فيديو السؤال: استخدام متطابقات فيثاغورس ودائرة الوحدة لحل معادلة في متغير واحد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يتقاطع الضلع النهائي للزاوية 𝜃 مع دائرة الوحدة في وضعها القياسي عند النقطة اثنين ﺃ، ثلاثة ﺃ؛ حيث 𝜃 أكبر من صفر، وأقل من ‏𝜋‏ على اثنين. أوجد قيمة ﺃ.

أولًا، دعنا نحدد المعطيات الأساسية في هذه المسألة. قيل لنا: إن الزاوية 𝜃 في الوضع القياسي. فما معنى هذا؟ يشير الوضع القياسي إلى وضع زاوية داخل نظام الإحداثيات المتعامدة. وتكون الزاوية في الوضع القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل وكان ضلعها الابتدائي يقع على الجزء الموجب من المحور ﺱ. نحن بحاجة إلى النظر في مكان الضلع النهائي لهذه الزاوية.

تخبرنا المسألة أن الزاوية 𝜃 تقع بين صفر و‏𝜋‏ على اثنين راديان، وهو ما يعني أن الضلع النهائي لهذه الزاوية لا بد وأنه في الربع الأول. نعرف أيضًا بعض المعطيات الأخرى حول الضلع النهائي لهذه الزاوية، وهي أنه يتقاطع مع دائرة الوحدة في النقطة اثنين ﺃ، وثلاثة ﺃ.

دائرة الوحدة هي الدائرة التي يقع مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي الواحد. ومعادلتها هي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي واحدًا. نظرًا لأن الضلع النهائي للزاوية 𝜃 يتقاطع مع دائرة الوحدة عند النقطة ذات الإحداثيين اثنين ﺃ، ثلاثة ﺃ، فإن هذه النقطة تقع على الدائرة، وهو ما يعني أن الإحداثيين يحققان معادلتها.

بالتعويض باثنين ﺃ بدلًا من ﺱ وبثلاثة ﺃ بدلًا من ﺹ في معادلة دائرة الوحدة، نحصل على اثنين ﺃ الكل تربيع زائد ثلاثة ﺃ الكل تربيع يساوي واحدًا. وتنتج عن هذا معادلة يمكننا حلها من أجل إيجاد قيمة ﺃ. وبتربيع كل حد من الحدود نحصل على أربعة ﺃ تربيع زائد تسعة ﺃ تربيع يساوي واحدًا.

عليك الانتباه إلى خطأ شائع هنا، وهو أن تنسى تربيع الاثنين والثلاثة، وأن تظن بدلًا من ذلك أن المعادلة يجب أن تكون: اثنان ﺃ تربيع زائد ثلاثة ﺃ تربيع يساوي واحدًا. هذه معادلة غير صحيحة وستؤدي إلى قيمة غير صحيحة لـ ﺃ.

بالعودة إلى المعادلة الصحيحة وتبسيط الطرف الأيمن، لدينا ١٣ﺃ تربيع يساوي واحدًا. بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ١٣، يكون الناتج ﺃ تربيع يساوي واحدًا على ١٣. بعد ذلك، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. ينتج عن هذا ﺃ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد على ١٣.

الآن تخبرنا قوانين الجذور الصماء أنه إذا أخذنا الجذر التربيعي لكسر، فإن هذا يساوي الجذر التربيعي للبسط على الجذر التربيعي للمقام. والجذر التربيعي لواحد هو واحد. إذن لدينا ﺃ يساوي موجب أو سالب واحد على الجذر التربيعي لـ ١٣.

وهذا من شأنه أن يوحي بأن هناك قيمتين محتملتين لـ ﺃ: موجب واحد على الجذر ١٣ وسالب واحد على الجذر ١٣. ولكن دعنا نتحقق مما إذا كان كلتاهما صحيحة. تذكر أن 𝜃 تقع بين صفر و‏𝜋‏ على اثنين، وهو ما يعني أنها تقع في الربع الأول. هذا يعني أن كلا الإحداثيين قيمة موجبة. بما أن اثنين ﺃ وثلاثة ﺃ، يجب أن يكون كلاهما أكبر من الصفر، فإن هذا يعني أننا يتعين علينا أخذ قيمة ﺃ الموجبة فقط. إذن، فقيمة ﺃ هي واحد على الجذر التربيعي لـ ١٣.