسه نقطة قيمة صغرى. أي أدنى نقطة في التمثيل البياني.

أما إذا كان ﺃ أقل من صفر، أو بعبارة أخرى إذا كان معامل ﺱ تربيع سالبًا، فسيكون لدينا قطع مكافئ مقلوب. ومن ثم، يكون رأسه نقطة قيمة عظمى. وبالطريقة نفسها التي نمثل بها دالة خطية بيانيًّا، نوجد الجزء المقطوع من المحور ﺹ بمساواة ﺱ بصفر والحل لإيجاد قيمة ﺹ. وبالمثل، يمكننا إيجاد موضع أي جزء مقطوع من المحور ﺱ بمساواة ﺹ بصفر. وبالطبع، في هذه التمثيلات البيانية، من المحتمل جدًّا عدم وجود أجزاء مقطوعة من المحور ﺱ على الإطلاق. وفي هذه الحالة، فإن مساواة ﺹ بصفر والحل لإيجاد قيمة ﺱ لن تترتب عليهما حلول حقيقية. يمكننا إيجاد موضع الرأس عن طريق الكتابة على صورة المربع الكامل. ومن ثم، يقع رأس ﺃ في القوس ﺱ زائد ﻙ الكل تربيع زائد ﻫ عند سالب ﻙ، ﻫ. وبذلك، يمكننا من خلال هذه الخطوات الأربع تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا أو التعرف عليها. لنوضح ذلك في المثال الأول.

أي منحنى يمثل الدالة ﺹ يساوي سالب ٠٫٥ﺱ تربيع زائد أربعة؟

لدينا هنا معادلة تربيعية. يمكننا تحديد المنحنى الذي يمثلها من خلال إجراء مجموعة من الخطوات. نبدأ ببساطة بتحديد الشكل الصحيح. نحن نعلم أنه إذا كان معامل ﺱ تربيع موجبًا، فسيكون لدينا قطع مكافئ قياسي. أما إذا كان معامل ﺱ تربيع سالبًا، فسيكون لدينا قطع مكافئ مقلوب. ‏ﺃ هنا، أي معامل ﺱ تربيع، يساوي سالب ٠٫٥. وهذا أقل من صفر. إذن، لدينا قطع مكافئ مقلوب. هذا يعني أنه لا يمكننا اختيار (أ) أو (ب)؛ لأن كليهما قطع مكافئ قياسي. يمكننا بعد ذلك إيجاد موضع الجزء المقطوع من المحور ﺹ بمساواة ﺱ بصفر. وعندما نفعل ذلك، نجد أن المعادلة هي ﺹ يساوي سالب ٠٫٥ في صفر تربيع زائد أربعة. وهذا يساوي أربعة. ومن ثم، نعرف أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يقع عند صفر، أربعة. وهذا يعني أنه يمكننا سريعًا استبعاد الخيار (د) أيضًا؛ حيث يقع فيه الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند سالب أربعة.

بذلك يتبقى لدينا خيار واحد فقط، وهو (ج). سنتحقق من ذلك بمساواة ﺹ بصفر والحل لإيجاد قيمة ﺱ. وسنعرف من ذلك موضع أي أجزاء مقطوعة من المحور ﺱ. هذا يعطينا صفرًا يساوي سالب ٠٫٥ﺱ تربيع زائد أربعة. بإضافة ٠٫٥ﺱ تربيع إلى كلا الطرفين، نحصل على ٠٫٥ﺱ تربيع يساوي أربعة. وبقسمة الطرفين على ٠٫٥، نحصل على ﺱ تربيع يساوي ثمانية. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. ويجب أن نتذكر أخذ كل من الجذر التربيعي الموجب والسالب لثمانية. إذن، الجزآن المقطوعان من المحور ﺱ أو جذرا هذه المعادلة هما موجب وسالب جذر ثمانية.

بعد ذلك، يمكننا تقدير قيمة جذر ثمانية بمعرفة أنه يقع بين الجذر التربيعي لأربعة والجذر التربيعي لتسعة. إذن، فهو يقع بين اثنين وثلاثة. وبما أن العدد ثمانية أقرب إلى تسعة منه إلى أربعة، فمن المحتمل أن يكون الحل أقرب إلى ثلاثة منه إلى اثنين. حسنًا، نلاحظ أن الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ في هذا الشكل أكبر قليلًا من سالب ثلاثة وأقل قليلًا من ثلاثة. ومن ثم، فإن المنحنى الذي يمثل الدالة المعطاة هو (ج).

في المثال التالي، سنتناول كيفية إجراء بعض العمليات على معادلة تربيعية لإيجاد تمثيلها البياني.

أي من التمثيلات البيانية التالية يمثل المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثمانية؟

هذه معادلة تربيعية. إذن، هناك بعض الأمور التي يمكننا فعلها لتساعدنا في تحديد تمثيلها البياني. أولًا، أي معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، إذا كان معامل ﺱ تربيع ﺃ أكبر من صفر، فسيكون لدينا القطع المكافئ المعتاد. ولكن إذا كان ﺃ أقل من صفر، فسيكون لدينا قطع مكافئ مقلوب. حسنًا، ﺃ هنا يساوي واحدًا. لدينا واحد ﺱ تربيع. إذن، فهو أكبر من صفر. وهذا يعني أنه ليس قطعًا مكافئًا مقلوبًا. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيارين (ج) و(د). إذن، سنمسحهما من على الشاشة لنفرغ المزيد من المساحة.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد موضع الجزء المقطوع من المحور ﺹ بمساواة ﺱ بصفر. وعندما نفعل ذلك، تصبح المعادلة هي ﺹ يساوي صفر تربيع ناقص خمسة في صفر زائد ثمانية، وهو ما يساوي ثمانية. نلاحظ أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ في كل من الخيارين (أ) و(ب) يقع عند ثمانية. لذا، نحذف الخيار (هـ). خطوتنا التالية هي إيجاد موضع أي جزء مقطوع من المحور ﺱ بمساواة ﺹ بصفر. لكن في الواقع، لا توجد أجزاء مقطوعة من المحور ﺱ في هذين التمثيلين البيانيين. وسنتحقق من ذلك بمزيد من التفصيل بعد قليل. بدلًا من ذلك، سنكتب المعادلة على صورة مربع كامل، أي على الصورة ﺃﺱ زائد ﻙ الكل تربيع زائد ﻫ. وعندما يمكننا كتابة المعادلة على هذه الصورة، فسنجد أن الرأس يقع عند سالب ﻙ، ﻫ.

معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا هنا؛ لذا فإن إكمال المربع عملية مباشرة نسبيًّا. نبدأ بتنصيف معامل ﺱ، وهو نصف سالب خمسة. وهذا يساوي سالب خمسة على اثنين. إذن، نكتب في القوس ﺱ ناقص خمسة على اثنين الكل تربيع. بعد ذلك، نطرح مربع هذه القيمة. إذن، نطرح سالب خمسة على اثنين الكل تربيع. بعد ذلك نضيف ثمانية. وهذا يكافئ طرح ٢٥ على أربعة. إذا كتبنا ثمانية على الصورة ٣٢ على أربعة، يمكننا إذن جمع هذين الكسرين. سالب ٢٥ على أربعة زائد ٣٢ على أربعة يساوي سبعة على أربعة. ومن ثم، فإن المعادلة على صورة المربع الكامل هي ﺱ ناقص خمسة على اثنين الكل تربيع زائد سبعة على أربعة. إذن، إحداثيات نقطة الرأس هي خمسة على اثنين، سبعة على أربعة.

بما أن كلًّا من الإحداثيين ﺱ وﺹ هنا موجبان، فإن رأس المنحنى يجب أن يقع في الربع الأول. وعليه، فإن الإجابة هي الخيار (أ) وليست (ب). عند هذه النقطة، يمكننا التحقق من الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ. ويمكننا إيجاد ذلك بافتراض أن ﺹ يساوي صفرًا. إحدى طرق حل المعادلة هي استخدام صورة المربع الكامل. نطرح سبعة على أربعة من كلا الطرفين، ونلاحظ أن الخطوة التالية هي أخذ الجذر التربيعي. لكن بالطبع، الجذر التربيعي لعدد سالب ليس قيمة حقيقية. لذا، لا توجد أي حلول حقيقية عندما نفترض أن ﺹ يساوي صفرًا؛ ما يعني عدم وجود أي أجزاء مقطوعة من المحور ﺱ. ومن ثم، فإن الإجابة هي الخيار (أ).

ماذا لو كان لدينا التمثيل البياني لدالة ومطلوب منا إيجاد معادلته التربيعية؟ هذه عملية مشابهة تمامًا. لكننا سنعمل بالأساس بطريقة عكسية. دعونا نعرف في المثال التالي كيف سيبدو ذلك.

اكتب المعادلة الممثلة في التمثيل البياني التالي. اكتب الإجابة في الصورة التحليلية.

لنبدأ بالنظر جيدًا إلى التمثيل البياني المعطى. نلاحظ أولًا أن إحداثيات نقطة الرأس أو نقطة التحول في هذا التمثيل البياني هي واحد، سالب تسعة. وهذا يعطينا تصورًا عن الشكل الذي قد تبدو عليه صورة المربع الكامل لهذا التمثيل البياني. المعادلة على الصورة ﺃﺱ زائد ﻙ تربيع زائد ﻫ، يكون رأسها عند سالب ﻙ، ‏ﻫ. إذن، نفترض أن سالب ﻙ يساوي واحدًا وﻫ يساوي سالب تسعة. ومن ثم، نجد أن معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي الثابت ﺃ في ﺱ ناقص واحد الكل تربيع ناقص تسعة.

حسنًا، كيف نوجد قيمة ﺃ؟ في الواقع، يمكننا اختيار إحداثيات أي نقطة تقع على هذا المنحنى والتعويض بها. من النقاط الواضح إحداثياتها هنا هي النقطة أربعة، صفر. الإحداثي ﺱ يساوي أربعة، والإحداثي ﺹ يساوي صفرًا. وبذلك تصبح المعادلة هي صفر يساوي ﺃ في أربعة ناقص واحد تربيع ناقص تسعة. حسنًا، أربعة ناقص واحد تربيع يساوي ثلاثة تربيع، أي تسعة. إذن، تصبح المعادلة هي صفر يساوي تسعة ﺃ ناقص تسعة. نضيف تسعة إلى طرفي هذه المعادلة. وأخيرًا، نقسم الطرفين على تسعة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺃ يساوي واحدًا. بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة ﺃ في ﺱ ناقص واحد الكل تربيع ناقص تسعة، نجد أن معادلة هذه الدالة التربيعية هي ﺹ يساوي ﺱ ناقص واحد تربيع ناقص تسعة.

والآن، مطلوب منا كتابة ذلك في الصورة التحليلية. فما الخطوة التالية إذن؟ سنوزع ببساطة القوس ثم نبسط ثم نحلل. ‏ﺱ ناقص واحد الكل تربيع يساوي ﺱ ناقص واحد في ﺱ ناقص واحد. بتوزيع القوسين، نحصل على ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ﺱ زائد واحد. وبذلك، تصبح المعادلة هي ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص ثمانية. ولتحليل ذلك، نوجد ببساطة عددين حاصل ضربهما يساوي سالب ثمانية ومجموعهما يساوي سالب اثنين. إنهما سالب أربعة واثنان. وهكذا، فإن المعادلة التربيعية الممثلة في التمثيل البياني التالي في الصورة التحليلية هي ﺹ يساوي ﺱ ناقص أربعة في ﺱ زائد اثنين.

لنلخص المفاهيم الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكننا أن نمثل بيانيًّا المعادلة التربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ بالنظر أولًا إلى معامل ﺱ تربيع. فإذا كان موجبًا، فسيكون المنحنى قطعًا مكافئًا. وإذا كان سالبًا، فسيكون قطعًا مكافئًا مقلوبًا. بعبارة أخرى، إذا كان موجبًا، فإن نقطة الرأس تكون القيمة الصغرى له. وإذا كان سالبًا، فإن نقطة الرأس تكون القيمة العظمى له. يمكننا مساواة ﺱ بصفر لنحصل على قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ. ويمكننا مساواة ﺹ بصفر لإيجاد قيمة الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ، إن وجدت. وإذا تمكنا من كتابة المعادلة على صورة مربع كامل، أي ﺃ في ﺱ زائد ﻙ الكل تربيع زائد ﻫ، فستكون إحداثيات نقطة الرأس هي سالب ﻙ، ﻫ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.