فيديو السؤال: استخدام صيغة مركز الثقل للقضبان المنتظمة لإيجاد المسافة بين مركز الثقل لسلك منثن ونقطة واقعة عليه | نجوى فيديو السؤال: استخدام صيغة مركز الثقل للقضبان المنتظمة لإيجاد المسافة بين مركز الثقل لسلك منثن ونقطة واقعة عليه | نجوى

فيديو السؤال: استخدام صيغة مركز الثقل للقضبان المنتظمة لإيجاد المسافة بين مركز الثقل لسلك منثن ونقطة واقعة عليه الرياضيات

ﺃﺏﺟ قضيب منتظم طوله ٤٦ سم، ثني حول نقطة منتصفه ﺏ، وعلق تعليقًا حرًّا من الطرف ﺃ. إذا كان ﺏﺟ في وضع أفقي عندما يكون معلقًا في حالة اتزان، فأوجد المسافة من مركز ثقل القضيب إلى ﺃ.

١٢:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

ﺃﺏﺟ قضيب منتظم طوله ٤٦ سنتيمترًا، ثني حول نقطة منتصفه ﺏ، وعلق تعليقًا حرًّا من الطرف ﺃ. إذا كان ﺏﺟ في وضع أفقي عندما يكون معلقًا في حالة اتزان، فأوجد المسافة من مركز ثقل القضيب إلى ﺃ.

حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد المسافة بين مركز الثقل لجسم ونقطة معينة دون أن نعرف الشكل الدقيق للجسم. علمنا أن القضيب المنتظم انحنى حول نقطة منتصفه، لكننا ليس لدينا قياس زاوية الانحناء. مفاتيح الحل المعطاة لنا هي أن القضيب معلق بحرية من ﺃ، وأنه عندما يكون القضيب معلقًا في حالة اتزان، يصبح ﺏﺟ أفقيًّا. طول القضيب المعطى الذي يبلغ ٤٦ سنتيمترًا ليس بتلك الأهمية؛ فلن تختلف طريقة حل المسألة أيًّا كان طول القضيب. إذن دعونا نشر إلى الطول بالحرف ﻝ لتبسيط العمليات الجبرية التي سنقوم بها.

سنرسم شكلًا تقريبيًّا لهذه الحالة. لدينا قضيب منتظم، ﺃﺏﺟ، انثنى حول نقطة منتصفه ﺏ. عندما يعلق القضيب تعليقًا حرًّا من ﺃ، فإنه يصل إلى حالة اتزان عندما يكون ﺏﺟ خطًّا أفقيًّا. وبما أن ﺏ هي نقطة منتصف القضيب، فإن ﺃﺏ وﺏﺟ متساويان في الطول؛ أي أن طول كل منهما يساوي نصف الطول الكلي للقضيب أي ﻝ على اثنين. وبما أن ﺏﺟ أفقي، فإن الخط الرأسي الساقط من النقطة ﺃ يتقاطع معه بزاوية قائمة.

يمكننا التفكير في هذا القضيب المنثني على أنه قضيبان منفصلان؛ ﺃﺏ وﺏﺟ. تذكر أن مركز ثقل أي قضيب منتظم يقع عند نقطة منتصفه. ومن ثم، إذا كان لدينا قضيب منتظم طوله ﻝ على اثنين، فإن مركز الثقل يبعد مسافة ﻝ على أربعة عن أي من الطرفين. حسنًا، بالرجوع إلى الشكل لدينا، نلاحظ أن مركزي ثقل القضيبين ﺃﺏ وﺏﺟ يقعان على بعد ﻝ على أربعة من طرفي أي منهما. ويقع مركز ثقل القضيب الكامل، الذي سنسميه ﻥ، عند نقطة منتصف الخط الواصل بين مركزي ثقل القضيبين المنفصلين. وعندما يعلق القضيب في حالة اتزان، سيقع مركز الثقل أيضًا تحت نقطة التعليق ﺃ مباشرة. إذن ﻥ تقع عند نقطة تقاطع الخط الواصل بين نقطتي منتصف القضيبين المنفصلين والخط الرأسي الساقط من ﺃ.

حسنًا، المسافة التي علينا إيجادها هي المسافة من ﺃ إلى ﻥ. وهناك بعض الطرق التي يمكننا استخدامها لفعل ذلك. ما نريده في النهاية هو تكوين مثلث قائم الزاوية يكون ﺃﻥ أحد أضلاعه، على أن يكون لدينا طولا الضلعين الآخرين اللذين يمكننا استخدامهما لتطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد الطول ﺃﻥ. لكننا ليس لدينا حتى الآن مثلثات قائمة نعلم أطوال أضلاعها في هذا الشكل. ومن ثم، علينا أن نكون واحدًا بطريقة أو بأخرى.

إحدى الطرق هي رسم خط جديد يصل بين ﺃ وﺟ. لدينا الآن مثلث متساوي الساقين به ضلعان متطابقان طول كل منهما ﻝ على اثنين. إذا رسمنا خطًّا جديدًا من ﺏ مارًّا بالنقطة ﻥ، فسيتقاطع مع القطعة المستقيمة ﺃﺟ عند نقطة منتصفها ﻫ، مقسمًا المثلث المتساوي الساقين إلى مثلثين.

نحن لا نعلم حتى الآن طول الضلع ﺃﺟ. دعونا نطلق عليه اثنين ﻙ. إذن الطول ﺃﻫ يساوي ﻙ، والطول ﺟﻫ يساوي ﻙ أيضًا. وبما أن ﻥ هي نقطة المنتصف لمركزي ثقل القضيبين المنفصلين، فإنها تمثل أيضًا نقطة منتصف ﺏﻫ. ومن ثم فالقطعتان المستقيمتان ﺏﻥ وﻫﻥ لهما الطول نفسه، وسنسميه ﻉ. بالنظر إلى الشكل مرة أخرى، نجد أن لدينا الآن مثلثًا قائم الزاوية ﺃﻫﻥ؛ حيث ﺃﻥ أحد أضلاعه، وطولا الضلعين الآخرين هما ﻙ وﻉ. إذا تمكنا من إيجاد الطولين ﻙ وﻉ، فسيمكننا إيجاد الطول ﺃﻥ.

دعونا نشر إلى الطول ﺃﻥ، الذي علينا إيجاده، بالحرف ﻑ. هدفنا هو إيجاد الطول ﻑ باستخدام نظرية فيثاغورس بمعلومية قيمتي ﻙ وﻉ. ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻙ تربيع زائد ﻉ تربيع. إذن علينا أولًا إيجاد قيمتي ﻙ وﻉ بدلالة طول القضيب ﻝ. انظر إلى المثلث ﺃﺏﻫ. إنه مثلث قائم الزاوية طول وتره ﻝ على اثنين، وطولا ضلعيه الآخرين ﻙ واثنان ﻉ.

إذن، وفقًا لنظرية فيثاغورس، ﻙ تربيع زائد اثنين ﻉ الكل تربيع يساوي ﻝ على اثنين الكل تربيع. بالتبسيط وإعادة الترتيب لإيجاد قيمة ﻙ تربيع، نحصل على ﻙ تربيع يساوي ﻝ تربيع على أربعة ناقص أربعة ﻉ تربيع. يمكننا إذن التعويض بهذا التعبير لـ ﻙ تربيع في المعادلة النهائية لدينا، وبذلك نجد أن ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ تربيع على أربعة ناقص ثلاثة ﻉ تربيع.

حسنًا، كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة ﻉ بدلالة طول القضيب، ﻝ، وسنحصل على الإجابة. لكن إيجاد قيمة ﻉ ما زال ليس بالأمر الهين؛ لأننا حتى الآن ليس لدينا أي مثلث قائم الزاوية أحد أضلاعه ﻉ ونعلم طولي ضلعيه الآخرين. بالنظر إلى الشكل مرة أخرى، نجد أن لدينا هنا مثلثين قائمي الزاوية، كلاهما يحتوي على الضلع ﻉ. لكننا لا نعلم حتى الآن أطوال الأضلاع الأخرى. القطعة المستقيمة ﺏﻫ تنصف المثلث المتساوي الساقين ﺃﺏﺟ. دعونا نشر إلى نقطتي المنتصف للقضيبين المنفصلين بـ ﻡ واحد وﻡ اثنين، على الترتيب.

هذان المثلثان ﺏﻡ واحد ﻥ وﺏﻡ اثنان ﻥ مثلثان متشابهان؛ ما يعني أن قياسات جميع زواياهما متساوية. كلاهما يحتوي على زاوية قائمة. وبما أن ﺏﻫ ينصف المثلث المتساوي الساقين، فهذا يعني أنهما يحتويان على الزاوية نفسها هنا؛ 𝜃. تذكر أن من خواص المثلثات المتشابهة هو أن جميع النسب بين أطوال أضلاعها تكون متساوية. على سبيل المثال، نسبتا طول الوتر إلى طول ثاني أطول ضلع متساويتان في المثلثين. في المثلث الأول الأرجواني، طول الوتر يساوي ﻝ على أربعة، وطول الضلع المجاور يساوي ﻉ.

وفي المثلث الثاني الأخضر، طول الوتر يساوي ﻉ، وطول الضلع المجاور يساوي الطول ﺏﻡ اثنين، وسنسميه ﺱ. إذن، في المثلث الأول، لدينا جتا 𝜃 يساوي ﻉ على ﻝ على أربعة. وفي المثلث الثاني، لدينا جتا 𝜃 يساوي ﺱ على ﻉ. الزاوية 𝜃 لها نفس القياس في كلا المثلثين. ومن ثم، فإن جتا 𝜃 له القيمة نفسها. إذن ﻉ على ﻝ على أربعة يساوي ﺱ على ﻉ. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على ﻉ تربيع يساوي ﺱﻝ على أربعة. يمكننا التعويض بهذا التعبير لـ ﻉ تربيع في المعادلة النهائية لـ ﻑ، ما يعطينا ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ تربيع على أربعة ناقص ثلاثة ﺱﻝ على أربعة.

حسنًا، الخطوة الأخيرة هي إيجاد قيمة ﺱ بدلالة ﻝ. بالرجوع إلى الشكل الرئيسي، نجد أن ﺱ هو طول ضلع في هذا المثلث الأخضر، ويساوي المسافة بين النقطة ﺏ والنقطة التي يلتقي عندها الخط الرأسي المرسوم من ﺃ بالقطعة المستقيمة ﺏﺟ. دعونا نشر إلى نقطة التقاطع هذه بالحرف ﻭ. قبل القيام بأي خطوة أخرى، سنعيد رسم المثلث الرئيسي المتساوي الساقين. سندير المثلث؛ بحيث يصبح ﺃﺟ هو الضلع الأفقي، وﺏ قمة المثلث. تقع النقطة ﻥ في منتصف المسافة بين ﺃ وﺟ، وفي منتصف ارتفاع المثلث. الخط المرسوم من ﺃ، المار بالنقطة ﻥ، يلتقي بالقطعة المستقيمة ﺏﺟ عند النقطة ﻭ.

ما نريد إيجاده هو الطول ﺱ الذي يمثل القطعة المستقيمة ﺏﻭ. وهذا يكافئ إيجاد المسافة من ﺏ إلى النقطة ﻭ على طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ. سنرسم هنا مستطيلًا من هذا المثلث، وذلك برسم خطين رأسيين إلى أعلى بداية من ﺃ وﺟ بارتفاع المثلث، ثم خط أفقي يصل بين طرفيهما. أصبحت النقطة ﻥ الآن هي المركز الهندسي لهذا المستطيل؛ لأنها تقع في منتصف ارتفاع المثلث، وفي منتصف المسافة على طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ. إذا رسمنا امتدادًا للقطعة المستقيمة ﺃﻭ، فستلتقي بالمستطيل عند ركنه. وهذا ينتج عنه مثلثان جديدان؛ المثلث واحد والمثلث اثنان. وبما أن هذين المثلثين ينتجان عن تقاطع خطين مستقيمين وخطين أفقيين، فهذا يعني أنهما متشابهان.

تذكر من الشكل الأصلي أن الطول ﺃﺟ يساوي اثنين ﻙ. وبما أن النقطة ﺏ هي نقطة المنتصف للضلع العلوي من المستطيل، فهذا الطول هنا يساوي ﻙ. تلتقي القطعة المستقيمة ﺏﺟ بالخط الأفقي الذي يحتوي على ﻥ عند منتصف المسافة من نقطة المنتصف هذه. إذن طول هذا الضلع من المثلث اثنين يساوي ﻙ على اثنين. دعونا الآن نلق نظرة فاحصة على هذين المثلثين.

ينتج هذان المثلثان عن تقاطع خطين مستقيمين مع خطين أفقيين طولاهما ﻙ وﻙ على اثنين. ومن ثم فهذان المثلثان متشابهان، ويحتويان على زاويتين متبادلتين داخليًّا قياسهما 𝜃. إذن نسبة طول الضلع العلوي للمثلث الكبير ﻙ إلى طول الضلع المجاور له ﺱ تساوي نسبة طول الضلع السفلي للمثلث الصغير، ﻙ على اثنين، إلى طول الضلع المجاور له. وسنسميه ﺹ. لدينا إذن ﻙ على ﺱ يساوي ﻙ على اثنين الكل على ﺹ. سيحذف ﻙ من الطرفين. وبإعادة الترتيب، نحصل على ﺱ يساوي اثنين ﺹ.

تذكر من الشكل الأصلي أن طول الضلع ﺏﺟ يساوي ﻝ على اثنين. إذن، بجمع طولي ضلعي هذين المثلثين، ﺱ وﺹ، نحصل على نصف طول هذا الضلع؛ ﻝ على أربعة. وبما أن ﺱ يساوي اثنين ﺹ، فإن ﺹ يساوي ﺱ على اثنين. لدينا إذن ﺱ زائد ﺱ على اثنين يساوي ﻝ على أربعة. بإعادة الترتيب لإيجاد قيمة ﺱ، نحصل على ﺱ يساوي ﻝ على ستة. لدينا الآن ﺱ بدلالة ﻝ فقط، وبهذا يكون لدينا كل ما نحتاجه لإيجاد قيمة ﻑ.

بالتعويض بالتعبير ﺱ يساوي ﻝ على ستة، نحصل على ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ تربيع على أربعة ناقص ثلاثة ﻝ تربيع على ٢٤. وبتوحيد المقامين لدينا على العدد ٢٤، نحصل على الجذر التربيعي لستة ﻝ تربيع ناقص ثلاثة ﻝ تربيع على ٢٤. وبالتبسيط، نحصل على ﻝ جذر ثلاثة على جذر ٢٤. وبالتبسيط مرة أخرى، نحصل على ﻝ جذر اثنين على أربعة. بالتعويض بالطول الأصلي للقضيب، ٤٦ سنتيمترًا، نحصل على ٤٦ جذر اثنين على أربعة. وبالتبسيط مرة أخرى، نحصل على الإجابة النهائية. المسافة ﻑ من مركز ثقل القضيب إلى ﺃ تساوي ٢٣ جذر اثنين على اثنين سنتيمتر.

حمِّل تطبيق Nagwa Classes

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق Nagwa Classes اليوم!

التحميل على الحاسوب

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.